Em matemática , a regra do sinal , descrita pela primeira vez por René Descartes em seu livro Geometria , é uma técnica que fornece informações parciais sobre o número de raízes reais positivas ou negativas de um polinômio .
A regra é aplicada contando o número de mudanças de sinal na sequência formada pelos coeficientes do polinômio. Se um coeficiente é igual a zero, este termo é simplesmente omitido do seguinte.
A regra afirma que se os termos de um polinômio de uma única variável com coeficientes reais são ordenados em ordem decrescente dos expoentes, então o número de raízes positivas do polinômio é o número de mudanças de sinal entre coeficientes consecutivos diferentes de zero, possivelmente diminuído por um número par. Várias raízes do mesmo valor são contadas separadamente.
Como corolário da regra, o número de raízes negativas é o número de mudanças de sinal após a multiplicação dos coeficientes dos termos de potência ímpar por -1, ou diminuído por um número par. Este procedimento equivale a substituir o oposto da variável pela própria variável. Por exemplo, para encontrar o número de raízes negativas de
,pedimos equivalentemente quantas raízes positiva existem para nos
.A regra de sinal de Descartes para dá o número de raízes positivas de , e como isso dá o número de raízes negativas de f .
O polinômio
tem uma mudança de sinal entre o segundo e o terceiro termos (a sequência de pares sucessivos de sinais é + +, + -, - -). Portanto, ele tem exatamente uma raiz positiva. Observe que o sinal de liderança deve ser levado em consideração, embora, neste exemplo em particular, ele não afete a resposta. Para encontrar o número de raízes negativas, altere os sinais dos coeficientes dos termos com expoentes ímpares, ou seja, aplique a regra de sinais de Descartes para o polinômio para obter um segundo polinômio
.Este polinômio tem duas mudanças de sinal (a sequência de pares sucessivos de sinais é - +, + +, + -), o que significa que este segundo polinômio tem duas ou nenhuma raiz positiva; portanto, o polinômio original tem duas ou nenhuma raiz negativa.
Na verdade, a fatoração do primeiro polinômio é
assim, as raízes são -1 (duas vezes) e 1.
A fatoração do segundo polinômio é
então, aqui, as raízes são 1 (duas vezes) e -1, os opostos das raízes do polinômio original.
Qualquer polinômio de grau n tem exatamente n raízes no plano complexo , contadas com sua multiplicidade. Então, se f ( x ) é um polinômio que não tem raiz zero (que pode ser determinado por inspeção), então o número mínimo de raízes complexas é igual a
onde p denota o número máximo de raízes positivas, q denota o número máximo de raízes negativas (essas duas podem ser encontradas usando a regra do sinal de Descartes) e n denota o grau da equação.
O polinômio
tem uma mudança de sinal, então o número máximo de raízes reais positivas é 1.
,podemos dizer que o polinômio não tem raiz real negativa. Portanto, o número mínimo de raízes complexas é
.Como as raízes complexas de um polinômio com coeficientes reais são pares conjugados, podemos ver que x 3 - 1 tem exatamente 2 raízes complexas e 1 raiz real (positiva).
Subtrair apenas um múltiplo de 2 do número máximo de raízes positivas ocorre porque o polinômio pode ter raízes complexas, que sempre vêm em pares, pois a regra se aplica a polinômios cujos coeficientes são reais. Assim, se sabemos que o polinômio tem todas as suas raízes reais, esta regra permite encontrar o número exato de raízes positivas e negativas. Como é fácil determinar a multiplicidade da possível raiz 0, o sinal de todas as raízes pode ser determinado neste caso.
Se o polinômio real f tem k raízes reais positivas contadas com multiplicidade então, para todo a > 0, há pelo menos k mudanças de sinal na seqüência dos coeficientes da série de Taylor da função e ax f ( x ). Para um grande o suficiente, há exatamente k mudanças de sinal.
Na década de 1970, Askold Georgevich Khovanskiǐ desenvolveu a teoria dos poucos nomiais que generaliza o governo de Descartes. A regra dos sinais pode ser considerada como indicando que o número de raízes reais de um polinômio depende da complexidade do polinômio, e que essa complexidade é proporcional ao número de monômios disponíveis para ele, e não ao seu grau. Khovanskiǐ mostrou que isso é verdade não apenas para polinômios, mas também para combinações algébricas de muitas funções transcendentais, as funções Pfaffianas (in) .
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