Representação da álgebra de Lie

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Em matemática , uma representação de uma álgebra de Lie é uma maneira de escrever esta álgebra como uma álgebra de matrizes , ou mais geralmente de endomorfismos de um espaço vetorial , com o colchete de Lie dado pelo comutador .

Álgebras de Lie

Seja K um campo comutativo com característica diferente de 2. Uma álgebra de Lie em K é um espaço vetorial dotado de um mapa bilinear de em que satisfaz as seguintes propriedades: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(x,y)↦[x,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀x∈g, [x,x]=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀x,y,z∈g, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0{\ displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Qualquer espaço vetorial pode ser fornecido com uma estrutura de álgebra de Lie, por posar . Essa álgebra de Lie, em que o colchete de Lie é identicamente zero, é chamada de abeliana . Outro exemplo, fundamental para o que se segue, é o seguinte. Deixe que V um espaço vectorial sobre K . O espaço vectorial final (V) de endomorfismo de V pode ser fornecida com uma estrutura de álgebra de Lie, por definição: . Também denotamos a álgebra de Lie assim obtida. Quando V é dimensão finita n , identifica o tamanho de matrizes de coeficientes em K . Em seguida, é anotado .V{\ displaystyle V}∀x,y∈V, [x,y]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in V, \ [x, y] = 0}[você,v]=você∘v-v∘você{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}geu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}geu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}não×não{\ displaystyle n \ times n}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

A álgebra sub-Lie de um subespaço vector de estável do suporte de Lie, isto é, de tal modo que . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Exemplos

• Se for uma álgebra de Lie abeliana, então qualquer subespaço vetorial de é automaticamente uma subálgebra de Lie.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• O subespaço de matrizes Traceless treinados é uma álgebra sub-Lie porque para todas as matrizes A e B . Esta subálgebra é notada .geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(NOB)=tr(BNO){\ displaystyle tr (AB) = tr (BA)}seu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Um ideal de álgebra de Lie é um subespaço vetorial de tal . Qualquer ideal de uma álgebra de Lie é, em particular, uma subálgebra de Lie (mas o inverso é falso). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Exemplos

• Se for uma álgebra de Lie abeliana, então qualquer subespaço vetorial de é automaticamente um ideal.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• A subálgebra de Lie é um ideal.seu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Um morfismo entre duas álgebras de Lie e é um mapa linear tal que . O núcleo de um morfismo da álgebra de Lie é então um ideal da álgebra de Lie de origem e a imagem uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie objetivo. Um isomorfismo entre duas álgebras de Lie é um morfismo de álgebras de Lie que é um isomorfismo de espaços vetoriais. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}φ:g→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀x,y∈g, φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Exemplos

• Se for uma subálgebra de Lie de então a inclusão de em é um morfismo de álgebras de Lie, com núcleo zero e com uma imagem .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Se for um ideal de, então existe uma estrutura única de álgebras de Lie no espaço vetorial quociente, de modo que a projeção canônica é um morfismo de álgebras de Lie. O núcleo de p é então e sua imagem . A álgebra de Lie assim definida é chamada álgebra de Lie quociente de on . Por exemplo, a álgebra de Lie quociente é isomórfica à álgebra de Lie abeliana .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}p:g→g/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}geu(não,K)/seu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K{\ displaystyle K}

Representações

Definições

Uma representação da álgebra de Lie em um espaço vetorial V são os dados de um morfismo . Em outras palavras, é um mapa linear que também verifica . Notamos esta representação ou simplesmente quando não há ambigüidade possível em . Também dizemos que V é um - módulo ou simplesmente um módulo . Às vezes, notamos, em vez da ação do elemento no vetor . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π:g→geu(V){\ displaystyle \ pi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ displaystyle \ pi}∀x,y∈g, π([x,y])=π(x)∘π(y)-π(y)∘π(x){\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}V{\ displaystyle V}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}x⋅v{\ displaystyle x \ cdot v}π(x)(v){\ displaystyle \ pi (x) (v)}x∈g{\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}v∈V{\ displaystyle v \ in V}

Uma representação é considerada fiel se o morfismo for injetivo. Nesse caso, a álgebra de Lie pode ser vista como uma subálgebra de Lie de . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}geu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Uma sub-representação de uma representação de é os dados de um subespaço vetorial W de V estável pela ação de , ou seja, tal que . Em particular, para que uma linha de vetor D gerada por um vetor v seja estável, é necessário e suficiente que v seja um autovetor comum a todos os endomorfismos . Uma representação é irredutível se admite nenhuma sub-representação limpo, isto é, com excepção das sub-espaços e V . Em particular, qualquer representação de dimensão 1 é irredutível, porque neste caso os únicos subespaços de V são precisamente e V . Let Ser uma sub-representação de . A representação quociente é a representação de no espaço quociente definido por . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, π(x)(C)⊂C{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ subconjunto W}π(x){\ displaystyle \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}V′{\ displaystyle V '}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π¯{\ displaystyle {\ bar {\ pi}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}V/V′{\ displaystyle V / V '}∀x∈g, ∀v∈V, π¯(x)(v+V′)=π(x)(v)+V′{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V '}

Um morfismo entre duas representações e da mesma álgebra de Lie são os dados de um mapa linear que comuta à ação de , isto é, tal aquele . Quando é um isomorfismo de espaços vetoriais, dizemos que as duas representações são isomórficas. O conjunto de todos os morfismos entre representações e forma um espaço vetorial, denotado .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ:V→V′{\ displaystyle \ varphi: V \ rightarrow V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, φ∘π(x)=π′(x)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

O lema de Schur é um resultado importante para a compreensão desse espaço . Aqui está a declaração: Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Lema de Schur  - 

• Sejam e sejam duas representações irredutíveis de uma álgebra de Lie . Qualquer um . Então é o mapa nulo ou um isomorfismo. Em particular, se e não são isomórficos .V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V′){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ displaystyle \ varphi}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}Homg(V,V′)={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Suponha aqui que o campo K é fechado algebricamente . Let Ser uma representação dimensional finita irredutível de . Portanto, qualquer morfismo é um múltiplo de identidade. Em outras palavras ,.V{\ displaystyle V}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}Homg(V,V)≅K{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Observações

• O primeiro ponto do lema de Schur segue do fato de que é uma sub-representação de e uma sub-representação de .ker(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}V{\ displaystyle V}eum(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}V′{\ displaystyle V '}
• O segundo ponto do lema de Schur resulta do fato de que qualquer endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita admite pelo menos um autovalor sobre um campo algebraicamente fechado. Portanto, é um morfismo de V em V que não é um isomorfismo. De acordo com o primeiro ponto, é, portanto, o mapa nulo, ou seja . Este resultado ainda é válido em dimensão infinita, mas requer o poder do teorema espectral .λ{\ displaystyle \ lambda}φ-λeud{\ displaystyle \ varphi - \ lambda id}φ=λeud{\ displaystyle \ varphi = \ lambda id}
• O segundo ponto do lema de Schur é falso para um corpo não algebricamente fechado. Suponha, por exemplo . Considere a representação dada pela fórmula . Verificamos que é uma representação irredutível da álgebra de Lie abeliana . Considere e posicione . Porque o álgebra de Lie é abeliano, é um morfismo de V em V . Também podemos verificar que é de fato um isomorfismo. No entanto, não é um múltiplo de identidade. Observe a este respeito que não tem autovalores reais (o que explica porque a prova do segundo ponto do lema não é válida neste caso).K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}∀x∈R, π(x)=(cos⁡x-pecado⁡xpecado⁡xcos⁡x)∈geu(2,R){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}y=45o{\ displaystyle y = 45 ^ {o}}φ: =π(y){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}

Exemplos

• Uma representação de uma álgebra de Lie abeliano é um valores de mapeamento lineares em um subespaço do espaço endomorfismo conmutativo de um espaço vectorial V . Por exemplo, se V é de dimensão finita, pode-se representar por matrizes diagonais (que comutam entre elas).g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• A representação trivial de em um espaço vetorial V é a representação definida por .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}∀x∈g, π(x)=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• Se , definimos a representação natural de como a representação definida por . De forma mais geral, a representação natural de uma subálgebra de Lie de é definida como a inclusão de em . É, portanto, com valores em .g=geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π, Knão){\ displaystyle (\ pi, \ K ^ {n})}∀x∈g, π(x)=x{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Knão{\ displaystyle K ^ {n}}
• A representação  associativa (en) de uma álgebra de Lie é a representação definida por .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(nod,g){\ displaystyle (ad, {\ mathfrak {g}})}∀x∈g, nod(x): y∈g↦[x,y]∈g{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ ad (x): \ y \ in {\ mathfrak {g}} \ mapsto [x, y] \ in {\ mathfrak {g}}}
• Seja a álgebra de Lie abeliana de dimensão 1, definida em . Considere o espaço . Definimos uma representação de em V pela fórmula , onde .g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}V=eu2(R){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀x∈R, π(x)(f)=f∘τx {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τx: y∈R↦y-x∈R{\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

Construções de representações

• Soma direta  : let e duas representações de . Definimos a representação da soma direta no espaço vetorial pela fórmula . Neste caso, e são sub-representações de .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊕π′{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}V⊕V′{\ displaystyle V \ oplus V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊕π′)(x)(v,v′)=(π(x)(v),π′(x)(v′)){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}V⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕V′{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π′,V⊕V′){\ displaystyle (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Produto tensorial  : let e duas representações de . Definimos a representação do produto tensorial no espaço vetorial pela fórmula .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊗π′{\ displaystyle \ pi \ otimes \ pi '}V⊗V′{\ displaystyle V \ otimes V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊗π′)(x)(v⊗v′)=π(x)(v)⊗v′+v⊗π′(x)(v′){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ otimes v ') = \ pi (x) (v) \ otimes v' + v \ otimes \ pi '(x) (v')}
• Contragrediente  : uma representação de . Definimos a representação contragrediente no espaço vetorial dual pela fórmula .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π∗{\ displaystyle \ pi ^ {*}}V∗{\ displaystyle V ^ {*}}∀x∈g, ∀v∗∈V∗, π∗(x)(v∗)=-v∗∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ in V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• Espaço de morfismos  : let e duas representações de . Vimos como definir o espaço vetorial de morfimas de V em . Definimos uma representação ainda denotada por neste espaço pela fórmula .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}V′{\ displaystyle V '}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, ∀φ∈Homg(V,V′), π(x)(φ)=-φ∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Restrição a uma subálgebra de Lie  : seja uma representação de . Let Be a Lie subalgebra of . Então é uma representação de , chamada de restrição de para . Às vezes, é notado por abuso de classificações.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π|h,V){\ displaystyle (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}V|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

Uma representação de é indecomponível se não for isomórfica à soma direta de duas sub-representações adequadas. Em particular, qualquer representação irredutível é indecomponível, mas o inverso é falso. Uma representação é semi-simples (ou completamente redutível ) se for isomórfica a uma soma direta de sub-representações irredutíveis (possivelmente em número infinito). Uma representação indecomponível e semi-simples é necessariamente irredutível. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Exemplos

• Seja a álgebra de Lie abeliana de dimensão 1 sobre o campo . Definimos uma representação de em pela fórmula . Essa representação não é irredutível. Por exemplo, a linha gerada pelo vetor é estável, assim como a linha gerada pelo vetor . É, portanto, uma questão de duas sub-representações de , irredutível por causa da dimensão 1. Agora temos . Portanto, a representação é semi-simples.g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π(x)=(x00-x)∈geu(2,R){\ displaystyle \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}(10){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array}} \ right)}D2{\ displaystyle D_ {2}}(01){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \ end {array}} \ right)}π{\ displaystyle \ pi}D1⊕D2=R2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ displaystyle \ pi}
• Com as notações do exemplo anterior, também podemos considerar a representação em definida pela fórmula . Novamente, a linha é um subespaço estável. Portanto, a representação não é irredutível. De forma mais geral, podemos verificar que é a única linha estável e, portanto, a única sub-representação de . Portanto, é indecomponível.π′{\ displaystyle \ pi '}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π′(x)=(1x01)∈geu(2,R){\ displaystyle \ pi '(x) = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}π′{\ displaystyle \ pi '}
• Vamos manter sempre as mesmas notações. Definimos a representação de em pela fórmula . Podemos verificar que não existem linhas estáveis ​​pela representação . Em outras palavras, é irredutível.π″{\ displaystyle \ pi ''}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π″(x)=(cos⁡x-pecado⁡xpecado⁡xcos⁡x)∈geu(2,R){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ em {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}π″{\ displaystyle \ pi ''}π″{\ displaystyle \ pi ''}

Esses três exemplos refletem o fato de que uma matriz real pode ser diagonalizável ou trigonalizável, mas não diagonalizável, ou não tem autovalores reais. Vemos, portanto, que a noção de representação de uma álgebra de Lie generaliza a noção clássica de redução de endomorfismos .

Link com representações de álgebra envolvente

A álgebra envolvente de uma álgebra de Lie

Seja A uma álgebra associativa com unidade. Então existe em A uma estrutura de álgebra de Lie para a qual o colchete de Lie é dado pela fórmula . Às vezes denotamos essa álgebra de Lie. Assim, qualquer álgebra associativa fornece uma álgebra de Lie. Vimos que é um exemplo dessa construção. Podemos dar o inverso a este resultado? Podemos construir uma álgebra associativa a partir de uma álgebra de Lie. Esta ideia leva à noção de álgebra envolvente de uma álgebra de Lie. ∀no,b∈NO, [no,b]=nob-bno{\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ [a, b] = ab-ba}NOeu{\ displaystyle A_ {L}}geu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

É uma álgebra de Lie sobre K . Seja a álgebra tensorial de . Seja J o ideal bilateral de gerado pelos tensores para todo x e y de . A álgebra envolvente de é a álgebra associativa unitária definida como quociente . Nós notamos isso . A composição é chamada de aplicação canônica de em sua álgebra envolvente. Como álgebra, é gerado por 1 e a imagem . Além disso, é um morfismo de álgebras de Lie de em . A álgebra envolvente de uma álgebra de Lie satisfaz a seguinte propriedade universal: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}x⊗y-y⊗x-[x,y]∈T(g){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ in T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:g↪T(g)→você(g){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(g){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ displaystyle \ iota}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}você(g)eu{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

Propriedade universal da álgebra envolvente  -  Seja A uma álgebra associativa com uma unidade. Let Ser um morfismo de Lie álgebras de in . Em seguida, existe um único morfismo de álgebra associativos de em Um tal que e . φ{\ displaystyle \ varphi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NOeu{\ displaystyle A_ {L}}Φ{\ displaystyle \ Phi}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ displaystyle \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Exemplo

• Se for uma álgebra de Lie abeliana, então sua álgebra envolvente é identificada com sua álgebra simétrica , que se identifica (após escolher uma base) com uma álgebra de polinômios. Em particular, é isomórfico à álgebra de polinômios com um indeterminado .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(g){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathfrak {g}})}você(K){\ displaystyle {\ mathcal {U}} (K)}K[X]{\ displaystyle K [X]}

Representações de uma álgebra de Lie vs representações de sua álgebra envolvente

Deixe ser uma representação de . Visto que é uma álgebra associativa com unidade, a propriedade universal de implica que existe um morfismo único de álgebras tal que . Esta operação, portanto, torna possível mudar de uma representação de uma álgebra de Lie para um morfismo de álgebras associativas. Inversamente, qualquer morfismo de álgebras associativas dá por restrição a um morfismo de álgebras de Lie, isto é, a uma representação de . Este princípio é interpretado como uma equivalência de categorias entre a categoria de representações de uma dada álgebra de Lie e a categoria de representações de sua álgebra envolvente. (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}geu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:você(g)→geu(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀x∈g, π~(x)=π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:você(g)→geu(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Este novo ponto de vista é importante porque permite considerar novos objetos fundamentais. O primeiro deles é o cancelamento de uma performance. Deixe ser uma representação de . Notemos novamente pela carta a representação da qual ela é deduzida. Então, o cancelador de V é o conjunto . É um ideal bilateral de porque é um morfismo de álgebras. Qualquer ideal que seja o anulante de uma representação irredutível de é chamado de ideal primitivo . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}NOnãonão(V): ={você∈você(g), π(você)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ in {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Deixe ser uma representação de . Notemos novamente pela carta a representação da qual ela é deduzida. Para todos v em V , o conjunto define um sub-representação diferente de zero V . Quando V é irredutível, então temos . De forma mais geral, uma representação V é dita cíclica se existir de forma que . O vetor v é chamado de vetor cíclico . Uma representação V é irredutível se e somente se qualquer vetor diferente de zero de V for cíclico. Uma representação V é dita do tipo finito se existe um número finito de vetores de V tal que . Uma representação irredutível é, portanto, de tipo finito. Seja V uma representação cíclica e seja v um vetor cíclico. Em seguida, definimos uma aplicação pela fórmula . O kernel de é o cancelador de v , denotado . Esta é uma esquerda ideal de . Como V é cíclico, a imagem é igual para todos V . Portanto, deduzimos isso . Assim, qualquer representação cíclica (e em particular qualquer representação irredutível) aparece como um quociente da álgebra envolvente de . Além disso, quando V é irredutível, o ideal é máximo. Assim, a classificação das representações irredutíveis de é equivalente à classificação dos ideais de esquerda máxima de sua álgebra envolvente.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(você(g))(v){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}V=π(você(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v∈V{\ displaystyle v \ in V}V=π(você(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v1,...,vnão{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}V=∑k=1não π(você(g))(vk){\ displaystyle V = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:você(g)→V{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(você)=π(você)(v){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}NOnãonão(v){\ displaystyle Ann (v)}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ displaystyle \ varphi}V≅você(g)/NOnãonão(v){\ displaystyle V \ cong {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NOnãonão(v){\ displaystyle Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Exemplo Considere a álgebra de Lie comutativa . Identifique sua álgebra envolvente com o anel de polinômios . Este anel é o principal e, portanto, seus ideais são gerados por um único polinômio. Além disso, se um polinômio P (X) pode se decompor na forma , então o ideal gerado por P está contido no ideal gerado por . O d'Alembert-Gauss teorema implica então que os ideais máximas de são os ideais da forma , para um tudo descrevendo . O quociente correspondente é então isomórfico a e a ação de é dada por e . Agora vamos olhar para o quociente onde . Se , o quociente é uma representação semi-simples, soma direta das duas representações irredutíveis e . A situação é fundamentalmente diferente quando . Neste caso, o quociente é um espaço vetorial de dimensão 2 no qual o operador dado pela multiplicação por é nilpotente do índice 2. Em termos da representação da álgebra de Lie , este quociente corresponde à representação dada pela fórmula , que é indecomponível, mas não irredutível. VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}P(X)=Q(X)(X-no){\ displaystyle P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ displaystyle (P)}(X-no){\ displaystyle (Xa)}X-no{\ displaystyle Xa}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}(X-no){\ displaystyle (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]/(X-no){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}X⋅1¯=no¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[X]/(P){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (P)}P(X)=(X-no)(X-b){\ displaystyle P (X) = (Xa) (Xb)}no≠b{\ displaystyle a \ not = b}VS[X]/(X-no){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS[X]/(X-b){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xb)}no=b{\ displaystyle a = b}X-no{\ displaystyle Xa}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π(z)=(noz0no){\ displaystyle \ pi (z) = \ left ({\ begin {array} {cc} a & z \\ 0 & a \ end {array}} \ right)}

Indução

Deixe ser uma álgebra de Lie. Let Be a Lie subalgebra of . Deixe ser uma representação de . Vimos que podemos obter uma representação de por restrição. A noção de álgebra envolvente fornecerá um meio simples de considerar o problema recíproco. Deixe, portanto, ser uma representação de , que vemos como uma representação de sua álgebra envolvente . Uma consequência do teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt é que aparece como uma subálgebra de . Por outro lado, fornece uma representação de fazendo ato por multiplicação à esquerda nos tensores. Em seguida, construímos a representação . É chamada de representação induzida de para por . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}você(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}você(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}eunãodhg(V′): =você(g)⊗você(h)V′{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {{\ mathcal { U}} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}

Link com representações de grupos de Lie

Nesta parte, o corpo K é (ou ). Um grupo de Lie G é uma variedade diferencial real (ou complexa) dotada de dois mapas e suave (ou holomórfica) tal que é um grupo . O próprio campo K é um grupo de Lie comutativo. Outro exemplo de grupos de Lie é o grupo de matrizes invertíveis de tamanho n . Um morfismo de grupo de Lie é um morfismo de grupo diferenciável (ou holomórfico). Uma representação dimensional finita do grupo de Lie G é um morfo-tempo de G in . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} µ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ times G \ rightarrow G}eu: G→G{\ displaystyle i: \ G \ rightarrow G}(G, µ, eu){\ displaystyle (G, \ \ mu, \ i)}Geu(não,K){\ displaystyle GL (n, K)}Geu(não,K){\ displaystyle GL (n, K)}

Os grupos de Lie estão relacionados às álgebras de Lie. Na verdade, o espaço tangente a um grupo de Lie G em identidade é uma álgebra de Lie de dimensão finita, chamada álgebra de Lie do grupo G e anotada . Por exemplo, a álgebra de Lie de K é o próprio K ; a álgebra de Lie de é . Como a álgebra de Lie do grupo de Lie G é o espaço tangente na identidade, na verdade depende apenas do componente conectado da identidade. Assim, por exemplo, o grupo de matrizes reais com um determinante estritamente positivo tem a mesma álgebra de Lie que . Por outro lado, até o isomorfismo, existe um único grupo de Lie conectado e simplesmente conectado tendo uma dada álgebra de Lie (de dimensão finita). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Geu(não,K){\ displaystyle GL (n, K)}geu(não,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Geu+(não,R){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}Geu(não,R){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Como qualquer morfismo entre grupos de Lie é, por hipótese, diferenciável, ele induz um mapeamento entre as álgebras de Lie subjacentes . Este mapa é na verdade um morfismo de álgebras de Lie. Em particular, para , qualquer representação de um grupo de Lie G dá origem a uma representação dimensional finita de sua álgebra de Lie . Por outro lado, qualquer representação dimensional finita de uma álgebra de Lie vem de uma representação do único grupo de Lie simplesmente conectado tendo a álgebra de Lie como sua álgebra de Lie . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ rightarrow H}dφ: g→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=Geu(não,K){\ displaystyle H = GL (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Observação Existem noções mais fortes de representações de grupos de Lie tornando possível estender a teoria a dimensão infinita, mantendo uma analogia deste último resultado. São, por exemplo, representações admissíveis e a noção de -módulos. (g,K){\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Categoria de módulo

Deixe ser uma álgebra de Lie. O conjunto de todos os módulos (ou equivalentemente todas as representações de ) forma uma categoria , denotada . Esta categoria é abeliana . Em particular, pode-se considerar sequências exatas de módulos. Uma sequência exacta em é o dado de três módulos M , N , P e de dois injetivas e morphisms sobrejetivo. Notamos essa sequência. Um módulo P é projetivo se alguma seqüência exata for desdobrada, ou seja, se houver um morfismo como esse . Uma definição equivalente é a seguinte: o módulo P é projetivo se para qualquer morfismo sobrejetivo e qualquer morfismo existe um morfismo único tal que . De uma forma dupla, um módulo I é injetivo se qualquer sequência exata for dividida. Uma definição equivalente é a seguinte: o módulo I é injetivo se para qualquer morfismo injetivo e para qualquer morfismo existe um morfismo único como esse .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}eu:NÃO→M{\ displaystyle i: N \ rightarrow M}p:M→P{\ displaystyle p: M \ rightarrow P}0→NÃO→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}0→NÃO→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}s:P→M{\ displaystyle s: P \ rightarrow M}p∘s=eud{\ displaystyle p \ circ s = id}f:NÃO→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ rightarrow M}h′:P→NÃO{\ displaystyle h ': P \ rightarrow N}f∘h′=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→eu→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow I \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}f:NÃO→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:NÃO→eu{\ displaystyle h: N \ rightarrow I}h′:M→eu{\ displaystyle h ': M \ rightarrow I}h′∘f=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Como qualquer módulo também é um módulo no anel , podemos usar as noções gerais de módulos em um anel . Um módulo M é de comprimento finito se existe uma série finita de submódulos tal que os quocientes sucessivos são módulos irredutíveis. Tal sequência de um é chamado um Jordan-suporte de M . Para um módulo de comprimento finito, o quociente isomorfismos classe depende apenas módulo M . Em particular, o inteiro n depende apenas do módulo M e é chamada o comprimento do módulo M . Por exemplo, qualquer módulo irredutível tem comprimento 1, qualquer soma direta de dois módulos irredutíveis tem comprimento 2.você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mnão=M{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots \ subset M_ {n} = M}Meu+1/Meu{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

Um módulo M é artificial se qualquer sequência decrescente de submódulos for estacionária. Por exemplo, qualquer módulo dimensional finito é artificial. Um módulo M é noetheriano se qualquer sequência crescente de submódulos for estacionária. Uma vez que a álgebra envolvente é um anel Noetheriano , um módulo M é Noetheriano se e somente se for de tipo finito. Um módulo tem comprimento finito se e somente se for Noetheriano e Artiniano.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots}você(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Exemplo Um módulo dimensional finito é sempre Noetheriano e Artiniano e, portanto, sempre tem comprimento finito. Isso não é mais válido em dimensão infinita, mesmo para uma álgebra de Lie abeliana. Suponha, por exemplo, isso . Considere o módulo onde a ação de é dada pela multiplicação pelo escalar z . A ação de é, portanto, dada pela multiplicação à esquerda. Assim, cada ideal esquerda é um sub-módulo L . Nota (P) o ideal gerado pelo polinómio P . Let Ser uma série infinita de números complexos. Temos, então, a seguinte ordem decrescente: . É uma série não estacionária de submódulos, cujos quocientes sucessivos são módulos irredutíveis (por causa da dimensão 1). Assim, L não é artístico e não tem comprimento finito. Observe que L é noetheriano porque é um módulo do tipo finito (na verdade cíclico, gerado pelo polinômio constante 1 ).g=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}eu=VS[X]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}você(VS)=VS[X]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}no1,no2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(X-no1)⋯(X-nonão)⊂⋯⊂(X-no1)(X-no2)⊂(X-no1)⊂eu{\ displaystyle \ cdots \ subset (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ subset \ cdots \ subset (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ subset ( X-a_ {1}) \ subconjunto L}

Uma subcategoria cheia de é Artiniano (respectivamente Noetheriano) se todos os seus objetos forem módulos Artiniano (respectivamente Noetheriano). Em uma subcategoria cheia de artinianos e noetherianos, qualquer objeto tem comprimento finito. A subcategoria de completo tem projectiva suficiente se, por qualquer objeto M na subclasse há um módulo projectiva P na subcategoria e um morfismo sobrejetivo P em M . Ela tem injective o suficiente , se por qualquer objeto M na sub-categoria há um módulo injective I na sub-categoria e um morphism injective M em I . Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Referências

• N. Bourbaki , Elementos de matemática , Grupos e álgebras de Lie, Capítulo 1, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Enveloping Algebras , Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Introdução às Álgebras de Lie e Teoria da Representação , segunda impressão, revista. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie algebras , Republication of the 1962 original, Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

Artigos relacionados

• Teoria da representação
• Representação de grupo
• Representação de um grupo de Lie
• Representações de um grupo finito

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