Em topologia e outros ramos da matemática , um espaço de Kolmogorov (ou espaço T 0 ) é um espaço topológico no qual todos os pontos podem ser "distinguidos topologicamente". De todos os axiomas de separação que podem ser exigidos de um espaço topológico, essa condição é a mais fraca.
Os espaços de Kolmogorov devem seu nome ao matemático russo Andrei Kolmogorov .
Um espaço topológico X é dito ser Kolmogorov se para qualquer par de elementos distintos x e y de X , existe uma vizinhança de x que não contêm y ou um bairro de y , que não contém x .
De forma equivalente, X é o de Kolmogorov se para todos os pontos distintos existe uma abertura que contém um dos dois pontos mas não o outro, ou ainda, um dos dois pontos não é aderente ao outro.
Também dizemos que tal espaço satisfaz a propriedade de separação T 0 .
Um espaço T 1 é um espaço em que para todos os elementos distintos x e y , existe uma vizinhança de x que não contêm y e um bairro de y , que não contém X , ou em que todos os únicos estão fechados .
Em um espaço topológico, dois pontos são chamados de indistinguíveis (in) se pertencerem exatamente ao mesmo espaço aberto ou se tiverem exatamente as mesmas vizinhanças. É a relação de equivalência associada à pré-ordem de especialização (en) : x ≤ y se e somente se x pertence à adesão do singleton { y }. Um espaço é, portanto, T 0 quando as classes de equivalência são todas reduzidas a singletons , ou seja, quando a pré-encomenda é uma ordem.
O quociente de qualquer espaço topológico pela relação de equivalência precedente, chamado quociente de Kolmogorov , é sempre um espaço de Kolmogorov.
Um produto de espaços não vazios é Kolmogorov se e somente se cada fator for.
Qualquer subespaço de um espaço de Kolmogorov ainda é Kolmogorov.
Qualquer espaço de Kolmogorov X é homeomórfico a um subespaço do produto Q C ( X , Q ) , onde Q é o intervalo [0, 1] com a topologia estrita à esquerda e C ( X , Q ) são todas as aplicações contínuas de X em Q . Também está naturalmente imerso no produto S C ( X , S ) ≃ S T , onde S é o par {0, 1} dotado da topologia de Sierpiński e C ( X , S ) é o conjunto de mapas contínuos de X em S , equipotente ao conjunto T do X aberto .