Número principal de Pierpont

Em aritmética , números primos de Pierpont - em homenagem a James Pierpont - são números primos da forma 2 u 3 v + 1, para u e v dois naturais números .

É facilmente mostrado que se v = 0 e u > 0, então u deve ser uma potência de 2 , ou seja, 2 u + 1 deve ser um número de Fermat .

Além disso, se v > 0 então u também deve ser diferente de zero (porque se v > 0 então o número par 3 v + 1 é estritamente maior que 2 e conseqüentemente composto ), portanto, o número de Pierpont é da forma 6 k  + 1.

Os primeiros quinze números de Pierpont são 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 e 433 .

Distribuição de números primos de Pierpont

Andrew Gleason tem conjecturado que há um número infinito de primeira Pierpont. Eles não são particularmente raros e existem poucas restrições à fatoração algébrica; portanto, não há condições como a primalidade do expoente nos números primos de Mersenne . Existem 36 Pierpont números primos menos do que 10 6 , 59 menos do que 10 9 , 151 a menos do que 10 20 e 789 inferior a 10 100  ; conjecturellement, existem O (log  N ) primeiro Pierpont menor do que N , em comparação com a conjectura de O (log log  N ) primeiro Mersenne menor do que N .

Números de Pierpont conhecidos como fatores de números de Fermat

No âmbito da busca internacional pelos fatores primos dos números de Fermat , os primos Pierpont foram anunciados como tais. A tabela a seguir fornece valores de m , v e u tais que

m v você ano de descoberta Pesquisadores
38 1 41 1903 Cullen, Cunningham e Western
63 2 67 1956 Robinson
207 1 209 1956 Robinson
452 3 455 1956 Robinson
9.428 2 9.431 1983 Keller
12 185 4 12 189 1993 Dubner
28 281 4 28 285 1996 Taura
157 167 1 157.169 1995 Novo
213.319 1 213.321 1996 Novo
303 088 1 303.093 1998 Novo
382.447 1 382.449 1999 Cosgrave & Gallot
461.076 2 461.081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
672.005 3 672.007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2 145 351 1 2 145 353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2.478.782 1 2.478.785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2.543.548 2 2.543.551 2011 S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

De 2008 a 2011, o maior número primo conhecido de Pierpont é 3 × 2 2 478 785 + 1, cuja primalidade foi provada por John B. Cosgrave  (en) em 2003 com software de Paul Jobling, George Woltman e Yves Gallot. Em 2014, o maior número primo conhecido de Pierpont é 3 × 2 10 829 346 + 1, mas não está na lista de divisores conhecidos de um número de Fermat.

Na matemática do origami , os axiomas de Huzita definem seis dos sete tipos possíveis de dobramento. Essas dobras são suficientes para possibilitar a formação de qualquer polígono regular cujo número de lados seja maior ou igual a 4 e da forma 2 m 3 n ρ, onde ρ é o produto de números primos distintos de Pierpont. Esses polígonos regulares são aqueles que podem ser construídos com um compasso, uma régua e um trissetor de ângulo . Os polígonos regulares que podem ser construídos apenas com um compasso e uma régua correspondem ao caso especial em que n  = 0 e ρ é o produto de primos de Fermat distintos, eles próprios um subconjunto dos primos de Pierpont.

O menor número primo que não é Pierpont (ou Fermat) é 11, portanto, o hendecágono é o menor polígono regular que não pode ser construído com um compasso, uma régua e um trissetor de ângulo. Todos os outros n- idos regulares com 3 ≤ n ≤ 21 podem ser construídos usando uma bússola, uma régua e um trissetor de ângulo (se necessário).

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Pierpont prime  " ( ver a lista de autores ) .
  1. Para os primeiros 8.396, consulte a continuação A005109 do OEIS .
  2. Wilfrid Keller, Fermat factoring status .
  3. Chris Caldwell, Os maiores números primos conhecidos no The Pages Prime .
  4. Código de prova: g245 nas páginas principais.
  5. (pt) Anúncio oficial da descoberta de 3 × 2 10.829.346 + 1 , PrimeGrid.
  6. (em) Eric W. Weisstein , "  Pierpont Prime  " no MathWorld .