Problema de Napoleão

Na geometria plana, o problema de Napoleão consiste em construir o centro de um determinado círculo apenas com uma bússola . É frequentemente atribuído a este problema e sua demonstração Napoleão I er , mas não é certo esta demonstração dele. Certamente, ele é conhecido por seu gosto pela matemática e seu treinamento como artilheiro lhe permite dominar as engrenagens. No entanto, ao mesmo tempo, o italiano Lorenzo Mascheroni publicou sua Geometria do Compasso , obra em que estudou construções apenas com o compasso . Mas no décimo livro, capítulo "dos centros", apenas o problema 143, que explica e demonstra como encontrar o centro de um determinado círculo, trata a questão, e isso de uma forma muito diferente da de Napoleão aqui exposta.

Construção

Seja o círculo cujo centro queremos determinar (círculo preto inteiro na figura 1) . Seja um ponto A deste círculo (na parte inferior do círculo preto na figura 1) . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Um círculo centrado em A encontra este círculo em B e B ' (arco de um círculo em vermelho na figura 1) . ${\ mathcal C} _ {1}$ $\ mathcal C$

Dois círculos centrados em B e B 'e passando por A encontram-se no ponto C (dois arcos verticais de círculos em verde na Figura 1) . ${\ mathcal C} _ {2}$

Um círculo centrado em C e passando por A encontra-se em D e D ' (grande arco de um círculo em magenta escuro na parte inferior da figura 1) . ${\ mathcal C} _ {3}$ ${\ mathcal C} _ {1}$

Dois círculos centrados em D e D 'e passando por A encontram-se no centro de (dois arcos verticais de círculos em azul na figura 1) . ${\ mathcal C} _ {4}$ $\ mathcal C$

Nota : Para que a construção seja viável, é necessário tomar como raio do círculo uma quantidade que não seja muito grande nem muito pequena . Mais precisamente, esse raio deve estar entre a metade e o dobro do raio do círculo . ${\ mathcal C} _ {1}$ $\ mathcal C$

Manifestações

Usando propriedades de triângulo retângulo

O princípio da demonstração é a possibilidade de construir, apenas com uma bússola , o comprimento se os comprimentos e forem conhecidos (anotações na figura 2). A prova é baseada nas propriedades do triângulo retângulo. ${\ displaystyle b ^ {2} / a}$ $no$ $b$

Na Figura 2 anexada, o triângulo é retângulo em ; é o pé de sua altura resultante de , podemos, portanto, escrever a seguinte igualdade: ${\ displaystyle ABA '}$ $B$ $H$ $B$

AH.AA '= AB ^ {2}

Portanto :

AH = {\ frac {b ^ {2}} {2a}}

AC = {\ frac {b ^ {2}} {a}}

Porém, na construção anterior (figura 1), encontramos duas vezes uma configuração deste tipo:

pontos , e estão no círculo de centro e raio , distâncias , , e vale a pena , então: $NO$ $B$ $B '$ $O$ $r$ $AB$ ${\ displaystyle AB '}$ $AC$ ${\ displaystyle B'C}$ $R$

AC = {\ frac {R ^ {2}} {r}}

pontos , e (não desenhada) estão no círculo central e raio , distâncias , , e vale a pena , então: $NO$ $D$ $De$ $VS$ ${\ displaystyle {\ frac {R ^ {2}} {r}}}$ $DA$ ${\ displaystyle D'A}$ ${\ displaystyle DX}$ ${\ displaystyle D'X}$ $R$

AX = {\ frac {R ^ {2}} {R ^ {2} / r}} = r

O ponto é, portanto, o centro do círculo que passa , e CQFD $X$ $O$ $NO$ $B$ $B '$

Usando uma inversão

As bissetoras perpendiculares dos segmentos e , cujas extremidades são pontos do círculo , se cruzam no centro desejado deste círculo. Na inversão do centro que deixa o círculo inalterado, essas bissetoras perpendiculares são as inversas dos dois círculos . O ponto é, portanto, o inverso do ponto . As bissetoras perpendiculares dos segmentos e , cujas extremidades são pontos do círculo , se cruzam no centro deste círculo. Na mesma inversão, os círculos cujos centros estão no círculo são os inversos dessas duas bissetoras perpendiculares. Portanto, eles se cruzam em . $AB$ ${\ displaystyle AB '}$ $\ mathcal C$ $O$ $NO$ ${\ mathcal C} _ {1}$ ${\ mathcal C} _ {2}$ $VS$ $O$ $DE ANÚNCIOS$ ${\ displaystyle AD '}$ ${\ mathcal C} _ {3}$ $VS$ ${\ mathcal C} _ {4}$ ${\ mathcal C} _ {1}$ $O$

Notas e referências

porque na inversão do centro e da razão , a bissetriz perpendicular do segmento e o círculo de centro que passa são inversos um do outro. $P$ ${\ displaystyle | PQ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle PQ}$ $Q$ $P$

Veja também