Problema de Fekete

Em matemática , o problema de Fekete é, dado um número natural N e um número real s ≥ 0, encontrar os pontos x 1 , ..., x N na 2-esfera para os quais a s -energia, definida por

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq N} \ | x_ {i} -x_ {j} \ | ^ {- s}}

para s > 0 e por

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq N} \ log \ | x_ {i} -x_ {j} \ | ^ {- 1}}

para s = 0, é mínimo. Para s > 0, esses pontos são chamados de pontos s -Fekete e, para s = 0, pontos Fekete logarítmicos (ver Saff & Kuijlaars (1997)). De maneira mais geral, podemos considerar o mesmo problema na esfera d- dimensional ou em uma variedade Riemanniana (nesse caso || x i - x j || é substituída pela distância Riemanniana entre x i e x j ).

O problema teve origem no artigo de Michael Fekete (1923), que considerou o caso unidimensional com s = 0 casos, respondendo a uma pergunta de Issai Schur .

Uma versão algorítmica do problema de Fekete é a de número 7 na lista de problemas discutida por Smale (1998).

Referências

Saff e Kuijlaars, “ Distribuindo muitos pontos em uma esfera ”, Math. Intelligencer , vol. 19, n o 1,1997, p. 5-11 ( DOI 10.1007 / BF03024331 , Math Reviews 1439152 )