Na álgebra linear , um projetor (ou uma projeção ) é um mapa linear que pode ser apresentado de duas maneiras equivalentes:
Numa Hilbertian ou mesmo somente espaço prehilbertian , uma projecção para o qual os dois adicional são ortogonais é chamado uma projecção ortogonal .
Vamos F ser um subespaço do vector E e G um adicional de F em E . Qualquer vector x de E pode ser escrita de uma forma única como a soma de um vector F e um vector de L : . A projeção em F paralela a G é então o mapa:
Estabelecida como tal, a aplicação p é um endomorfismo , idempotente ( p ∘ p = p ) de imagem im ( p ) = F e núcleo ker ( p ) = L . Este endomorfismo é diagonalizável .
Definimos o conjunto de projetores de E como os endomorfismos p de E satisfazendo p 2 = p . Acabamos de ver que qualquer projeção é um projetor. Reciprocamente :
Teorema de caracterização do projetor - Qualquer projetor de E é uma projeção, precisamente a projeção em im ( p ) paralela a ker ( p ) , sendo esses dois subespaços então adicionais.
A projeção em G paralela a F é o mapa q = id - p , também chamado de projetor “associado” a p .
A imagem de q é então o kernel de p , a imagem de p é o kernel de q . Em outras palavras: ker ( p ) = im (id - p ) e im ( p ) = ker (id - p ) .
Dois endomorfismos p e r do mesmo espaço vetorial são projetores da mesma imagem se e somente se p ∘ r = r e r ∘ p = p .
DemonstraçãoUm espaço vetorial E é uma soma direta de subespaços vetoriais se e somente se existe uma família de projetores (para ) satisfazer: e se i ≠ j .
Uma simetria vetorial é um endomorfismo s tal que s 2 é a identidade (não deve ser confundido com " Endomorfismo simétrico ").
A busca por endomorfismos como p 2 = p , ou que s 2 = id realizada aqui é um caso especial simples do tratamento da equação P ( u ) = 0 para o polinômio P e o endomorfismo u ; consulte o artigo " Polinômio de endomorfismo " para generalizações.
Em um espaço quadrático , em particular em um espaço préhilbertiano , um projetor é um endomorfismo simétrico se e somente se . Temos então um projetor ortogonal , ou uma projeção ortogonal .
Qualquer projetor de um espaço dimensional finito é diagonalizável , com apenas autovalores 1 e 0 (se não for zero, nem identidade).
De fato, se denotarmos uma base de E com vetores de im ( p ) e vetores de ker ( p ) (o que é possível, porque a imagem e o núcleo de p são adicionais), então a matriz de p nesta base adaptada é escrito:
Portanto, temos as seguintes propriedades: