Em matemática , a ordem das operações ou ordem das operações especifica a ordem em que os cálculos devem ser executados em uma expressão complexa.
As regras de prioridade são:
Se interpretarmos a subtração como a adição do oposto e a divisão como a multiplicação pelo inverso, podemos nos livrar da última regra. Assim, um cálculo como 2 - 0,5 + 1,5 é executado na ordem de sua escolha, interpretando-o como uma soma de termos positivos ou negativos
2 - 0,5 + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3 2 - 0,5 + 1,5 = 2 + (−0,5 + 1,5) = 2 + 1 = 3 2 - 0,5 + 1,5 = 2 + 1,5 - 0,5 = 3,5 - 0,5 = 3(mas não realizaremos: 2 - (0,5 + 1,5) = 2 - 2 = 0 )
Em um cálculo como 7 + 2 × 6 , a prioridade é dada à multiplicação:
7 + 2 × 6 = 7 + 12 = 19(e não faremos isso: (7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54 , como seríamos tentados a fazer lendo da esquerda para a direita).
O uso de parênteses, portanto, torna possível criar uma exceção para as prioridades operacionais (multiplicações e divisões tendo prioridade sobre adição e subtração).
Portanto, um cálculo como (7 + 2) × 6 é feito da seguinte forma:
(7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54 .Essas quatro regras se complementam: assim, o cálculo 50 × 2 - [3 + 4 × (11 - 6 + 3) - 1] é realizado da seguinte forma:
A = 50 × 2 - [3 + 4 × 8 - 1] (prioridade dos cálculos entre colchetes 11 - 6 + 3 ) A = 100 - [3 + 4 × 8 - 1] (prioridade para a multiplicação 50 × 2 sobre a subtração que precede os colchetes) A = 100 - [3 + 32 - 1] (prioridade para a multiplicação 4 × 8 entre colchetes) A = 100 - 34 (prioridade para a soma 3 + 32 - 1 entre parênteses) A = 66 (diferença final)Uma calculadora científica leva essa ordem de operações em consideração, mas executará a adição e subtração mistas, bem como os produtos e divisões mistos na ordem em que os operandos aparecem.
Várias convenções governam o operador de subtração unário. Em matemática escrita ou impressa, a expressão −3 2 é interpretada como 0 - (3 2 ) = - 9 .
Alguns aplicativos e linguagens de programação, incluindo Microsoft Excel (mas também outras planilhas como o LibreOffice ) e a linguagem de programação bc , os operadores unários têm precedência mais alta do que os operadores binários. Assim, o menos unário tem prioridade sobre a exponenciação e, portanto, nessas linguagens −3 2 é interpretado como (−3) 2 = 9 . Isso não se aplica ao operador binário -. Por exemplo, enquanto as fórmulas =-2^2e =0+-2^2retornam 4 no Microsoft Excel, a fórmula =0-2^2retorna −4. Nos casos em que a notação pode ser mal interpretada, uma operação binária pode ser reforçada especificando explicitamente o 0 precedente (como em, em 0-2^2vez de apenas -2^2), ou adicionando parênteses para esclarecer o significado esperado.
Uma mistura de multiplicações e divisões é calculada de acordo com a convenção "da esquerda para a direita", significado de leitura usado pela maioria dos países do mundo. Assim, 80 ÷ 4 × 2 será lido (80 ÷ 4) × 2. Isso permite que a multiplicação mantenha sua comutatividade e seja capaz de reescrever este cálculo 2 × 80 ÷ 4 sem alterar seu resultado. Da mesma forma, substituir a divisão pela multiplicação inversa e reescrever este cálculo 80 × 0,25 × 2 também não alterará seu resultado.
Uma ambigüidade parece surgir no uso do símbolo de barra / dentro de expressões como 3/2 x que comumente leremos 3 / (2x). Parece então que a multiplicação observada pela justaposição , também chamada de multiplicação implícita, é interpretada como tendo uma prioridade maior do que a divisão e, portanto, 3 / 2x, que pode ser vista como 3 ÷ 2 x , torna-se então igual a 3 ÷ (2 x ) , e não para (3 ÷ 2) x que seria o caso se aplicássemos a convenção "da esquerda para a direita".
Na verdade, isso é uma interpretação errônea. Esses números são 2x ou 3√5. são números expressos na forma de multiplicação, mas em que a multiplicação, que é parte integrante do número, não faz parte do cálculo.
Assim esta operação 3 / 2x é na verdade uma simples divisão única do número "3" pelo número "2x" e em nenhum caso esta forma de ver, amplamente utilizada na comunidade científica, não pode servir de referência ou de modelo no cálculo de 3/2 (1 + 2) onde aqui 2 (1 + 2), que na verdade deveria ser escrito 2 × (1 + 2), é de fato um cálculo a ser realizado e não pode ser assimilado ao número "2x "
Claro, quem quiser escrever (3/2) x naturalmente passará a escrever 3x / 2.
Se a exponenciação for indicada por uma pilha de símbolos sobrescritos, a regra usual é ir de cima para baixo:
a b c = a ( b c )que normalmente não é igual a ( a b ) c .
No entanto, quando o operador é denotado por um circunflexo (^) ou uma seta (↑), não há convenção universal. Por exemplo, Microsoft Excel e a linguagem de programação MATLAB avaliam como ( a b ) c , mas Google (mecanismo de busca) e WolframAlpha como a ( b c ) . Assim, é avaliado em 4096 no primeiro caso e em 262144 no segundo. a^b^c4^3^2
Uma ambigüidade semelhante surge no caso de divisões sucessivas. Por exemplo, a expressão 10 ÷ 5 ÷ 2 pode ser interpretada como
10 ÷ (5 ÷ 2) = 4ou como
(10 ÷ 5) ÷ 2 = 1Nesse caso, a convenção "operações da esquerda para a direita", que é a referência aritmética, resolve a ambigüidade em favor da última expressão. Da mesma forma, o hábito matemático de combinar fatores e representar a divisão como multiplicação pelo reverso também remove essa ambigüidade.
Em matemática, as operações básicas, adição , subtração , multiplicação , divisão , exponenciação são binárias, ou seja, com dois elementos, associamos um terceiro denominado resultado da operação. Em uma expressão complexa, normalmente é necessário encontrar essas associações em pares. Os parênteses são usados para determinar com precisão quais pares são afetados quando a precedência de operação não é aplicada. Assim, uma escrita no formulário não identifica os pares em questão e pode ser a escrita incompleta de
com eOs parênteses definem uma ordem de cálculo do primeiro cálculo dos parênteses mais internos .
Mas a expressão incompleta poderia muito bem ser a de:
(se tomarmos a ordem de leitura como uma convenção) ou outros ...Entre a presença completa de todos os parênteses e a escrita ambígua sem parênteses, foi necessário definir algumas regras.
Os primeiros são herdados das propriedades de associatividade das leis utilizadas. Este é o caso da adição e multiplicação.
Assim, os cálculos de
e
dando o mesmo resultado, autorizamos a supressão dos parênteses, o cálculo
pode ser feito na ordem de sua escolha. É o mesmo para a escrita a + b + c que é realizada na ordem de sua escolha.
Não é o mesmo para misturas de adições e subtrações. Assim, os cálculos de
(a - b) + ce de
a - (b + c)não dê o mesmo resultado. A convenção aqui é ver em uma subtração a adição do oposto. Uma escrita como a - b + c é então uma abreviatura autorizada de a + (−b) + c .
Tal convenção não é tão explícita para misturas de divisões e multiplicações. Cálculos de
(ABCe de
ABC)não dê o mesmo resultado. A expressão a: bc às vezes é interpretada como (a: b) .c, mas essa interpretação está longe de ser universal. Assim, algumas calculadoras continuam a realizar o cálculo de
1: 2a como 1: (2a)E o de
1: 2 × a como (1: 2) × aEscrever na forma fracionária, apresentando um delimitador fracionário, evita qualquer ambigüidade e limita o uso do parêntese:
(a: b). c é então escrito , e a escrita a: (bc) ,O caso do poder, por causa de seu arranjo espacial, apresenta um problema ligeiramente diferente: o cálculo de (a ^ b) ^ c não tem o mesmo valor que a ^ (b ^ c) . A presença de um delimitador espacial permite, em parte, dissipar a ambigüidade: a expressão
é uma tradução sem parênteses da segunda expressão. A primeira expressão requer a presença de parênteses ou um início de cálculo
Existem, então, níveis de operação que especificam, na ausência de parênteses, os cálculos a realizar primeiro: trata-se de calcular primeiro as potências, depois os produtos e quocientes e, finalmente, as adições e subtrações. Os parênteses podem ser substituídos por indicações de posições como para as frações ou expoentes, ou barras como para as raízes .
Então, por convenção, a entrada inicial,
a + bc - d + enão apresenta mais nenhuma ambigüidade com essas novas convenções e só pode valer o resultado da seguinte soma:
a + (bc) + (−d) + ee uma expressão como
só pode ser lido com a seguinte soma
Quando o cálculo a ser executado não respeita esta ordem de execução, os parênteses estão aí para indicar as prioridades não convencionais. Assim, a expressão
a + b.c + dsendo interpretado como
a + (bc) + d ,o produto de duas somas deve incluir parênteses
(a + b). (c + d)Os primeiros escritos de fórmulas matemáticas eram retóricos, isto é, na forma de uma frase. O modelo de referência é o texto matemático euclidiano, que se configurou nos elementos de Euclides em 300 aC. AD Neste, a ordem das operações é explícita. Não há confusão possível entre as duas frases a seguir:
nem qualquer ambigüidade na frase
Mas, durante a implementação de computação simbólica para o fim do XVI th século e durante todo o XVII º século , então o problema de escrever expressões matemáticas complexas. Os dois textos anteriores podem ser traduzidos pela mesma notação simbólica
a + bce o terceiro texto escrito como
√ a + btambém poderia ser traduzido como "pegue a raiz quadrada de a e adicione b a ela".
A pesquisa, portanto, se concentrou no estudo de delimitadores. O objetivo era esclarecer quais eram as operações principais e secundárias e como os termos deveriam ser agrupados. Esses delimitadores eram de vários tipos. Os principais são
Portanto, uma expressão que se lê hoje em dia
(a + b) .c ,escrevi
a + b..ce encontramos em Descartes expressões como
√.3 + √2 .atualmente significando
Esses delimitadores ou signos de agregação foram particularmente estudados por Leibniz que os chama de signos de abrangência .
Outra forma de agregar diversos conteúdos consistia em posicioná-los em linhas distintas. Encontramos esse hábito em particular na escrita espacial das frações, onde o posicionamento em relação à linha de escrita serve como um delimitador confirmado pela barra de frações, uma espécie de vinculo. Assim, a expressão que Descartes escreve na forma
será traduzido por Leibniz, favorável à escrita linear,
((a + (b: c)) :( e + (f: g))Nesse sentido, podemos apontar a importância da posição espacial para a leitura das prioridades em uma expressão como
que deve ser lido
enquanto
deve ser lido
Descartes usa amplamente a notação espacial para agrupar, por exemplo, termos dentro de um produto, para que possamos ler nele expressões como
,O caso particular de exponenciação deve ser mencionado por seu papel posicional não simétrico: em uma escrita como
3a b + 2 ,a posição de b + 2 na linha de exponenciação é válida como um sinal de agregação e a expressão não pode ser confundida com
3a b +2 .Por outro lado, o fato de 3 e a estarem ambos colocados na linha de cálculo não permite que sejam agregados e, implicitamente, desde as primeiras exponenciações, em Descartes, apenas o primeiro termo à esquerda da potência está em causa.
Em qualquer teoria, qualquer expressão matemática complexa deve conter tantos delimitadores quantos forem necessários para remover qualquer ambigüidade. Então, uma escrita como
3a 2b + 5deve ser escrito
escrita que, reconhecidamente, não apresenta outra interpretação, mas não brilha pela clareza da sua leitura.
A supressão de certos delimitadores, como no exemplo da exponenciação citado anteriormente, aparece naturalmente nos primeiros autores como Descartes ou Leibniz. Assim, na resolução da equação quadrática que Descartes escreve
e do qual ele propõe como uma solução
,este omite deliberadamente os delimitadores
e
sem nunca indicar as regras de prioridade que regem este tipo de cálculo.
Provavelmente devemos ver nesta ausência de delimitação uma interpretação quanto à natureza dos objetos manuseados. Essa interpretação em termos de unidade já é encontrada em textos retóricos. Quando os tradutores de Euclides escrevem, a respeito da divisão entre razão média e extrema
"Se uma linha é cortada entre a razão extrema e média, o quadrado do maior segmento adicionado à metade do todo é igual a cinco vezes o quadrado da metade"
- Os elementos, Livro XIII, proposição 1.
para eles não há ambigüidade. O matemático moderno, procurando escrever tal expressão na forma algébrica e chamando x de segmento maior e L de linha, se depararia com duas interpretações para este texto:
Para Euclides e seus leitores, por outro lado, não há ambigüidade, a primeira interpretação sem sentido para eles. Como o quadrado do segmento maior é uma área e metade do todo é um comprimento, não há sentido em adicionar uma área e um comprimento e apenas a segunda interpretação é correta.
Da mesma forma, quando Descartes escreve
,o membro da mão esquerda continua sendo uma área para ele e qualquer outra agregação do segundo membro além da atualmente aceita não poderia levar a uma área. Finalmente, o 1/2 na frente de a é visto mais como uma fração do que como uma multiplicação, pegamos a metade de a. Da mesma forma, não há maneira de agregar de forma diferente
sem que a expressão perca sua qualidade de área.
Portanto, Descartes e seus sucessores estabeleceram implicitamente as regras de prioridade operacional que são usadas atualmente. O uso de parênteses só intervém para derrogar essas prioridades ou para remover uma ambigüidade no conteúdo.
A convenção que teria privilegiado a ordem da escrita, isto é, que teria consistido em realizar as operações na sua ordem de aparecimento, da esquerda para a direita, salvo contra-ordem indicada por delimitadores, teria expressões desnecessariamente carregadas como . Teria, além disso, instalado uma ordem de prioridade (o que está à esquerda é mais aglomerado do que o que acontece à direita) que entraria em conflito com as propriedades de comutatividade (o que está à esquerda pode passar para a direita)
Outras prioridades têm tentado emergir como a notação polonesa reversa início XX th século , mas não sobreviveu três convenções séculos e publicações.
Em ciência da computação , o conceito de prioridade de operações é chamado de precedência de operador em inglês .
Também diz respeito aos operadores lógicos : assim, o “e” (lógica) tem prioridade sobre o “ou” (lógica).
Algumas linguagens de computador , como a linguagem C, possuem apenas operadores cujas funções e prioridades são predefinidas. Outras linguagens como Haskell e Perl 6 permitem ao programador definir novos operadores cuja prioridade eles também devem especificar.
(pt) " Ordem de operações " , no PlanetMath