Parte edificável

Na geometria algébrica , a noção de parte construtível generaliza partes abertas , fechadas e mesmo localmente fechadas . Conjuntos construtíveis foram introduzidos por Claude Chevalley e têm a vantagem de serem mais flexíveis no manuseio. Por exemplo, a imagem de um construtível por um morfismo de apresentação finito é construtível, portanto, isso não é verdade para peças abertas ou fechadas. Mas acima de tudo, sob suposições bastante gerais, se for um morfismo de diagramas , o conjunto de pontos de X ou Y que satisfazem certos tipos de propriedades é um conjunto construtível (sem ser nem aberto nem fechado em geral). $\ scriptstyle f: X \ to Y$

Definição

Seja X um espaço topológico. O conjunto de partes construtíveis de X é o menor conjunto de partes de X contendo os retrocompactos abertos (isto é, cuja interseção com qualquer quase-compacto aberto de X é quase-compacto), estável por interseção finita e por comutação para complementar.

Caracterização

Um espaço topológico X é considerado noetheriano se qualquer sequência decrescente de partes fechadas de X for estacionária. O espaço topológico subjacente a um esquema Noetheriano é Noetheriano. Em um espaço Noetheriano, qualquer parte de X é retrocompacta. Assim, qualquer parte fechada localmente é construtível.

A seguir, nos restringimos aos espaços Noetherianos.

Proposição - Em um espaço Noetheriano, uma parte é construtível se e somente se for uma união finita de partes localmente fechadas .

De fato, o conjunto de partes localmente fechadas é estável por interseção finita, e o complemento de uma parte localmente fechada é escrito como a união (disjunta) de um aberto e um fechado. Assim, suas reuniões finitas formam um conjunto estável por interseção finita e passando para o complementar. E é obviamente o menor possível.

Propriedades

É fácil ver que qualquer conjunto construtível é uma reunião finita disjunta de partes localmente fechadas (na verdade, a reunião de dois localmente fechados é também a reunião disjunta de um localmente fechado, e da intersecção de um localmente fechado com o complemento de um localmente fechado, ou o complemento de um localmente fechado é a união disjunta de um aberto e um fechado).
Se E está construindo, em seguida, ele contém uma densa aberta U seu adesivo E . Em seguida, E é a união disjuntos de L (que é localmente fechado em X ) e que é fechada localmente interior vazio em E . Podemos começar de novo com E ' . Por noetherianidade, o processo para após um número finito de etapas, então E é uma reunião finita disjunta de partes menores e menores localmente fechadas . ${\ displaystyle E ': = E \ cap ({\ overline {E}} \ setminus U)}$
Um edifício-conjunto sob uma porção fechada ou aberta de X é construtıvel em X .
Ser construtível é uma propriedade local : em um espaço topológico Noetheriano, uma parte E é construtível se e somente se cada ponto de E tem uma vizinhança aberta em X na qual E é construtível.
Conjuntos construtíveis são estáveis por imagem recíproca de um mapa contínuo (entre espaços topológicos Noetherianos).
Se a adesão de um singleton { x } uma reunião de construção do partido E , em seguida, x pertence a E .

Exemplo

No plano afim de um corpo , a união da origem (0, 0) com o complemento da linha y = 0 é uma parte construtível. Não é localmente fechado, mas é a união de um fechado (a origem) com um aberto (o plano menos a linha). É a imagem do morfismo dos diagramas que nos pontos é definido por . Este exemplo mostra que a imagem de uma variedade algébrica por um morfismo em geral não é fechada nem aberta. ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ $k$ ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2} \ to {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (xy, y)}$

Referências

Na segunda edição do EGA I, tal conjunto é considerado globalmente construtível .

A. Grothendieck e J. Dieudonné , Elementos de geometria algébrica , cap. 0, §9 e cap. IV, § 1.8.