Seio integral
A função seno integral , notada Si , é uma função especial da física matemática introduzida por Fresnel no estudo das vibrações da luz, é definida para qualquer real x pela integral :
sim(x)=∫0xpecado(t)t dt{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin (t)} {t}} ~ \ mathrm {d} t}onde a função sin é a função seno .
Histórico
Esta função foi usada por Oscar Xavier Schlömilch (para representar certos integrais definidos) com a notação moderna Si ( x ) de 1846. Uma primeira tabulação desta função (para x = 1, ..., 10 ), devido a Carl Anton Bretschneider , foi republicado por Schlömilch em 1848. Jean Denis Fenolio publicou em 1857 um livro de memórias sugerindo várias fórmulas para o cálculo numérico da função Si ( x ) . Davide Besso (ru) publicou em 1868 uma tabela de valores de Si ( x ) para x múltiplo inteiro de π . Uma tabulação mais precisa do que as de Bretschneider e Besso foi publicada em 1870 por JWL Glaisher, que também dá uma história do uso dessa função na literatura matemática. Tabelas detalhadas das funções integral trigonométrica , integral exponencial e seio completo foram publicadas em 1940 pela Federal Works Agency (em) , sob a direção de Arnold D. Lowan. A introdução ao volume 1 dessas tabelas contém (p. 26) uma bibliografia de aplicações dessas funções em física e engenharia .
Propriedades
- A função é contínua, infinitamente diferenciável em ℝ, e ∀x∈R, Seu′(x)=pecado(x)x=seunãovs(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {Si} '(x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ mathrm {sinc} (x)}onde está a função do seno cardinal .seunãovs{\ displaystyle \ mathrm {sinc}}
- A função Si é desenvolvível em séries inteiras em ℝ, e temos∀x∈R, Seu(x)=∑não=0+∞(-1)nãox2não+1(2não+1)!(2não+1).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {Si} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac { x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! (2n + 1)}}.}Este desenvolvimento torna possível estender a função Si em uma função inteira .
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limx→+∞Seu(x)=∫0+∞pecado(t)t dt=π2{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ mathrm {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t}} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {2}}}. Esta é a integral de Dirichlet .
- Uma fórmula interessante: π∫1não(nãox) dx=∑k=1não(não+1k+1)Seu(kπ)-Seu(π), com (nãox)=não!Γ(x+1)Γ(não-x+1){\ displaystyle \ pi \ int _ {1} ^ {n} {{n \ escolha x} ~ \ mathrm {d} x} = {\ sum _ {k = 1} ^ {n} {{n + 1 \ escolha k + 1} \ mathrm {Si} (k \ pi)}} - \ mathrm {Si} (\ pi), ~ {\ text {com}} ~ {n \ escolha x} = {\ frac {n! } {\ Gamma (x + 1) \ Gamma (nx + 1)}}}( coeficiente binomial generalizado ).
Referências
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O. Schlömilch , “ Nota sobre alguns integrais definidos ”, J. Reine angew. Matemática. , vol. 33, n o 316,1846( leia online )
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(de) O. Schlömilch, Analytische Studien vol. 1 , 1848, pág. 196
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JD Fenolio, Ensaio sobre o Seno Integral , Torino , Impressão Real, 1857
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(it) D. Besso, "Sull'integral seno e l'Integral coseno", em Giornale di matematiche ( Battaglini (it) ) , vol. 6, 1868, p. 313
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(in) JWL Glaisher, "Tabelas dos Valores Numéricos do Seno Integral, Integral Cosseno e Integral Exponencial" em Philos. Trans. R. Soc. , voar. 160, 1870, pág. 387
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(em) Arnold L. Lowan (ed.), Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals , t. 1 e t.2 , Nova York, 1940
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
links externos
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