Em matemática , a topologia de ordem é uma topologia natural definida em qualquer conjunto ordenado ( E , ≤), e que depende da relação de ordem ≤.
Quando definimos a topologia usual da reta numérica ℝ , duas abordagens equivalentes são possíveis. Podemos confiar na relação de ordem em ℝ, ou no valor absoluto da distância entre dois números. Os laços abaixo permitem que você alterne de um para o outro:
O valor absoluto se generaliza na noção de distância, o que induz ao conceito de topologia de um espaço métrico . Estamos interessados aqui na outra abordagem.
Seja ( E , ≤) um conjunto ordenado.
Vamos chamar um intervalo aberto (no sentido de ordem) de E um intervalo do formulário] x, y [para quaisquer dois elementos de x e y de E , ou de forma a] x , + ∞ [ou] -∞ , x [para qualquer elemento x de E , ou novamente] –∞ , + ∞ [, onde essas quatro notações denotam, por definição:
( + ∞ e –∞ são, portanto, parte das notações e não denotam nenhum elemento de E ).
Chama-se então a topologia da ordem a topologia gerada pelos intervalos abertos, ou seja, a topologia menos fina para a qual os intervalos abertos estão abertos . Admite intervalos abertos como pré - requisito e pares, devido ao fato de que] x, y [=] x , + ∞ [∩] –∞ , y [, intervalos abertos admitindo um “limite infinito”.
Se a ordem em E for parcial , essa topologia pode ser usada para construir contra-exemplos.
Quando ( E , ≤) é totalmente ordenado , a interseção de dois intervalos abertos é sempre um intervalo aberto. Portanto, os intervalos abertos formam a base da topologia ; em suma: uma parte de E é aberta se e somente se for uma união de intervalos abertos. Essa topologia é então separada e até mesmo completamente normal .
Seja ( E , ≤) um conjunto ordenado.
Vamos começar observando que
Os intervalos da forma [ x , + ∞ [portanto formam uma base para uma topologia em E , às vezes chamada de topologia de ordem direita ou topologia de direita . Suas aberturas são as seções finais do pedido.
Este é o caso particular da topologia Alexandroff associada a uma pré - encomenda , quando esta pré-encomenda é uma encomenda, ou seja, quando a topologia associada satisfaz a propriedade T 0 (a mais fraca das propriedades de separação ).
Quando ( E , ≤) um conjunto totalmente ordenado, podemos definir uma variante da topologia acima.
Sendo a ordem total, os intervalos da forma] x , + ∞ [(aos quais devemos adicionar E se E admitir um elemento menor) formam uma base para uma topologia.
Uma função f com valores em ℝ é semicontínua inferior se e somente se, quando ℝ tiver esta topologia, f for contínua.
Seja ( E , ≤) um conjunto ordenado dotado da topologia da ordem.
Quando o pedido em E for total:
Em particular :