Extremum

A expressão "elemento extremo (plural extrema )" significa "elemento máximo" ou "elemento mínimo". Na matemática, a expressão máximo-mínimo , introduzida por Nicolas de Cues , corresponde de Fermat e Leibniz aos extremos de uma curva ou de uma função, identificados pelo fato de aí as derivadas desaparecerem.

Em um conjunto ordenado de E , um elemento da parte A é o maior elemento ou um máximo de um , se ele pertence a uma e é superior a qualquer outro elemento de um . A existência de um máximo geralmente não é garantida para qualquer parte de um conjunto ordenado. Por outro lado, sob condição de existência, tal elemento é único (o que justifica o uso do artigo definido "o" na definição). Da mesma forma, o menor elemento ou mínimo é, se há um elemento de A menos que qualquer outro elemento de A .

Em geral

Singularidade

Se uma parte A de E admite dois máximos, m 1 e m 2 , então m 1 é maior do que qualquer elemento de A , portanto, em particular do que m 2  ; e da mesma forma, m 2 é maior do que m 1 . Por antissimetria das relações de ordem , a igualdade m 1 = m 2 é deduzida dela.

Comparação com outras noções

Outras noções relacionadas a conjuntos ordenados são próximas às de máximo; compará-los permite que você os compreenda melhor:

• A noção de limite superior e limite inferior  : se existe, um elemento de E é um limite superior de A se for maior do que qualquer elemento de A  ; se existir, um elemento de E é um limite inferior de A se for menor do que qualquer elemento de A  ; assim, os extremos (o máximo e o mínimo) que existem em um conjunto E são parte (respectivamente) do limite superior e inferior de E em si mesmo.
• A noção de limite (limite superior , também chamado de supremo, ou limite inferior , também chamado de ínfimo ): se existe, o limite superior de A é o menor de todos os limites superiores de A em E (o limite superior de A é, portanto, definido como o mínimo de uma determinada parte de E e sua exclusividade é garantida, mas não sua existência). A admite um máximo se e somente se seu limite superior existe e pertence a A (e, neste caso, é igual ao máximo); e vice-versa para o limite inferior.
• A noção de elemento extremo (elemento máximo ou elemento mínimo ) também chamada de limite inclusivo: um elemento de E é máximo em A , se pertencer a A , e não for inferior a nenhum outro elemento de A  ; um elemento E é mínimo em A , se ele pertence a um , e é superior a qualquer outro elemento de um .

Se existirem, os extremos (o máximo ou o mínimo) de um conjunto E , são sempre elementos extremos (limites inclusivos: elemento máximo ou elemento mínimo) de E em si; as noções de extremo (máximo e mínimo) e elemento extremo (um elemento máximo ou um elemento mínimo) coincidem nos conjuntos fornecidos com uma ordem total  ; quando E é finito, há equivalência entre a existência de um único elemento extremo (limite inclusivo: elemento máximo ou elemento mínimo) e a existência de um extremo (o máximo ou o mínimo, cada um necessariamente único com um total de pedido sobre um conjunto finito )

Verificações

• Um elemento m de E é o máximo de A se e somente se m é o limite superior de A e m pertence a A  : se A tem um máximo m então em E , o limite superior de A é exatamente o limite superior de m e m é o menor deles por isso este é o limite superior de um . Por outro lado, se o limite superior de A existe e pertence a A , então esse é um limite superior de A pertence a A , então este é o A máximo .
• O máximo, se existe, é máximo  : se A tem um máximo m então, para qualquer elemento a de A , m maiores a (por antissimetria da relação de ordem) não é estritamente menor que ele, o que mostra que m é máximo em bem Uma .
• Se a ordem for total, qualquer elemento máximo é máximo  : agora assumimos que E tem uma ordem total. Ou tem um elemento máximo de Uma . Ou b outro elemento de Uma . Então, a não é menor que b , portanto, como a ordem é total, b é menor que a . Portanto, a é maior ou igual a todos os elementos de A , então esse é o A máximo .

Mas isso não é necessariamente verdadeiro em um conjunto vazio ou infinito ou no caso de uma ordem não total (onde dois elementos podem ser ordenados da mesma maneira com os outros e mutuamente entre eles e, portanto, podem ser cada um deles elementos extremos. distinto). Por exemplo, o conjunto de apenas três inteiros {0, 1, 2} fornecido com a ordem parcial comparando não seu valor, mas sua paridade (o restante de sua divisão euclidiana por 2) não está completamente ordenado porque os elementos 0 e 2 têm o mesmo paridade 0 (os elementos 0 e 2 são valores mínimos para este pedido parcial, mas são diferentes: este conjunto ordenado, portanto, não tem mínimo, mas tem um máximo com o elemento 1). No subconjunto {0, 2} com a mesma ordem, não há mínimo nem máximo, mas os valores mínimos (assim como os valores máximos) existem e formam este mesmo conjunto de dois elementos.

Quando o conjunto ordenado é um singleton , seu elemento único é tanto o máximo quanto o mínimo. No caso degenerado em que o conjunto ordenado está vazio, não há extremo, nem qualquer valor extremo, e qualquer elemento de qualquer conjunto (incluindo assim o conjunto vazio como uma parte) é ao mesmo tempo um limite superior e um limite inferior, e, portanto, também um limite se este outro conjunto for totalmente ordenado.

Exemplos

No conjunto N de inteiros naturais dotados de sua ordem usual, qualquer parte não vazia admite um menor elemento e qualquer parte aumentada (isto é, admitindo um limite superior) é finita, portanto, até admite um máximo. Por exemplo, o próprio N tem um mínimo de 0 e nenhum máximo.

No conjunto R de números reais providos de sua ordem usual, certas partes aumentadas não admitem um elemento maior, por exemplo o intervalo ] 0, 1 [números estritamente entre 0 e 1.

Em R , as funções mínimas e máximas de um par podem ser expressas usando valores absolutos  :

min(x,y)=x+y-|x-y|2,max(x,y)=x+y+|x-y|2{\ displaystyle \ min {(x, y)} = {\ frac {x + y- | xy |} {2}}, \ quad \ max {(x, y)} = {\ frac {x + y + | xy |} {2}}}.

Em um conjunto ordenado fornecido com uma ordem não total, certas partes admitem elementos máximos que não são máximos.

Por exemplo, no conjunto E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} das partes do conjunto {0, 1}, ordenadas por inclusão, a parte A = {∅, {0} , {1}} admite (um mínimo e) dois elementos máximos não comparáveis, portanto, nenhum máximo (apenas um limite superior: {0, 1}, que não pertence a A ).

Extrema de uma função

O máximo de uma função f definida em um conjunto E e com valores em um conjunto ordenado F é o máximo do conjunto de valores tomado por f (da parte f ( E ) de F ). Assim, m é o máximo de f se existe um elemento a de E tal que f ( a ) = m e tal que para qualquer elemento x de E , f ( x ) ≤ f ( a ); o elemento a (que não é necessariamente único) é chamado de ponto máximo de f .

No caso em que o espaço inicial de f é fornecido com uma estrutura topológica (por exemplo, se f é uma função de uma ou mais variáveis ​​reais com valores reais), distinguem-se dois tipos de extremos: os extremos globais, que correspondem ao anterior definição, e os extremos locais.

Extremo local de uma função

Deixe f ser uma função definida em um espaço topológico E e tem um ponto de E . Eles dizem que f alcançado por um máximo local se houver uma vizinhança V de a tal que para cada elemento x de V , temos f ( x ) ≤ f ( a ).

Dizemos então que f ( a ) é um “máximo local” de f em E e que a é um ponto de máximo local de f .

Quando existe uma vizinhança V de a tal que para qualquer elemento x de V diferente de a , temos f ( x ) < f ( a ), dizemos que f atinge um máximo local estrito.

Quando E é parte de um espaço métrico (por exemplo, de um espaço vetorial normatizado , como R k ), as vizinhanças de a nessas definições podem ser escolhidas iguais a bolas . Por exemplo: f obtido por um máximo local se existe um real ε> 0 tal que para qualquer elemento x de E na distância <ε para a , temos f ( x ) ≤ f ( a ).

Seja uma função , onde D é um espaço topológico. Por exemplo, D pode ser uma parte de R (caso de uma função de uma variável real), ou de um espaço R k , com k um inteiro natural (caso de uma função de k variáveis ​​reais). f:D→R{\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}

A existência de extremos globais é assegurada desde que a função f seja contínua e a parte D seja compacta  : de fato, a imagem f ( D ) é então uma parte compacta do espaço de chegada R  ; como uma parte limitada de R , ele admite um limite superior, e esse limite superior está em f ( D ), uma vez que essa parte é fechada .

Na dimensão k = 1, é em particular o caso se I for um intervalo fechado limitado, isto é, da forma [ a , b ] (ver Teorema dos limites ). Na dimensão k superior , é em particular o caso se D for uma bola fechada (da forma , onde denota uma norma em R k ). D=B(PARA,r)={X∈Rk∣‖X-PARA‖≤r}{\ displaystyle D = B (A, r) = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {k} \ mid \ | XA \ | \ leq r \}}‖ ‖{\ displaystyle \ | ~ \ |}

Métodos resultantes de cálculo diferencial para a pesquisa de extremos locais

Seja uma função , onde U é um conjunto aberto de R k  ; por exemplo, no caso de uma variável real, L pode ser um intervalo aberto de forma a] um , b [(com um e b sendo números reais, ou , ou ). f:você→R{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}Para=-∞{\ displaystyle a = - \ infty}b=+∞{\ displaystyle b = + \ infty}

O estudo dos extremos freqüentemente envolve a busca pelos zeros da derivada , chamados de pontos críticos (ou pontos estacionários ) de f . Um ponto crítico não é necessariamente um ponto final, como mostra o exemplo da função no ponto 0. No entanto, sob certas suposições adicionais, um ponto crítico pode ser considerado um ponto final. f:R→R,x↦x3{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {3}}

Caso de uma função de uma variável Condição necessária para um extremo local No caso de uma função diferenciável f de uma única variável, se f tem um extremo local em um ponto da definição aberta de f , então a derivada de f neste ponto é zero. Condição suficiente para um extremo local Se f é diferenciável no U aberto e se, em um ponto , a derivada de f desaparece mudando o sinal, então f atinge um extremo local em . Mais especificamente, assumindo  : Para∈você{\ displaystyle a \ in U}Para{\ displaystyle a}f′(Para)=0{\ displaystyle f \, '(a) = 0}Se existe um tal queα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Para-α,Para+α]⊂você{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} e em , em ,f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Para-α,Para]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Para,Para+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} então f atinge um máximo local em .Para{\ displaystyle a} Se existe um tal queα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Para-α,Para+α]⊂você{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} e em , em ,f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Para-α,Para]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Para,Para+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} então f atinge um mínimo local em .Para{\ displaystyle a} Caso de uma função de várias variáveis Condição necessária para um extremo local Se a função f atinge um extremo local em um ponto a de U onde é diferenciável , então todas as suas derivadas parciais desaparecem em a . Condição suficiente para um extremo local Supõe-se que f é diferenciável duas vezes em um ponto de L . Sua matriz Hessiana em é gravado , ou seja  ; de acordo com o teorema de Schwarz , essa matriz é simétrica . Para{\ displaystyle a}Para{\ displaystyle a}∇2f(Para){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}∇2f(Para)eu,j=∂2f∂xeu∂xj(Para){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a) _ {i, j} = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} ( Para)}Se e se for definido como negativo , f atinge um máximo local estrito em .∇f(Para)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(Para){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Para{\ displaystyle a} Se e se for positivo definido , então f atinge um mínimo local estrito em .∇f(Para)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(Para){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Para{\ displaystyle a} Caso de uma função de várias variáveis ​​com restrições As condições de otimização para esses problemas são apresentadas em “  Condições de otimização  ”. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">