Ray of Larmor
O raio de Larmor é um conceito físico usado para descrever o movimento de uma partícula carregada submetida a um campo magnético constante. Na verdade, essa partícula adquire um movimento circular caracterizado pelo seu raio .
A expressão desse raio depende da carga da partícula , sua massa em repouso , sua energia cinética e o valor do campo magnético.
Z×e{\ displaystyle Z \ times e} m0{\ displaystyle m_ {0}} T{\ displaystyle T}B{\ displaystyle B}
Na mecânica clássica
O raio de Larmor na mecânica clássica está escrito:
R=2m0TZeB{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {2m_ {0} T}} {ZeB}}}.
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Para estudar o raio de Larmor, nos colocamos em um sistema de coordenadas de eixos , e . Para simplificar, suponha que o campo magnético esteja orientado ao longo do eixo e que a velocidade inicial seja .
A força de Lorentz aplicada à partícula, de expressão , fica então contida no plano . Assim, o movimento ficará restrito a este plano. Portanto, usaremos apenas as coordenadas e da partícula.
Aplicando o princípio fundamental da dinâmica , deduzimos que essas coordenadas verificam as equações:vocêx→{\ displaystyle {\ vec {u_ {x}}}}vocêy→{\ displaystyle {\ vec {u_ {y}}}}vocêz→{\ displaystyle {\ vec {u_ {z}}}}vocêz→{\ displaystyle {\ vec {u_ {z}}}}v0→=v0vocêx→{\ displaystyle {\ vec {v_ {0}}} = v_ {0} {\ vec {u_ {x}}}} F→=qv→∧B→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {vb}} \ wedge {\ vec {B}}}vocêx→,vocêy→{\ displaystyle {\ vec {u_ {x}}}, {\ vec {u_ {y}}}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}
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m0x¨+ZeBy˙=0{\ displaystyle m_ {0} {\ ddot {x}} + ZeB {\ dot {y}} = 0}
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e |
m0y¨-ZeBx˙=0{\ displaystyle m_ {0} {\ ddot {y}} - ZeB {\ dot {x}} = 0}.
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Ao definir e e , obtemos:X=x+euy{\ displaystyle X = x + iy}Y=x-euy{\ displaystyle Y = x-iy}ω0=ZeB/m0{\ displaystyle \ omega _ {0} = ZeB / m_ {0}}
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X¨-euω0X˙=0{\ displaystyle {\ ddot {X}} - i \ omega _ {0} {\ dot {X}} = 0}
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e
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Y¨+euω0Y˙=0{\ displaystyle {\ ddot {Y}} + i \ omega _ {0} {\ dot {Y}} = 0}
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Essas equações diferenciais têm por solução:
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x˙=v0vsos(ω0t){\ displaystyle {\ dot {x}} = v_ {0} cos (\ omega _ {0} t)}
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e
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y˙=v0seunão(ω0t){\ displaystyle {\ dot {y}} = v_ {0} sin (\ omega _ {0} t)}
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E integrando mais uma vez:
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x=v0ω0seunão(ω0t){\ displaystyle x = {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}} sin (\ omega _ {0} t)}
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e
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y=-v0ω0vsos(ω0t){\ displaystyle y = - {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}} cos (\ omega _ {0} t)}
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Isso corresponde a um movimento circular de raio v0ω0=2m0TZeB{\ displaystyle {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}} = {\ frac {\ sqrt {2m_ {0} T}} {ZeB}}}
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Na mecânica relativística
A transição para a mecânica relativística envolve a magnitude (o fator de Lorentz ). Com efeito, é necessário substituir, na expressão do princípio fundamental da dinâmica, a massa em repouso pela massa efetiva . Ao retomar a demonstração no caso clássico, deve-se especificar que a velocidade (ou então ) é constante durante o movimento. Assim, também é constante, e podemos pegar o resultado . Finalmente, como a mecânica relativística nos ensina isso , obtemos a fórmula:γ=(1-v2vs2)-12{\ displaystyle \ gamma = \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}m0{\ displaystyle m_ {0}}m=γm0{\ displaystyle m = \ gamma m_ {0}}X˙Y˙{\ displaystyle {\ dot {X}} {\ dot {Y}}}γ{\ displaystyle \ gamma}R=v0ω=γm0v0ZeB{\ displaystyle R = {\ frac {v_ {0}} {\ omega}} = {\ frac {\ gamma m_ {0} v_ {0}} {ZeB}}}T=(γ-1)m0vs2{\ displaystyle T = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}
R=m0vsZeB(T+m0vs2m0vs2)2-1=m0vsβγZeB{\ displaystyle R = {\ frac {m_ {0} c} {ZeB}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {T + m_ {0} c ^ {2}} {m_ {0} c ^ { 2}}} \ right) ^ {2} -1}} = {\ frac {m_ {0} c \ beta \ gamma} {ZeB}}}.
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Observação :
Para encontrar a fórmula clássica, basta considerar a energia cinética como pequena em comparação com a energia da massa em repouso. Podemos então expandir para a primeira ordem o argumento entre parênteses sob a raiz quadrada.
Veja também
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