Rank (álgebra linear)

a classificação de uma família de vetores é a dimensão do subespaço vetorial gerado por esta família. Por exemplo, para uma família de vetores linearmente independentes , sua classificação é o número de vetores;
a classificação de um mapa linear de em é a dimensão de sua imagem , que é um subespaço vetorial de . O teorema da classificação relaciona a dimensão de , a dimensão do núcleo de e a classificação de ; ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$
a classificação de uma matriz é a classificação do mapa linear que ela representa , ou a classificação da família de seus vetores de coluna;
a classificação de um sistema de equações lineares é o número de equações em qualquer sistema equivalente em escala . É igual ao posto da matriz dos coeficientes do sistema.

Classificação de uma matriz

O posto de uma matriz (cujos coeficientes pertencem a um campo comutativa de escalares , ), denotada , é: $NO$ $\ mathbb {K}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A)}$

o número máximo de vetores de linha (ou coluna) linearmente independentes;
a dimensão do subespaço vetorial gerado pelos vetores de linha (ou coluna) de ; $NO$
a maior das ordens das matrizes quadradas invertíveis extraídas ; $NO$
a maior das ordens de menores diferentes de zero ; $NO$
o menor dos tamanhos das matrizes e cujo produto é igual a , todos esses números sendo iguais. $B$ $VS$ $NO$

A classificação pode ser determinada realizando uma eliminação por meio do método de Gauss-Jordan e examinando a forma do degrau obtida dessa forma.

Exemplo

Considere a seguinte matriz:

NO=(1023204602201243){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

Chamamos os vetores formados pelas quatro linhas de . $l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, l_ {4}$ $NO$

Vemos que o 2 nd linha é o dobro da primeira linha, então o posto de é igual ao da família . $NO$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$

Note-se também que o 4 th linha pode ser formada pela soma das linhas 1 e 3 (isto é, ). Portanto, a classificação de é igual à de . $l_ {4} = l_ {1} + l_ {3}$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$ $(l_ {1}, l_ {3})$

As linhas 1 e 3 são linearmente independentes (ou seja, não proporcionais). O mesmo ocorre com a classificação 2. $(l_ {1}, l_ {3})$

Finalmente, a classificação de é 2. $NO$

Outra maneira é calcular uma forma em escala dessa matriz. Esta nova matriz tem a mesma classificação da matriz original, e a classificação corresponde ao número de suas linhas que são diferentes de zero. Nesse caso, temos duas linhas que correspondem a esse critério.

NO′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Observe que a classificação de uma dada matriz é igual à classificação de sua transposta . Para o exemplo, vamos pegar a transposição da matriz A acima:

tNO=(1201002224243603){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 e 3 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 e 3 \\\ end {pmatrix}}}

Vê-se que o 4 th linha é três vezes a primeira, e que a terceira linha é a segunda menos o dobro da primeira.

Após o dimensionamento, obtemos:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

e a classificação desta matriz é de fato 2.

Classificação de uma forma quadrática

A classificação de uma forma quadrática é a classificação da matriz associada.

Classificação de um mapa linear

Dados dois espaços vetoriais , onde é um corpo comutativo e um mapeamento linear de em uma linha de é o tamanho da imagem de . $K$ $E$ $F$ $K$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$

Se e tiver dimensões finitas, é também o posto da matriz associada em duas bases de e . Em particular, a classificação da matriz associada não depende das bases escolhidas para representar . Na verdade, a multiplicação para a direita ou esquerda por uma matriz invertível não muda o posto, que leva , onde está a matriz que representa em um primeiro par de bases, e , da matriz de mudança de base . $E$ $F$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} \ left (P ^ {- 1} AQ \ right) = {\ text {rg}} (A)}$ $NO$ $f$ $P$ $Q$

Classificação de uma família de vetores

Para uma família, sua classificação corresponde ao número máximo de vetores que uma subfamília livre dessa família pode conter.
Posição também pode definir uma família como: . $você$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (u) = \ dim ({\ text {Vect}} (u))}$

Nota: se for uma família de vetores indexados por inteiros de 1 a , então a classificação de é a classificação do mapa linear $(u_ {1}, \ pontos, u_ {n})$ $não$ $você$

Knão→E:(r1,...,rnão)↦∑reuvocêeu{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

onde está o campo dos escalares. O motivo é: é a imagem desta aplicação linear.

\ mathbb {K}

{\ displaystyle {\ text {Vect}} (u)}

Propriedades

Sejam A, B e C matrizes.

Desigualdade de Frobenius : ${\ displaystyle {\ text {rg}} (AB) + {\ text {rg}} (BC) \ leq {\ text {rg}} (ABC) + {\ text {rg}} (B)}$

Demonstração

Mais geralmente, para três mapas lineares (entre espaços vetoriais de dimensões não necessariamente finitas) , e , temos porque o morfismo canônico de in induzido por é sobrejetivo . ${\ displaystyle c: E \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle b: F \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle a: G \ rightarrow H}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (a \ circ b) + {\ text {rg}} (b \ circ c) \ leq {\ text {rg}} (a \ circ b \ circ c) + { \ text {rg}} (b)}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (b)} {{\ text {im}} (b \ circ c)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (a \ circ b)} {{\ text {im}} (a \ circ b \ circ c)}}}$ $no$

(Caso especial) Desigualdade de Sylvester : se tem colunas e tem linhas, então $NO$ $não$ $B$ $não$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B) -n \ leq {\ text {rg}} (AB)}$

Teorema de classificação : um mapa linear de em , $f$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E) = {\ text {rg}} (f) + \ dim ({\ text {Ker}} (f))}$
Matriz transposta e mapa transposto : e ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} A) = {\ text {rg}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} f) = {\ text {rg}} (f)}$
Produto de matrizes e composição de aplicações lineares : e ; em particular - por composição à esquerda ou à direita por identidade - a classificação de um mapa linear de em é menor ou igual a e a ${\ displaystyle {\ text {rg}} (BA) \ leq \ min ({\ text {rg}} (B), {\ text {rg}} (A))}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (g \ circ f) \ leq \ min ({\ text {rg}} (g), {\ text {rg}} (f))}$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E)}$ ${\ displaystyle \ dim (F)}$
Adição :, com igualdade se, e somente se, as imagens de e se cruzam apenas em zero e as imagens de transpostas e se cruzam apenas em zero. ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A + B) \ leq {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B)}$ $NO$ $B$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} A}$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} B}$
A classificação de uma família de vetores é invariante por operação elementar .
Duas matrizes são equivalentes se e somente se tiverem a mesma classificação.
A aplicação de classificação, de dentro , é semicontínua abaixo . ${\ displaystyle M_ {m, n} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb {R}$
A maior função convexa fechada que diminui o posto na bola , onde (notamos o vetor de valores singulares de ) é a restrição a esta bola da norma nuclear . Mais precisamente, se definirmos por , onde está o indicativo de , então seu biconjugado é escrito . Sem restringir a classificação a um conjunto, obtemos uma identidade de pouco uso. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ mid \ left \ | A \ right \ | \ leq 1 \}}$ ${\ displaystyle \ left \ | A \ right \ |: = \ max \ {\ left \ | Ax \ right \ | _ {2} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq 1 \ } = \ | \ sigma (A) \ | _ {\ infty}}$ $\ sigma (A)$ $NO$ $\ | \ cdot \ | _ {*}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle f = {\ operatorname {rg}} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ${\ displaystyle f ^ {**} = \ left \ | \ cdot \ right \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ $\ operatorname {rg} ^ {{**}} = 0$

Caso em que o campo de escalares não é comutativo

Acima, assumimos que o campo dos escalares é comutativo. Podemos estender a noção de posto de uma matriz para o caso em que o campo de escalares não é necessariamente comutativo, mas a definição é um pouco mais delicada.

Let ser um campo não necessariamente conmutativo e uma matriz com m linhas e n colunas com coeficientes nos . Chamamos classificação de (em relação a ) a dimensão do subespaço gerado pelas colunas de in fornecida com sua estrutura de espaço vetorial à direita . Provamos que a classificação de também é igual à dimensão do subespaço gerado pelas linhas de in fornecidas com sua estrutura de espaço vetorial K à esquerda . $K$ $M$ $\ mathbb {K}$ $M$ $K$ $M$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K$ $M$ $M$ ${\ mathbb {K}} ^ {n}$

Considere, por exemplo, um campo não comutativo K e a matriz , onde e são dois elementos dos quais não comutam (esses elementos, portanto, não são zero). $A: = {\ begin {pmatrix} a & 1 \\ ca & c \\\ end {pmatrix}}$ $no$ $vs$ $K$

As duas linhas desta matriz estão linearmente relacionadas no espaço vetorial à esquerda , porque . Da mesma forma, as duas colunas estão relacionadas no espaço vetorial à direita , porque . A classificação da matriz é, portanto, igual a 1. $K ^ {2}$ ${\ displaystyle c (a, 1) - (ca, c) = (0,0)}$ $K ^ {2}$ ${\ displaystyle (a, ca) - (1, c) a = (0,0)}$

Por outro lado, as duas colunas não estão vinculadas no espaço vetorial à esquerda . Na verdade, deixe e seja escalares de tal forma . Então (primeiros componentes) , portanto (segundos componentes) . Como e é assumido que não mudam, isso resulta em (multiplique por para obter uma contradição) e nosso resultado é . Provamos assim que as duas colunas da matriz são linearmente independentes no espaço vetorial à esquerda . $K ^ {2}$ $d$ $e$ ${\ displaystyle d (a, ca) + e (1, c) = (0,0)}$ ${\ displaystyle e = -da}$ ${\ displaystyle dca-dac = 0}$ $no$ $vs$ ${\ displaystyle d = 0}$ ${\ displaystyle d ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e = -da}$ $e = 0$ $K ^ {2}$

Notas e referências

(em) G. Marsaglia e GPH Styan, " Quando classificação ( A + B ) = classificação ( A ) + classificação ( B )? ” , Canadian Mathematical Bulletin , vol. 15,1972, p. 451-452 ( ler online ).
(in) Sr. Fazel, minimização de classificação de matrizes com aplicações Tese de doutorado . Departamento de Engenharia Elétrica , Universidade de Stanford ,2002.
Esta propriedade intervém nos problemas em que se busca obter objetos parcimoniosos por minimização da classificação (na compressão de imagens por exemplo). Sendo o posto uma função com valores inteiros, portanto de difícil minimização, às vezes prefere-se considerar a aproximação convexa do problema que consiste em minimizar a norma nuclear.
definição está de acordo com N. Bourbaki, Algebra , parte I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, definição 7.
Ver N. Bourbaki, Algèbre , parte I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10 e parágrafo seguinte à demonstração desta proposição.