Pontos cíclicos
Na geometria projetiva , os pontos cíclicos são dois pontos imaginários comuns a todos os círculos do plano (daí seu nome). Eles são pontos imaginários na linha do infinito .
Histórico
Estes pontos foram introduzidas em 19 th círculo por Jean-Victor Poncelet trabalho 's na geometria projetiva. Eles também foram batizados umbilicais do plano de Edmond Laguerre .
Caracterização no plano projetivo complexo
As coordenadas homogêneas dos pontos cíclicos no plano projetivo complexo são I (1, i, 0) e J (1, -i, 0) .
Esses pontos são a intersecção da linha do infinito da equação homogênea z = 0 e das duas chamadas linhas isotrópicas das respectivas equações y = ix e y = -ix .
Os pontos cíclicos estão localizados a uma distância zero da origem, como todos os pontos de linhas isotrópicas.
Curvas algébricas circulares
Chamamos de curva algébrica circular (ou simplesmente curva circular ) qualquer curva algébrica que passa pelos dois pontos cíclicos.
Algebricamente, mostramos que a condição necessária e suficiente para que uma curva algébrica seja circular é que o polinômio formado a partir dos termos de maior grau de sua equação cartesiana seja divisível por x² + y².
O círculo é a única cônica circular. De acordo com o teorema de Bézout , quaisquer dois círculos do plano projetivo complexo têm 4 pontos de intersecção. Dois desses pontos são sempre os pontos cíclicos, os outros dois podem ser reais e distintos (círculos que se cruzam), reais e confusos (círculos tangentes) ou imaginários.
Entre as curvas algébricas circulares notáveis, também encontramos:
- As ovais de Cassini e, em particular, a lemniscata de Bernoulli ;
- Cúbicas circulares.
Umbilical
O conjunto de todos os pontos cíclicos de todos os planos do espaço projetivo (de dimensão 3) é denominado umbilical. É representado pelo sistema de equações (homogêneas) e ; em outras palavras, é o conjunto de pontos infinitos (imaginários) comuns a todas as esferas .
links externos
- Ilha da Reunião IREM: cúbicos e triângulos
Referências
- Memória sobre o uso de imaginários na geometria do espaço, de Edmond Daguerre. Novas Annals of Mathematics 2 nd série, volume 2, 1872 [1]
- Wikipedia em inglês - linha isotrópica
- Cúbicas circulares na Enciclopédia de formas matemáticas notáveis de Robert Ferréol [2]