Esfera

Na geometria do espaço , uma esfera é uma superfície composta por todos os pontos localizados à mesma distância de um ponto denominado centro . O valor desta distância ao centro é o raio da esfera. A geometria esférica é a ciência que estuda as propriedades das esferas. A superfície da Terra pode, em uma primeira aproximação , ser modelada por uma esfera com um raio de aproximadamente 6.371 km .

De maneira mais geral, em matemática, em um espaço métrico , uma esfera é o conjunto de pontos localizados à mesma distância de um centro. Sua forma pode então ser muito diferente da forma redonda usual. Uma esfera também é um elipsóide degenerado.

Uma esfera "cheia" é uma bola , cujos pontos têm uma distância do centro menor ou igual ao raio.

Esfera euclidiana (no espaço tridimensional)

Vocabulário

Por muito tempo, a linguagem cotidiana usou a palavra "esfera" tanto para nomear a superfície quanto para o sólido que ela delimita. Hoje em dia, a esfera designa exclusivamente a superfície e o sólido, por sua vez, leva o nome de bola .

Outros termos merecem ser definidos:

Dois pontos antípodas são dois pontos diametralmente opostos na esfera. É o caso dos pólos da esfera terrestre;
Um grande círculo é um círculo desenhado na esfera e com o mesmo raio da esfera. Um grande círculo sempre passa por dois pontos antípodas. Os meridianos da esfera terrestre são grandes círculos. Os paralelos são círculos desenhados na esfera, mas seus raios são geralmente menores do que os da esfera e não são grandes círculos;
um fuso esférico é uma figura desenhada na esfera por dois círculos semi-grandes com as mesmas extremidades;
uma aba esférica é um sólido recortado de uma bola por um diedro , como uma cunha laranja.
um triângulo esférico é uma figura desenhada na esfera formada por três pontos conectados por arcos de círculos semi-grandes;
um polígono esférico é uma figura desenhada em uma esfera, formada por vários pontos conectados por arcos de grandes círculos;
uma zona esférica é a porção de uma esfera situada entre dois planos paralelos;
uma tampa esférica é uma zona esférica na qual um dos planos é tangente à esfera;
um segmento esférico é o sólido delimitado por dois planos paralelos e a zona esférica que eles determinam;
um setor esférico é o sólido delimitado por uma tampa esférica e o cone circular gerado pelas meias-linhas originais no centro do círculo e repousando sobre a tampa esférica.

Equações

Na geometria cartesiana, sendo o espaço fornecido com um sistema de coordenadas ortonormal , uma esfera com centro e raio é o conjunto de pontos como: ${\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {Oy}}, {\ overrightarrow {Oz}})}$ $(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ $r$ $(X Y Z)$

\ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}

Os pontos da esfera de raio re centro O podem ser parametrizados por:

\ left \ {{\ begin {matrix} x & = & r \ cos \ theta \; \ cos \ phi \\ y & = & r \ cos \ theta \; \ sin \ phi \\ z & = & r \ sin \ theta \ end {matriz}} \ direita. \ qquad \ left ({\ frac {- \ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}} {\ mbox { e}} - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi \ right)

Podemos vê-lo como latitude e longitude. (Veja funções trigonométricas e coordenadas esféricas .) $\ displaystyle \ theta$ $\ displaystyle \ phi$

Fórmulas

A área de uma esfera de raio é: $r$

A = 4 \ pi r ^ {2}

O volume da bola que contém é:

{\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}

Sua "compactação", ou seja, sua relação área-volume , é, portanto:

{\ displaystyle C = {\ frac {A} {V}} = {\ frac {3} {r}}}

O momento de inércia de uma bola homogênea de raio , densidade e massa M , em relação a um eixo que passa por seu centro é: $r$ $\ rho$

I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {5}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {15}}

O momento de inércia de uma esfera homogênea de raio e massa M , em relação a um eixo que passa por seu centro é: $r$

I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {9}}

O elemento de área da esfera com raio em coordenadas de latitude-longitude ( - ) é . Deduzimos que a área de um eixo - árvore (porção limitada por dois semicírculos que unem os pólos e formam um ângulo expresso em radianos ) é . $r$ $\ lambda$ $\ varphi$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos \ lambda \, \ mathrm {d} \ lambda \, d \ varphi}$ $\alfa$ ${\ displaystyle 2 \ alpha \, r ^ {2}}$

Isso também permite calcular a área de uma zona esférica , ou seja, de uma parte de uma esfera limitada por dois planos paralelos que cruzam a esfera (ou são tangentes a ela). Encontramos onde denota a distância dos dois planos: a área é a mesma de um cilindro circular da mesma altura tangente à esfera (cilindro circunscrito). Esse resultado notável é demonstrado por Arquimedes em seu tratado Sobre a esfera e o cilindro . Segundo Cícero , Arquimedes teria pedido que fosse gravada em sua tumba, em memória desse resultado, uma esfera e seu cilindro circunscrito. $2 \ pi rh$ $h$

O cilindro circunscrito a uma dada esfera tem um volume igual a 1,5 vezes o volume da esfera.

A esfera tem a menor área entre as superfícies que contêm um determinado volume e contém o maior volume entre as superfícies de uma determinada área. É a resposta à questão da isoperimetria para o espaço euclidiano de dimensão 3. Por esta razão, a esfera aparece na natureza, por exemplo as bolhas e gotas de água (na ausência de gravidade ) são esferas porque a tensão superficial tenta minimizar o área.

Esfera circunscrita a um tetraedro

Através de quatro pontos não coplanares A, B, C e D (ABCD é um tetraedro não achatado ), ele passa por uma única esfera, chamada de esfera circunscrita .

Os seis planos que medeiam as bordas do tetraedro se cruzam no centro da esfera.

Desenvolvimento

Podemos mostrar que a esfera é uma superfície não desenvolvível . Não há chefe da esfera. No entanto, é possível, na prática, obter superfícies reveláveis que se aproximem muito fielmente da esfera, é o caso de todos os balões costurados. Consulte: bola de futebol ( icosaedro truncado ), bola de vôlei e bola de fantasia (fusos de pólo a pólo).

Observe que a pressão interna deforma as superfícies e cria fidelidade na abordagem ... Quanto mais você infla, mais a esfera se aproxima da perfeição.

Esferas euclidianas de dimensão superior

Podemos generalizar o conceito de esfera para um espaço de qualquer dimensão inteira. Para cada inteiro natural n , uma n -sfera de raio r é o conjunto de pontos no espaço euclidiano com ( n +1) dimensões que estão a uma distância fixa r de um ponto neste espaço ( r é estritamente real positivo). Por exemplo :

uma esfera 0 é o par dos pontos finais do intervalo [- r , r ] da reta real;
uma esfera 1 é um círculo de raio r ;
uma 2-esfera é uma esfera comum.

As esferas de dimensão n > 2 às vezes são chamadas de hiperesferas . A esfera n de raio 1 é denotada por S n .

A área de uma ( n −1) -esfera de raio r é

2 {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}}, & {\ text {si}} n {\ text {é par;}} \\ \\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}}, & {\ text {si}} n {\ text {é estranho}}, \ end {casos}}

onde Γ é a função gama de Euler

e o volume de uma n- bola de raio r é igual ao produto desta área por , portanto, a ${r \ sobre n}$

{\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n}} {2 \ cdot 4 \ cdots n}}, & {\ text {si}} n {\ text {é par;}} \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots n}}, & {\ text {si}} n {\ text {is odd}}. \ end {cases}}

Dependendo do contexto, em particular na topologia , a palavra esfera (ou n - esfera se quisermos lembrar a dimensão) pode ser usada para designar qualquer espaço topológico homeomórfico a uma n -sfera no sentido definido na seção anterior.

A característica de Euler de uma n -sfera vale 2 se n for par e 0 se n for ímpar.

A esfera como um primitivo geométrico

Em CAD ou software de computação gráfica (por exemplo, Blender ), a esfera é amplamente utilizada como uma primitiva geométrica . As características da malha que é utilizada para sua representação são especificadas pelo usuário (ajuste da suavidade).

A esfera como variedade

É uma variedade (de dimensão 2, sem fronteiras).

Algumas propriedades

A esfera é globalmente invariante (em particular) por uma rotação cujo eixo passa pelo seu centro.
Suas duas curvaturas principais são iguais e valem a pena . $\ frac {1} {r}$
Sua escalar Ricci é uniforme: . ${\ displaystyle R = {\ frac {2} {r ^ {2}}}}$

Notas e referências

Notas

De acordo com o teorema de Pitágoras generalizado em várias dimensões

Referências

Na enciclopédia de Diderot e d'Alembert, por exemplo, a esfera é "um corpo sólido contido sob uma única superfície & que tem no meio um ponto chamado centro, portanto, todas as linhas desenhadas na área são iguais. " (( S: L'Encyclopédie / 1ª edição / ESFERA ) e há uma pequena rima mnemônica para calcular o volume " O volume da esfera / é tudo o que podemos fazer / quatro terços de pi R três / seja em ferro ou madeira ” (Roland Bouchot, L'Amour des mots , página 142 )
Obra digitalizada por Marc Szwajcer, Works of Archimedes, traduzida literalmente, com um comentário, por F. Peyrard, Professor de Matemática e Astronomia no Lycée Bonaparte .
Veja, por exemplo, a enciclopédia Diderot , Artigo Syracuse , no Wikisource .
(em) Herbert Seifert e William Threlfall (de) ( trad. Do alemão), A Textbook of Topology , New York, Academic Press ,1980, 437 p. ( ISBN 978-0-12-634850-7 ) , p. 53.
(in) " Primitivos - Manual do Blender " em docs.blender.org (acessado em 11 de abril de 2020 )

Veja também

Bibliografia

(pt) David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen , Geometry and the Imagination [ detalhe das edições ]
Marcel Berger , Geometria [ detalhe das edições ]Nathan, 1990, c. 18

links externos

A. Javary, Tratado sobre geometria descritiva , cones e cilindros, esfera e superfícies do segundo grau , 1881 (em Gallica )
Matthieu Aubry, O caminho mais curto na esfera
Xavier Hubaut, matemática secundária - cone e esfera
Xavier Hubaut, viajando em uma esfera