Projeção afim

Na geometria afim , uma projeção afim é uma aplicação pontual de espaço em um subespaço, no qual um ponto e sua imagem estão em uma direção fixa chamada de direção da projeção.

Assim, a sombra, lançada pelo sol, em uma superfície plana, dos objetos do espaço é, como uma primeira aproximação, uma projeção do espaço em um plano de acordo com a direção dos raios do sol.

As projeções afins são úteis na construção de um plano ou estrutura espacial. Eles também intervêm na construção de afinidades . Eles são usados em algumas representações bidimensionais de objetos tridimensionais. Em seguida, falamos de perspectiva axonométrica .

Em um espaço euclidiano , quando a direção da projeção é ortogonal ao subespaço no qual estamos projetando, falamos de projeção ortogonal . Quando a direção não é fixa, mas existe um ponto fixo tal que um ponto e sua imagem estão sempre alinhados com o ponto fixo, não é uma projeção afim, mas uma projeção central .

Projeção em geometria plana

Apresentação

Na geometria plana, considera-se uma linha recta D do mapa e uma direcção não paralela ao Δ D . A projeção na linha D na direção Δ transforma o ponto A em um ponto A 'de modo que

A 'está na linha paralela a Δ passando por A
A 'está à direita D

As duas linhas precedentes não sendo paralelas, elas encontram um único ponto que garante a existência e a singularidade de A 'quando um ponto A é dado.

Notamos que, se A pertence à linha D, é seu próprio projeto. Finalmente, qualquer ponto A 'localizado em D é a projeção de uma infinidade de pontos: todos os pontos localizados na linha que passa por A' e paralelos a Δ são projetados em A '. Assim, a projeção não é injetiva e, portanto, não é uma bijeção .

A projeção é um aplicativo afim . Isso significa que a projeção mantém os baricentros: se A e B são dois pontos e se a e b são dois reais, de modo que a + b não é zero e se G é o baricentro dos pontos A e B atribuídos aos coeficientes a e b , a projeção do ponto G ainda é o baricentro das projeções de A e B afetadas pelos mesmos coeficientes a e b .

Em particular, se A , B e C são três pontos alinhados e se A ', B ' e C 'são suas projeções, então a projeção mantém as proporções das medidas algébricas :

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}}}

Esta propriedade é semelhante à propriedade de Thalès .

Ao mapa afim está associado um mapa linear aos vetores do plano : ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) = {\ overrightarrow {A'B '}}}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}}) = {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) + {\ vec {p }} ({\ overrightarrow {AC}})}

e se k é um escalar , então

{\ displaystyle {\ vec {p}} (k {\ overrightarrow {AB}}) = k {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}})}

Este mapa linear é uma projeção vetorial .

Projeções cartesianas e coordenadas

As linhas D e ô intersectam-se ó . Assim, são A ' a projecção de um na D paralelo ao Δ e A' a projecção de um na Δ paralelo para D . Então :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA '}} + {\ overline {OA' '}}}

Se L é um vector dirigindo de D e v um vector de direccionamento da Δ, (0, u , v ) é um sistema afim do plano de coordenadas. Se as coordenadas de A neste quadro são ( x , y ), então:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = x \ cdot u \; \ {\ overrightarrow {OA' '}} = y \ cdot v.}

Projeção paralela a uma linha na geometria analítica

Let Ser um vetor direcionador de Δ de componentes ( x u , y u ). É $\ vec {u}$

a · x + b · y + c = 0

a equação D . Seja o ponto A com as coordenadas ( x A , y A ) e seu projeto A ' com as coordenadas ( x A' , y A ' ).

Como ( AA ' ) é paralelo a Δ, existe um escalar k tal que

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \ end {matriz}} \ right.}

Além disso, A ' está em D , o que significa que

a · x A ' + b · y A' + c = 0

então nós temos

a · ( k · x u + x A ) + b · ( k · y u + y A ) + c = 0

de onde

{\ displaystyle k = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}}}

( A · x u + b · y u não é zero, pois não é colinear com D ), onde $\ vec {u}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot x_ {u} + x_ {A} \\ y_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot y_ {u} + y_ {A} \ end {matriz}} \ direita.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) - c \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A } y_ {u}) - c \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ end {matriz}} \ right.}

Projeção geométrica no espaço

Projeção em um plano paralelo a uma linha

Apresentação

No espaço, consideramos um plano Π e uma linha Δ não paralela a Π. A projeção no plano Π de acordo com a direção Δ transforma o ponto A em um ponto A 'de modo que

A 'pertence ao plano Π;
A 'está na linha paralela a Δ passando por A

Como o plano e a reta não são paralelos, eles se cruzam em um único ponto, o que garante a existência e a unicidade de A 'quando um ponto A é dado. Se Δ for perpendicular a Π, então a projeção é dita ortogonal .

Encontramos as mesmas propriedades da projeção anterior: se A pertence ao plano, A é sua própria projeção. Qualquer ponto A 'do plano é a projeção de uma infinidade de pontos localizados na linha que passa por A' e paralela a Δ

A projeção é um aplicativo afim , que preserva os baricentros e o paralelismo. Isso quer dizer que duas linhas paralelas são projetadas ou de acordo com dois pontos, ou então de acordo com duas linhas igualmente paralelas. Este tipo de projeção permite representações planas de objetos no espaço na forma de perspectivas axonométricas , como a perspectiva cavalier .

Quanto a qualquer mapeamento afim, a propriedade de Thales ainda é verificada: se A , B e C são três pontos alinhados e se A ', B ' e C 'são suas projeções, então

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}},}

ou seja, há um escalar que satisfaça ambos $\ lambda$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow {AC}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ overrightarrow {A'B '}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow { A'C '}}.}

De fato, para o mapa afim está associado um mapa linear sobre os vetores do espaço, que envia em e em . $\ overrightarrow {AC}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A'C '}}}$ $\ overrightarrow {AB}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}$

O mapa linear associado a uma projeção afim é uma projeção vetorial .

Expressão analítica

Seja um vetor de direção de Δ de componentes ( x u , y u , z u ). É $\ vec {u}$

a · x + b · y + c · z + d = 0

a equação de Π. Seja o ponto A com as coordenadas ( x A , y A , z A ) e seu projeto A ' com as coordenadas ( x A' , y A ' , z A' ).

Como ( AA ' ) é paralelo a Δ, existe um escalar k tal que

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \\ z_ {A '} - z_ {A} = k \ cdot z_ {u} \\\ end {matriz}} \ right.}

Além disso, A ' está em Π, o que significa que

a · x A ' + b · y A' + c · z A ' + d = 0

Vemos que, do ponto de vista analítico, o problema é muito semelhante ao anterior. Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas x A ' , y A' , z A ' e k . Nós obtemos :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) + c \ cdot ( x_ {A} z_ {u} -z_ {A} x_ {u}) - d \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u }}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A} y_ {u}) + c \ cdot (y_ {A} z_ {u} -z_ {A} y_ {u}) - d \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \ z_ {A ' } = {\ frac {a \ cdot (z_ {A} x_ {u} -x_ {A} z_ {u}) + b \ cdot (z_ {A} y_ {u} -y_ {A} z_ {u} ) - d \ cdot z_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \\\ end {matriz}} \ right.}

No caso de uma projecção ortogonal e se o sistema de coordenadas é ortonormal, pode-se escolher x u = a , y u = b e z L = c , que é dizer

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} -d \ cdot a} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {-ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} -d \ cdot b} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ z_ {A '} = {\ frac {-ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} -d \ cdot c} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\\ end {matriz}} \ direita.}

Se decidirmos arbitrariamente que Π contém a origem ( d = 0) e que a ² + b ² + c ² = 1, então temos

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = (b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} \\ z_ {A '} = - ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} \\\ end {matriz}} \ direito.}

No caso da perspectiva isométrica , escolhemos | a | = | b | = | c | = 1 / √3. Por exemplo, se escolhermos os três valores positivos, temos

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = 2/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - 1/3 \ cdot x_ {A} +2/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ z_ {A'} = - 1/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} +2/3 \ cdot z_ {A} \\\ end {matriz}} \ right.}

Projeção em uma linha paralela a um plano

Com as mesmas notações acima, pode-se definir a projeção em Δ paralelo a Π: ela transforma o ponto A em um ponto A 'tal que

A 'está em Δ;
A 'pertence ao plano paralelo a Π passando por A

Como antes, o fato de a reta e o plano não serem paralelos permite dizer que eles se cruzam em um ponto e garante a existência e a unicidade de A 'quando um ponto A é dado. Se Δ for perpendicular a Π, então a projeção é dita ortogonal.

Encontramos as mesmas propriedades da projeção anterior: se A pertence à reta, A é sua própria projeção. Qualquer ponto A 'na linha é a projeção de uma infinidade de pontos localizados no plano que passa por A' e paralelos a Π.

É sempre um mapa afim, então o mapa linear associado é uma projeção vetorial , portanto, tem as propriedades declaradas acima.

Projeções cartesianas e coordenadas

Considere três linhas D uma direcção vetor u 1 , D 2 direcção vetor u 2 e D 3 direcção vetor u três , não-coplanares e convergem num ponto S .

Para um ponto no espaço A , chamamos:

A 1 a projeção de A em D 1 paralelo ao plano ( D 2 , D 3 );
A 2 a projeção de A em D 2 paralelo ao plano ( D 3 , D 1 );
A 3 a projeção de A em D 3 paralelo ao plano ( D 1 , D 2 ).

Então :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA_ {1}}} + {\ overrightarrow {OA_ {2}}} + {\ overrightarrow {OA_ {3}}}}

e se A tem por coordenadas ( x , y, z ) no quadro (0, u 1 , u 2 , u 3 ), então

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA_ {1}}} = x \ cdot u_ {1} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {2}}} = y \ cdot u_ {2} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {3}}} = z \ cdot u_ {3}.}

Definição geral

Em um espaço afim não especificado, considera-se um subespaço afim de direção e um adicional de , chama-se a projeção de acordo com a direção , o mapa que transforma qualquer ponto A no ponto A 'verificando $F_1$ $V_ {1}$ $V_ {2}$ $V_ {1}$ $F_1$ $V_ {2}$

A 'pertence a $F_1$
A 'pertence ao subespaço (passando por A e direção ). ${\ displaystyle A + V_ {2}}$ $V_ {2}$

O fato de suas direções serem adicionais garante que os dois subespaços e tenham apenas um ponto em comum. $F_1$ ${\ displaystyle A + V_ {2}}$

Provamos que esta projeção é um mapa afim, cujo mapa linear associado é a projeção na direção , e cujo conjunto de pontos fixos é . Por outro lado, qualquer mapa afim cujo mapa linear associado é uma projeção e que tem pontos fixos é uma projeção afim. $p$ ${\ vec p}$ $V_ {1}$ ${\ displaystyle V_ {2} = \ ker ({\ vec {p}})}$ ${\ displaystyle F_ {1} = p (E)}$

Qualquer projeção afim é idempotente , isto é . Por outro lado, qualquer mapa afim idempotente é uma projeção afim. $p$ ${\ displaystyle p \ circ p = p}$

Referências

A fonte é considerada distante o suficiente para que os raios do sol sejam considerados paralelos
Aviva Szpirglas , álgebra L3: Curso completo com 400 testes de exercícios e corrigidos [ detalhe da edição ], p. 107

Bibliografia

Aviva Szpirglas , Álgebra L3: Curso completo com 400 testes e exercícios corrigidos [ detalhe da edição ]
Dany-Jack Mercier, Teste de apresentação de matemática da CAPES: aulas escritas e comentadas, Volume 4 , Edições Publibook, 2008

Projeção afim

Projeção em geometria plana

Apresentação

Projeções cartesianas e coordenadas

Projeção paralela a uma linha na geometria analítica

Projeção geométrica no espaço

Projeção em um plano paralelo a uma linha

Projeção em uma linha paralela a um plano

Projeções cartesianas e coordenadas

Definição geral

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