Em geometria , o seno de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa . O conceito também se estende a qualquer ângulo geométrico (entre 0 e 180 °). Nesse sentido, o seno é um número entre 0 e 1. Se introduzirmos uma noção de orientação, os ângulos podem assumir qualquer valor positivo ou negativo, e o seno é um número entre -1 e +1. O seno de um ângulo α é denotado sen ( α ) ou simplesmente sen α .
Em análise , a função seno é função da variável real que, com cada α real, associa o seno do ângulo orientado de medida α radianos . É uma função ímpar e periódica . As funções trigonométricas podem ser definidas como geometricamente, mas as mais modernas definições caracterizam-se por séries de potências ou como soluções de equações diferenciais especiais, permitindo sua extensão a valores arbitrários e números complexos .
A função seno é comumente usada para modelar os fenômenos periódicos , como ondas sonoras ou luz ou mudanças na temperatura durante o ano.
A palavra sinus é uma palavra latina que designa, entre outras coisas, uma cavidade ou uma bolsa. É por um erro de tradução que foi atribuído ao comprimento de um dos lados do triângulo retângulo. A noção matemática tem sua origem nas noções de jyā e koṭi-jyā (en) , usadas na astronomia indiana durante o período Gupta (no tratado Surya Siddhanta ). Ao contrário dos geômetras gregos, como Claudius Ptolomeu , que montou tabelas trigonométricas calculando o comprimento de uma corda subtendida por um arco, os matemáticos indianos decidem usar a meia corda, ardha-jyās ou ardha-jiva em sânscrito. , Logo abreviado para jya ou jiva , que também designa, dependendo do contexto, todo o acorde.
No VIII th século, os árabes traduziu os textos indianos. Eles traduziram a palavra jiva para toda a corda em watar , mas mantiveram a palavra indiana jiva para a meia corda, arabizada como جِيبٌ jib ou jaib . Para o XII th século, obras árabes foram traduzidos para o latim, e tradutores latinos, levando a palavra جيب jaib para xará palavra árabe para uma cavidade ou um vinco em uma peça de roupa, traduzido pelo palavra latina ter mais sentido próximo, sinus .
O seno de um ângulo agudo não orientado de medição α (em graus entre 0 e 90 °, em radianos entre 0 eπ2, em graus entre 0 e 100 gr) é um número real positivo entre 0 e 1. Ele pode ser definido em um triângulo retângulo arbitrário do qual um dos ângulos diferente do ângulo reto tem a medida α .
Os lados do triângulo retângulo são chamados de:
Notaremos:
h : o comprimento da hipotenusa; o : o comprimento do lado oposto.Então :
.Essa proporção não depende do triângulo retângulo particular escolhido com um ângulo de medição α , uma vez que todos esses triângulos retângulos são semelhantes .
Em qualquer triânguloEm qualquer triângulo, o seno do ângulo ABC é igual à proporção da altura de A pelo comprimento BA. Também é igual à proporção da altura resultante de C pelo comprimento BC: .
O seno de um ângulo obtuso é, portanto, igual ao seno do ângulo adicional.
Conhecer o seno de um ângulo permite calcular a área de um triângulo: .
Por outro lado, o seno de um ângulo pode ser calculado assim que conhecemos os lados e a área do triângulo (a área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula de Heron , ou graças ao produto vetorial ): .
Os senos dos três ângulos de um triângulo são relacionados pela lei dos senos . Se denotar por um , b e c os lados opostos os vértices A, B e C, e R o raio do círculo circunscrito ao triângulo, temos: .
Marcos históricosAs tabelas trigonométricas são usadas na Antiguidade, na Mesopotâmia , no Império Grego e na península indiana , na trigonometria esférica para cálculos astronômicos. Para eles, trata-se de comprimentos associados a arcos de círculos cujo raio é dado. As primeiras tabelas usam o acorde de um arco de círculo. Uma das tabelas foi calculada pela Hiparco no II º século aC. AD , mas nenhuma cópia chegou até nós. A de Claude Ptolémée aparece em seu Almagesto e sua elaboração poderia ser inspirada na de Hiparco. Os índios também começam trabalhando nas mesas de barbante que chamam de jya ou jiva . Eles então preferem trabalhar em uma nova quantidade, mais simples para os cálculos, que corresponde ao meio acorde do arco duplo. Eles chamam essa quantidade de ardha-jya , ou meia-corda, então, gradualmente, o termo jya é requerido para a meia-corda do arco duplo. O termo é então adotado pelos árabes que o transliteraram para jiba, que evolui para jaib . Durante a tradução dos escritos árabes de Gérard de Cremona , este termo sofre uma modificação final: Gérard de Cremona o confunde com um termo árabe, da mesma consonância, que tem o significado de “peito”, “cabo” ou “cavidade”, e, portanto, o traduz pela palavra latina correspondente sinus .
Os primeiros quadros de seno conhecidos são os de Siddhantas incluindo Surya Siddhânta (final da IV th início do século- V th século) e aqueles de Aryabhata a VI th século . Aryabhata assume que, para a 24 ª parte de um quadrante, podemos confundir o comprimento de um arco e seios. O terço de um quarto de círculo corresponde a um ângulo de 30 ° , cujo seno é óbvio: meio raio. Para, em seguida, obter o 24 º do quadrante, basta dividir por 2 a 3 vezes o ângulo inicial. Aryabhata é capaz, graças ao teorema de Pitágoras , de calcular o seno da metade do ângulo. É preciso um círculo de raio 3.438, que leva, com o valor de π usado na época (3,141 6), a um círculo de circunferência 21.600 (notamos que um ângulo completo corresponde a 360 ° ou 21.600 minutos). Ele fornece, para este valor do raio, os 24 valores dos senos dos arcos de comprimentos n × 225 . Os índios também fornecem mesas sinusoidais para círculos de raio 60, 150, 120 ... Esse costume de construir mesas sinusoidais correspondentes a um círculo cujo raio, arbitrariamente fixo, é denominado "seno total", continua na Europa. Mesmo até o final de o XVIII th século.
O seno de um ângulo de medição orientado α é um número real entre -1 e 1. Aqui o plano é orientado na direção trigonométrica .
O círculo unitário é o círculo de raio 1, centralizado na origem (0, 0) de um sistema de coordenadas cartesianas .
Considere a intersecção entre uma meia linha vinda da origem que faz um ângulo de medição α com o meio eixo (O x ) , e o círculo unitário. Então, a componente vertical desta interseção é igual a sin ( α ) . Esta definição coincide com a anterior quando α é a medida de um ângulo saliente, orientado na direção positiva, e deduzimos isso da anterior observando que uma mudança de orientação do ângulo induz uma mudança de sinal sinusal.
É possível determinar diretamente, usando um determinante , o seno do ângulo orientado entre dois vetores cujas coordenadas conhecemos: para e , temos: . Tal igualdade pode ser demonstrada se tomarmos como certa a fórmula trigonométrica do seno de uma diferença. É só perguntar e observe que .
Se os ângulos orientados são medidos em radianos, a função que, ao α real, associa o seno do ângulo orientado de medida α radianos é chamada de função seno.
A observação das propriedades geométricas dos ângulos orientados nos permite deduzir as identidades sin (- α ) = −sin ( α ) (a função seno é, portanto, ímpar ), sin ( α + π) = −sin ( α ) , e sin ( α + 2π) = sin ( α ) (a função seno é, portanto, periódica com período 2π).
De toda a sérieEm análise , a função sin é definida no conjunto ℝ de números reais por uma série que mostramos que converge em todos ℝ:
;também mostramos que esta definição coincide com a anterior quando os ângulos são medidos em radianos.
Periodicidade, derivabilidade e continuidade são então estabelecidas pela teoria das séries , assim como as fórmulas de Euler em análises complexas ligando funções trigonométricas a funções exponenciais , bem como a identidade de Euler . Esta definição é freqüentemente usada como ponto de partida em tratados rigorosos de análise e permite a definição do número π .
A definição usando a série torna possível estender a função seno em uma função analítica em todo o plano complexo .
Como uma solução de uma equação diferencialToda a série anterior é a solução única para o problema de Cauchy :
,que, portanto, constitui uma definição equivalente da função seno.
As funções trigonométricas não são bijetivas (nem mesmo injetivas , pois são periódicas ); portanto, não admitem bijeções recíprocas . Ao restringir certos intervalos de partida e chegada , as funções trigonométricas podem realizar bijeções. A aplicação de arco recíproco é definida por:
para todos os reais x e y :
se e apenas se
.A função arcsin é, portanto, uma bijeção de [–1, 1] em [–π / 2, π / 2] e satisfaz
e
. DerivadoA derivada da função seno é a função cosseno :
.
Esta propriedade é imediata com as definições de séries inteiras das funções seno e cosseno. Deduzimos em particular que .
Inversamente, pode-se deduzir esse limite da definição geométrica (cf § “Limites” ) e usá-lo para calcular a derivada.
IntegranteUm primitivo de pecado é -cos , que está escrito: Em outras palavras : para todo x 0 ,
,onde está a “constante de integração”.
LimitesOs valores que aparecem na tabela abaixo correspondem aos ângulos para os quais uma expressão usando raízes quadradas é possível e, mais precisamente, para os quais o teorema de Wantzel se aplica; para obter mais detalhes, consulte o artigo Polinômio mínimo de valores trigonométricos especiais .
x (ângulo) | sin x | y (ângulo adicional) | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Graus | Radianos | Ranks | Exato | Decimal | Graus | Radianos | Ranks |
0 ° | 0 | 0 g | 0 | 0 | 180 ° | 200 g | |
15 ° | 16 2 ⁄ 3 g | 0,258819045102521 | 165 ° | 183 1 ⁄ 3 g | |||
18 ° | 20 g | 0,309016994374947 | 162 ° | 180 g | |||
30 ° | 33 1 ⁄ 3 g | 0,5 | 150 ° | 166 2 ⁄ 3 g | |||
36 ° | 40 g | 0,5877852523 | 144 ° | 160 g | |||
45 ° | 50 g | 0,707106781186548 | 135 ° | 150 g | |||
54 ° | 60 g | 0,809016994374947 | 126 ° | 140 g | |||
60 ° | 66 2 ⁄ 3 g | 0,866025403784439 | 120 ° | 133 1 ⁄ 3 g | |||
75 ° | 83 1 ⁄ 3 g | 0,965925826289068 | 105 ° | 116 2 ⁄ 3 g | |||
90 ° | 100 g | 1 | 1 |
O seno é usado para determinar a parte imaginária de um número complexo z dado em coordenadas polares , por seu módulo r e seu argumento φ :
onde i denota a unidade imaginária .
A parte imaginária de z é
Em particular
Seios com um argumento complexoA definição da função seno como uma série inteira se estende como é para argumentos complexos z e fornece uma função inteira :
ou :
,onde sinh denota a função seno hiperbólica .
Às vezes é útil expressá-lo em termos das partes reais e imaginárias de seu argumento: para x e y reais,
Fração parcial e desenvolvimento serial do seio complexoUsando a técnica de expansão de elemento simples (en) de uma função meromórfica , podemos encontrar a série infinita :
.Nós também encontramos
.Usando a técnica de desenvolvimento de produto , podemos derivar
.Uso do seio complexosin z é encontrado na equação funcional para a função gama , chamada de fórmula do complemento ,
que por sua vez está na equação funcional para a função zeta de Riemann ,
.Como qualquer função holomórfica , sin z é harmônico , ou seja, solução da equação de Laplace bidimensional:
.Gráficos complexosparte real | parte imaginária | módulo |
parte real | parte imaginária | módulo |
Não existe um algoritmo padrão para calcular seno ou cosseno; em particular, o padrão IEEE 754-2008 não fornece nenhum. A escolha de um algoritmo é um compromisso entre velocidade, precisão e extensão das entradas, em particular a possibilidade de calcular o valor para números grandes (grande na frente de 2π radianos ou 360 graus). O desenvolvimento em série é muito pouco usado porque não tem um bom desempenho.
Um método comum é pré-calcular os valores e armazená-los em uma tabela de pesquisa ; o valor retornado pela função é então o valor correspondente à entrada mais próxima do array, ou então a interpolação linear dos dois valores em torno do ângulo considerado. Este método é amplamente utilizado para a geração de imagens sintéticas 3D.
As calculadoras científicas geralmente usam o método CORDIC .
Em vários casos, as funções implementadas expressam o ângulo de entrada na forma do número de meias voltas em vez de em radianos (meia volta é igual a π radianos). Na verdade, π é um número irracional , seu valor, portanto, apresenta erros de arredondamento qualquer que seja a base; portanto, cometemos menos erros de entrada ao falar de 0,25 meia volta do que ao falar de π / 4 radianos.