Em matemática , um número poderoso é um número natural diferente de zero m tal que, para cada número primo p dividindo m , p 2 também divide m ou, o que é equivalente, m é um quadrado , um cubo ou o produto de um quadrado por um cubo. Esses números foram estudados por Erdős , Szekeres e Golomb, entre outros .
Os primeiros 26 termos da sequência de inteiros (continuação A001694 de OEIS ) são:
1 , 4 , 8 , 9 , 16 , 25 , 27 , 32 , 36 , 49 , 64 , 72 , 81 , 100 , 108 , 121 , 125 , 128 , 144 , 169 , 196 , 200 , 216 , 225 , 243 , 256 .Para qualquer número primo p , denote por k p o expoente (possivelmente zero) de p na fatoração primo de m . A primeira definição é equivalente a:
nenhum k p é igual a 1e o segundo para:
todos k p são da forma 2 u p + 3 v p com u p e v p números naturais .O segundo, portanto, implica claramente o primeiro. O inverso é facilmente verificado tomando v p igual a 0 ou 1, dependendo da paridade de k p .
(en) Eric W. Weisstein , “ Powerful Number ” , no MathWorld