Resíduo (análise complexa)

Na análise complexa , o resíduo é um número complexo que descreve o comportamento da integral curvilínea de uma função holomórfica em torno de uma singularidade . Os resíduos são calculados com bastante facilidade e, uma vez conhecidos, permitem o cálculo de integrais curvilíneas mais complicadas graças ao teorema do resíduo .

O termo resíduo vem de Cauchy em seus exercícios matemáticos publicados em 1826.

Definição e propriedades

Seja um conjunto aberto de , um conjunto em D de pontos isolados e uma função holomórfica . Para cada ponto , existe uma vizinhança de um relativamente compacto denotado em D , tal que é holomórfico. A função f tem, neste caso, uma expansão Laurent em U  : D⊆VS{\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}Df{\ displaystyle D_ {f}}f:D∖Df→VS{\ displaystyle f: D \ smallsetminus D_ {f} \ to \ mathbb {C}}no∈Df{\ displaystyle a \ in D_ {f}}você=vocêr(no)∖{no}⊂D{\ displaystyle U = U_ {r} (a) \ smallsetminus \ {a \} \ subconjunto D} f|você{\ displaystyle f | _ {U}}

f|você(z)=∑não=-∞∞nonão(z-no)não{\ displaystyle f {\ big |} _ {U} (z) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (za) ^ {n}}.

Em seguida, definimos o resíduo de f em a por:

Resno⁡f≑no-1=12πeu∮∂vocêf{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f \ doteqdot a _ {- 1} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {\ parcial U} f}

O resíduo de uma função holomórfica f em um ponto singular a (pólo ou ponto singular essencial) é, portanto, a -1 , ou seja, o coeficiente de na expansão de Laurent da função na vizinhança de a . 1/(z-no){\ displaystyle 1 / (za)}

O resíduo é -linear, que é dizer que para nós temos: . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}λ,µ∈VS{\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {C}}Resno(λf+µg)=λResnof+µResnog{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} (\ lambda f + \ mu g) = \ lambda \ mathrm {Res} _ {a} f + \ mu \ mathrm {Res} _ {a} g}

Métodos de cálculo

Os resíduos são tradicionalmente calculados de duas maneiras:

• seja do desenvolvimento de Laurent no bairro de a  ;
• ou com a seguinte fórmula geral, se f possui tem um pólo de ordem n  :

Resno⁡f=1(não-1)!limz→no∂não-1∂znão-1((z-no)nãof(z)){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim \ limits _ {z \ rightarrow a} {\ frac {\ parcial ^ {n- 1}} {\ parcial z ^ {n-1}}} ((za) ^ {n} f (z))}

Para duas funções f e g com valores , também temos as seguintes relações: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

• Se f a tem um pólo de ordem 1  :;Resno⁡f=limz→no(z-no)f(z){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = \ lim \ limits _ {z \ rightarrow a} (za) f (z)}
• Se f tem tem um pólo de ordem 1 e se g é holomórfica em um  :  ;Resnogf=g(no)Resnof{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} gf = g (a) \ mathrm {Res} _ {a} f}
• Se f a en tem um zero de ordem 1  :;Resno⁡1f=1f′(no){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {1} {f '(a)}}}
• Se f tem um zero de ordem 1 e se g é holomórfica em um  :  ;Resno⁡gf=g(no)f′(no){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {g} {f}} = {\ tfrac {g (a)} {f '(a)}}}
• Se f tem uma ordem zero n  :  ;Resno⁡f′f=não{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {f '} {f}} = n}
• Se f tem uma ordem zero n e se g é holomorphic tem  : .Resno⁡gf′f=g(no)não{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} g {\ tfrac {f '} {f}} = g (a) n}

Exemplos

• Resnof=0{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} f = 0}quando f é holomórfico em a .
• Qualquer um . f tem um pólo de ordem 1 em 0, e .f(z)=1z{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {1} {z}}}Res0f=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {0} f = 1}
• f(z)=cos⁡(z)z=1z-z2!+z34!-⋯{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {\ cos (z)} {z}} = {\ tfrac {1} {z}} - {\ tfrac {z} {2!}} + {\ tfrac { z ^ {3}} {4!}} - \ cdots} na vizinhança de 0. O resíduo vale, portanto, 1.
• Res1⁡zz2-1=12{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} {\ tfrac {z} {z ^ {2} -1}} = {\ tfrac {1} {2}}}, como pode ser visto imediatamente com a linearidade e a regra da derivada logarítmica , já que a em 1 é um zero de ordem 1.z↦z2-1{\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2} -1}
• A função gama possui -n para todos os pólos de ordem 1, e o resíduo vale .não∈NÃO{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}Res-não⁡Γ=(-1)nãonão!{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {- n} \ Gamma = {\ tfrac {(-1) ^ {n}} {n!}}}

Teorema do resíduo

Seja f uma função holomórfica on , uma estrela aberta ou mais geralmente simplesmente conectada , exceto talvez apresentando singularidades isoladas nos pontos do conjunto . Então se for uma renda desenhada e não atender S , temos: Ω{\ displaystyle \ Omega}S⊂Ω{\ displaystyle S \ subset \ Omega}γ{\ displaystyle \ gamma}Ω{\ displaystyle \ Omega}

∫γf(z)dz=2euπ∑z∈SIndγ⁡(z)Res⁡(f,z){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = 2 \ mathrm {i} \ pi \ sum _ {z \ in S} \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z) \ operatorname {Res} (f, z)}

onde é o índice do caminho para o ponto z . eunãodγ(z){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z)}γ{\ displaystyle \ gamma}

Referências

• Claude Wagschal, Holomorphic functions. Equações diferenciais , Hermann, col. “Métodos”, 2003, p. 119-120.
• Augustin Louis Cauchy, Exercícios de matemática , 1826, p. 11 Ver online

(de) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em alemão intitulado “  Residuum (Funktionentheorie)  ” ( ver lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">