Operador bilaplaciano
O operador bilaplaciano , ou operador biharmônico, é, como o próprio nome sugere, o nome dado ao operador laplaciano aplicado duas vezes.
Expressão
Em um sistema de coordenadas cartesianas , o bilaplaciano é escrito
x1,x2,...xnão{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n}}
Δ2=∇4=∑eu∂4(∂xeu)4+2∑eu<j∂4(∂xeu)2(∂xj)2{\ displaystyle \ Delta ^ {2} = \ nabla ^ {4} = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial ^ {4}} {(\ parcial x_ {i}) ^ {4}}} + 2 \ sum _ {i <j} {\ frac {\ parcial ^ {4}} {(\ parcial x_ {i}) ^ {2} (\ parcial x_ {j}) ^ {2}}}}.
Por outro lado, em um espaço euclidiano de dimensão , verifica-se sempre a seguinte relação:
não{\ displaystyle n}
Δ2(1r)=3(15-8não+não2)r5{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) = {\ frac {3 (15-8n + n ^ {2})} {r ^ {5}} }}
com a distância euclidiana :
r{\ displaystyle r}
r=x12+x22+...+xnão2=(∑k=1nãoxk2)12{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2}}} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}.
Veja também
Referência