A expressão raiz óbvia é uma expressão consagrada pelo uso . Ele designa a raiz de uma equação que pode ser encontrada sem o uso de um método elaborado, como o método de Cardan para equações de terceiro grau ou mesmo o método de Ferrari ou o método de Descartes para equações de quarto grau. Hoje em dia, o uso de uma calculadora gráfica fornece a curva da função e, assim, mostra suas raízes. Porém, uma verificação é necessária, pois aproximações podem aparecer.
A busca por raízes racionais em uma equação com coeficientes inteiros é baseada na seguinte propriedade, que segue do lema de Gauss :
Se os inteiros a 0 e a n forem diferentes de zero e se uma fração irredutível p / q for a raiz do polinômioem seguida, p é o divisor de um 0 e q é o divisor de um n .
Consequentemente, para encontrar uma possível raiz racional de um polinômio, estabelece-se a lista de todos os divisores de a 0 e de todos os divisores de a n e tenta-se substituir o desconhecido na equação por uma racionalização da forma p / q em todas as formas possíveis, escolhendo p entre os divisores de um 0 e q entre os divisores de um n até que a equação é satisfeita (um estudo rápido das variações muitas vezes torna possível limitar estes testes inicialmente excluindo a maioria dos “candidatos” ( p / q ).
Em particular, se o polinômio é unitário , suas únicas raízes racionais possíveis são necessariamente inteiros.
A equaçãotem uma solução real única, estritamente entre 0 e 1.
Os divisores positivos do coeficiente dominante são 1 e 3. Aqueles do coeficiente constante são 1, 2, 5 e 10.
Consequentemente, os únicos racionais capazes de ser raízes são e .
Substituindo x por cada um desses dois valores, descobrimos que essa é a solução.
Por aplicação de identidade e igualdade , os três números reais , e (estritamente entre e ) são as soluções da equação.Vamos mostrar que eles são irracionais . Se uma fração irredutível fosse uma solução, teríamos e e mesmo (observando que o polinômio de grau 3 não tem termo de grau 2), portanto . Mas e são diferentes das três soluções reais. Os últimos são, portanto, irracionais.
A vantagem de encontrar uma raiz de uma equação de grau n é ser capaz de reduzir a resolução de uma equação de grau n - 1. De fato, se um polinômio P de grau n tem uma raiz α, pode ser fator na forma P ( X ) = ( X - α) Q ( X ), onde Q é de grau n - 1. A resolução da equação (de grau n ) P ( x ) = 0 é então reduzida à da equação (de grau n - 1) Q ( x ) = 0.
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É provável que uma equação tenha uma raiz da forma a √ b / c se notarmos, seja nos coeficientes de grau par, seja nos coeficientes de grau ímpar da equação, a presença de .
Se for esse o caso, colocamos:
e somos então trazidos de volta ao caso anterior, isto é, encontrar, em uma equação de z desconhecido, uma raiz racional.
Vamos encontrar a raiz da equação:
Deixe-nos representar:
Nós obtemos :
que é simplificado na forma:
Procedendo como no primeiro parágrafo, encontramos como raiz:
e diferindo na expressão de x encontramos como a raiz da equação em x :
É provável que uma equação tenha uma raiz da forma a i / b se notarmos, seja nos coeficientes de grau par, seja nos coeficientes de grau ímpar da equação, a presença da unidade imaginária i .
Se for esse o caso, colocamos:
e então somos levados de volta ao primeiro caso, isto é, encontrar, em uma equação de z desconhecido , uma raiz racional.