A noção de ordem densa é uma noção da matemática , em conexão com a noção de relação de ordem .
Um conjunto ordenado (E, ≤) é dito ser denso em si mesmo , ou mais simplesmente denso , se, para qualquer par (x, y) de elementos de E tal que x <y existe um elemento z de E tal que x <z <y .
Por exemplo, qualquer corpo totalmente ordenado é denso em si mesmo, enquanto o anel ℤ dos inteiros não é.
Cantor demonstrou que qualquer conjunto totalmente ordenado, contável e denso em si mesmo sem máximo ou mínimo é isomorfo ao conjunto ℚ de números racionais dotados da ordem usual: ver o artigo " Teorema de Cantor (teoria das ordens) ". Este é notadamente o caso, ainda para a ordem usual, de ℚ *, de ℚ + *, de ℚ ⋂] 0,1 [, do conjunto dos números diádicos , ou mesmo dos números reais algébricos .
Um subconjunto X de um conjunto ordenado (E, ≤) é dito denso em E se, para qualquer par ( x , y ) de elementos de E tal que x <y , existe um elemento z de X tal que x < z <y (portanto, um infinito).
O conceito de denso conjunto ordenado em si é o caso especial onde X = E .
No segmento real [0, 1] (fornecido na ordem usual), o intervalo aberto ] 0, 1 [é denso. Da mesma forma (por isomorfismo de conjuntos ordenados ) na linha real completa ℝ = {–∞} ∪ℝ∪ {+ ∞} , ℝ é denso.
Em qualquer campo arquimediano , o subconjunto racional ℚ é denso e em qualquer campo L totalmente ordenado , se um subcampo adequado K ⊊ L for denso então seu complemento L \ K também. (Assim, ℚ e ℝ \ ℚ são densos no campo ℝ de números reais.)
DemonstraçãoSe E for um conjunto ordenado, os intervalos abertos formam uma pré-base de uma topologia chamada “ topologia de ordem ”.
Nesse caso, um subconjunto X de E que é denso no sentido anterior da relação de ordem é de fato denso em E no sentido dessa topologia . Porém, o inverso é falso: um conjunto ordenado é sempre denso em si mesmo para a topologia da ordem (como para qualquer topologia) sem necessariamente ser denso em si mesmo para sua relação de ordem, como mostra o exemplo de ℤ para a ordem usual .