Velório de Kelvin

A passagem de um barco ou ave aquática na superfície de águas calmas produz ondas gravitacionais que formam um padrão característico denominado esteira de Kelvin , onde intervêm dois tipos de ondas, as ondas divergentes, especialmente visíveis nas bordas do cone da esteira, e as ondas transversais (veja abaixo). Foi Lord Kelvin quem primeiro formalizou matematicamente e resolveu o problema.

História

O homônimo a esteira de Kelvin é o físico britânico William Thomson (1824-1907) quem, em 1887, é o primeiro a explicar a forma desta esteira.

Notações e equações úteis

Consideramos um barco movendo-se na superfície da água inicialmente estacionária no referencial terrestre . O barco tem um vetor de velocidade neste referencial. Let Ser um sistema de coordenadas fixas no referencial terrestre. Seja um sistema de coordenadas fixas no referencial do barco e tal que z corresponda à vertical e que seja transportado pela linha de x . A passagem de um benchmark para outro é, portanto, feita pela seguinte transformação Galileana : ${\ mathbf v}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {r '} = (x', y ', z')}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {r} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {vb}}$

{\ displaystyle \ mathbf {r '} = \ mathbf {r} + \ mathbf {v} \, t}

Consideramos uma onda harmônica plana progressiva cuja função de amplitude é escrita, em notação complexa :

{\ displaystyle A = A_ {0} \ exp {\ big [} i \, (\ mathbf {k \, r '} - \ omega \, t) {\ big]}}

$A_0$ é a amplitude máxima (possivelmente complexa), é o vetor da onda (cuja norma é a pulsação espacial) e é a pulsação temporal da onda. Substituindo por seu valor em função de , e agrupando os termos, obtemos: ${\ displaystyle \, \ mathbf {k}}$ $\ómega$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle A = A_ {0} \ exp {\ big [} i \, \ {\ mathbf {k \, r} - (\ omega - \ mathbf {k \, v}) t \} {\ big] }}

Assim, a onda vista do barco é percebida com uma frequência temporal diferente daquela percebida por um observador estacionário no referencial terrestre, da praia (por exemplo ). Esta é uma ilustração do efeito Doppler . ${\ displaystyle \, \ omega - \ mathbf {k} \, \ mathbf {v} \,}$ $\ómega$

Existe uma relação entre as pulsações espaciais e temporais, intrinsecamente ligada à natureza física do meio de propagação, e que é chamada de relação de dispersão . Se considerarmos que o oceano é infinitamente profundo, está escrito:

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = g \, k}

onde g é a aceleração da gravidade. A velocidade de fase c das ondas de gravidade, neste meio, é, portanto:

{\ displaystyle c = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {g} {\ omega}}}

Hipótese de fases estacionárias

Do barco, as ondas da esteira parecem imóveis. Portanto, uma condição necessária para que a onda descrita anteriormente contribua para a esteira é que a amplitude da onda na constante r seja independente do tempo, ou seja:

{\ displaystyle \ omega = \ mathbf {k \, v}}

Na figura 1, o barco está no ponto O e se dirige para os xs negativos. Sendo o fenômeno simétrico em relação ao eixo de x , restringimos o argumento a ser positivo. O instante em que o barco está em O é considerado a origem do tempo. O x positivo corresponde, portanto, às posições anteriormente ocupadas pelo barco. Deixe que eu seja o ponto onde estava no momento - t . Portanto, temos OI = ut . Raio do círculo ct representa a posição da frente de onda (uma pulsação de dados) nascido a partir da passagem do barco eu . $\ scriptstyle {t_ {0}}$ $\ómega$

Em que ponto (s) a perturbação criada em I contribui para a formação da esteira no tempo zero? Nós nos demos uma pulsação temporal , vamos nos dar um vetor de onda (e o vetor de onda unitário correspondente ). Seja P a intersecção do semicírculo com o centro I e o raio ct com a linha que passa por I e é dirigida por . É a posição no tempo zero da pulsação e componente do vetor de onda da perturbação criada em I no tempo - t . $\ómega$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} \,}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {k_ {u}} = {\ mathbf {k}} / {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ómega$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

Suponhamos que a condição seja verificada, ou seja, neste ponto a perturbação criada em I contribui para a vigília no tempo zero. Então temos: ${\ displaystyle \, \ omega = \ mathbf {k} \, \ mathbf {v}}$

{\ displaystyle \ | IP \ | = c \, t = {\ frac {\ omega} {k}} \, t = {\ frac {\ mathbf {k}} {k}} \, t \, \ mathbf {v} = \ mathbf {k_ {u}} \ cdot {\ overrightarrow {IO}}}

Em outras palavras, IP é a projeção ortogonal de IO na linha que passa por I e direcionada de acordo com . Deduzimos que OP é perpendicular ao IP . Portanto P pertence ao círculo de diâmetro OI , no centro da qual, denotado por O ' , está a meio caminho entre O e I . ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

Deixando fixos, vamos variar , o que equivale a variar c = g / e, portanto, o raio ct do círculo em longas linhas pontilhadas. Vê-se assim que, para cada ponto P do semicírculo de diâmetro OI , podemos encontrar um valor tal que P está na intersecção do semicírculo de raio ct e do semicírculo de diâmetro OI . Assim, com o tempo , ele passa uma onda estacionária em relação ao barco em cada ponto do semicírculo de diâmetro OI . ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ómega$ $\ómega$ $\ómega$ $t_ {0}$

No entanto, o raciocínio deve ser adaptado ao fato de que a velocidade de fase c das ondas de gravidade, ou seja, a velocidade com que a crista das ondas avança, é diferente da velocidade do seu grupo , ou seja, a velocidade com que a energia dessas ondas é transportada . $CG}$

A velocidade c g de um grupo de ondas gravitacionais em águas profundas é exatamente a metade de sua velocidade de fase individual c p . Na verdade, a relação de dispersão ,, é escrita , da qual derivamos que ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = g \, k}$ ${\ displaystyle \, 2 \, \ omega \, d \ omega = g \, dk}$

{\ displaystyle c_ {g} = {\ frac {d \ omega} {dk}} = {\ frac {g} {2 \, \ omega}} = {\ frac {c} {2}}}

É essa velocidade de grupo que deve ser levada em consideração para a caracterização da esteira, e não a velocidade de fase. Por um , um e um dado, vimos que deduzimos a posição do ponto P onde, no tempo zero, a onda tem a mesma fase que em I no momento t quando nasceu. Para esta onda, o pico de energia não está em P, mas viajou duas vezes mais lentamente, na velocidade do grupo. Por conseguinte, este pico no tempo zero está localizado no ponto P ' , a meio caminho entre I e P . Por uma homotetia com centro I e razão 1/2, deduzimos que P ' está no semicírculo de diâmetro O'I ( O' meio de OI ). Portanto, é em P ' que a onda criada em I no tempo - t participa da esteira no tempo zero. $\ómega$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $t$

Wake cone

Inversamente, em qualquer ponto pertencente a um semicírculo de diâmetro O''J , com qualquer J na semilinha Ox e O '' no meio de OJ , uma onda participará da esteira no tempo zero. O wake cone é o conjunto desses pontos. Ela é delimitada por duas meias-linhas simétricas em relação ao eixo x e a origem ó . Seja o ângulo formado por essas meias-linhas com Ox : $\ beta _ {0}$

{\ displaystyle \ sin {\ beta} _ {0} = {\ frac {v \, t / 4} {3 \, v \, t / 4}} = 1/3}

assim, deduzimos que o ângulo é de cerca de 19,5 ° e o ângulo do V formado pela esteira é de cerca de 39 °. $\ beta _ {0}$

Ondas transversais e ondas divergentes

Agora considere o problema oposto. Seja P ' um ponto de coordenadas ( x , y ). Onde está (m) o (s) ponto (s) da linha Ox de onde partiu , em um instante anterior, uma onda que participa do tempo zero na esteira do ponto P ' ? Seguindo as notações da figura 1, um ponto I assim definido satisfaz com O '' ponto médio de O'I tal que O''O = 3O''I . Então nós temos : ${\ displaystyle \ mathbf {OI} = {\ frac {4} {3}} \ mathbf {OO ''}}$

${\ displaystyle \ mathbf {O''O ^ {2}} = 9 \ mathbf {O''P '^ {2}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {O''O ^ {2}} -9 \ mathbf {O''P '^ {2}} = 0}$

${\ displaystyle (\ mathbf {O''O} -3 \ mathbf {O''P '}) (\ mathbf {O''O} +3 \ mathbf {O''P'}) = 0}$

Seja G o baricentro do sistema {( O , 1), ( P ' , -3)} e G' o baricentro do sistema {( O , 1), ( P ' , 3)}. Portanto, temos O''O -3 O''P ' = -2 O''G e O''O +3 O''P' = 4 O''G ' . Portanto, O '' verifica O''G . O''G ' = 0, ou seja, O' ' pertence ao círculo de diâmetro GG' . Este círculo tem por centro o ponto de coordenadas e por raio . Um ponto com coordenadas ( u , v ) pertence ao círculo se e somente se suas coordenadas satisfazem a equação do círculo: ${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {9x} {8}}, {\ frac {9y} {8}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {3} {8}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ left (u - {\ frac {9} {8}} x \ right) ^ {2} + \ left (v - {\ frac {9} {8}} y \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {3} {8}} \ right) ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})}$

O ponto O '' com coordenadas ( u , v ), interseção do círculo com a reta de x , portanto verifica:

{\ displaystyle {\ begin {cases} (u - {\ frac {9} {8}} x) ^ {2} + (v - {\ frac {9} {8}} y) ^ {2} = ( {\ frac {3} {8}}) ​​^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \\ v = 0 \ end {casos}}}

Que dão:

${\ displaystyle \ left (u - {\ frac {9} {8}} x \ right) ^ {2} = {\ frac {9} {8}} x ^ {2} \ left ({\ frac {1 } {8}} - {\ frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right)}$

Podemos, portanto, ver que:

Não há solução para u if , que corresponde a um ponto P ' localizado fora do cone da esteira (podemos verificar isso ); ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {y} {x}}> {\ frac {\ sqrt {2}} {4}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} = \ tan \ beta _ {0}}$
há apenas uma solução se ; ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {y} {x}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}}}$
e existem duas soluções separadas . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {y} {x}} <{\ frac {\ sqrt {2}} {4}}}$

Este meio de resultados que em pontos localizados estritamente dentro do cone esteira, duas (e apenas dois) ondas de direção de propagação diferentes, tanto participando do velório, nascido em diferentes pontos do Boi , I e I eixo , e em momentos diferentes, se cruzam. As abscissas x e x de I e I são as duas soluções da equação acima (uma vez que as coordenadas ( u , v ) de O '' são conhecidas, as de I podem ser deduzidas instantaneamente): ${\ displaystyle _ {- 1}}$ ${\ displaystyle _ {1}}$ ${\ displaystyle _ {- 1}}$ ${\ displaystyle _ {1}}$ ${\ displaystyle _ {- 1}}$ ${\ displaystyle _ {1}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x _ {- 1} = \ left ({\ frac {3} {2}} - {\ sqrt {2 ({\ frac {1} {8}} - {\ frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}})}} \ right) x \\ x_ {1} = \ left ({\ frac {3} {2}} + {\ sqrt {2 ({ \ frac {1} {8}} - {\ frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}})}} \ right) x \ end {cases}}}

Esses dois tipos de ondas são chamados de divergentes e transversais . Agora seja θ o ângulo entre I P e I O (ε = + ou - 1). É o ângulo que indica a direção de propagação da onda. Nós temos : ${\ displaystyle _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle _ {\ epsilon}}$

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ epsilon} = {\ frac {x-x _ {\ epsilon}} {y}} = ... = - {\ frac {x} {y}} \ left ({\ frac {1} {2}} + \ epsilon {\ sqrt {2 ({\ frac {1} {8}} - {\ frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}})}} \ right )}

Este resultado mostra que, para qualquer ponto P ' de coordenadas ( x , y ) no cone da esteira, existem duas ondas da esteira que se cruzam em ângulos diferentes θ e θ . Os dois ângulos são idênticos se e somente se , ou seja, se estivermos localizados na borda do cone de esteira. ${\ displaystyle _ {- 1}}$ ${\ displaystyle _ {1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {y} {x}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}}}$

É possível inverter esta última relação, o que dá (o desaparece durante o cálculo): $\ epsilon$

{\ displaystyle {\ frac {y} {x}} = - {\ frac {\ tan \ theta} {2+ \ tan ^ {2} \ theta}}}

Isso significa que, para um determinado ângulo , menor que , o conjunto de pontos para os quais será a direção de uma das duas ondas está localizado em uma linha partindo de O e cruzando o cone da esteira. Na verdade, em cada ponto dessa linha reta, a proporção é constante. Além disso, o fato de que desaparece durante o cálculo pode ser interpretado dizendo que o conjunto de direções tomadas pelas ondas transversais é separado do conjunto de direções tomadas pelas ondas divergentes. $\ theta$ $\ beta _ {0}$ $\ theta$ ${\ displaystyle {\ frac {y} {x}}}$ $\ epsilon$

Notas e referências

Rabaud e Moisy 2014 , p. 10, col. 3 .
Rabaud e Moisy 2014 , p. 12, col. 3 .
Rabaud e Moisy 2014 , ref. 2, pág. 12, col. 1 .

Veja também

Bibliografia

[Bailly 2013] Sean Bailly , “ Le sillage fait des waves ”, Pour la science ,Maio de 2013( leia online )
[Courty e Kierlik 2008] Jean-Michel Courty e Édouard Kierlik , “ Na esteira dos navios ”, Pour la science , n o 368,junho de 2008( leia online ).
[Rabaud e Moisy 2014] Marc Rabaud e Frédéric Moisy , " Du neuf dans les sillages ", Reflets de la physique , n o 39,Maio de 2014, p. 10-13 ( DOI 10.1051 / refdp / 201439010 , resumo , ler online [PDF] ).