Estabilização de gradiente de gravidade

Este artigo pode ser melhorado com a tradução do artigo da Wikipedia para o italiano : Stabilizzazione a gradiente di gravità .

Se você conhece bem o idioma sugerido, você pode fazer esta tradução. Descubra como .

A estabilização por gradiente de gravidade (em inglês : estabilização de gradiente de gravidade ) é um método para estabilizar satélites artificiais ou objetos espaciais em uma orientação fixa usando apenas a distribuição de peso e o campo gravitacional do corpo orbitado.

A principal vantagem sobre o uso de estabilização ativa com propulsores, giroscópios ou rodas de reação é o baixo uso de energia e recursos.

A ideia é usar o campo gravitacional da Terra e a força das marés para manter a espaçonave alinhada na orientação desejada. A gravidade da Terra diminui de acordo com a lei do inverso do quadrado e, ao estender o eixo longo perpendicular à órbita, a parte "inferior" da estrutura orbital será mais atraída pela Terra. O efeito é que o satélite tenderá a alinhar verticalmente seu eixo de momento mínimo de inércia .

Um modelo explicativo simples

É possível descrever o efeito de um gradiente de gravidade na atitude de um satélite usando suposições simplificadoras:

o satélite considerado tem a forma de um halter rígido de comprimento 2 l , tendo as duas extremidades a mesma massa m , e a massa da barra que liga as duas extremidades é considerada desprezível;
o movimento do satélite é do tipo kepleriano não perturbado, resultando em um plano de movimento de movimento médio n ;
da mesma forma, apenas as variações de atitude do satélite neste mesmo plano orbital são consideradas, o que leva a ter apenas um único grau de liberdade , notado , representando o movimento de inclinação do satélite; $\ theta$
o movimento é estudado em um referencial geocêntrico, o referencial ortogonal associado girando com o satélite. O eixo do referencial é escolhido de forma a conectar em todos os momentos o centro da Terra ao centro de massa do satélite, e o eixo é ortogonal a , contido no plano da órbita, direcionado de acordo com o movimento de o satélite. O eixo é ortogonal ao plano da órbita; ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3} \}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ vec {e_ {3}}}$
o movimento axial do satélite, ou seja, ao longo do eixo, é desprezado, a distância entre o centro da Terra O e o centro de massa C do satélite é constante. Consequentemente, a órbita é circular em raio . ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle || {\ vec {OC}} || = R}$

Um gradiente de gravidade que representa uma diferença na aceleração devido à gravidade entre dois pontos do satélite, uma aproximação da ordem de dois da aceleração em um ponto M do satélite é buscada a partir da lei da gravitação expressa no ponto M :

${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {M} = - \ mu \, {\ frac {\ vec {OM}} {|| {\ vec {OM}} || ^ {3}}} = - \ mu \, {\ frac {{\ vec {OC}} + {\ vec {CM}}} {|| {\ vec {OC}} + {\ vec {CM}} || ^ {3}} }}$

com a constante gravitacional geocêntrica . Sendo as distâncias entre dois pontos do satélite pequenas em relação às distâncias ao centro da Terra, pode-se obter um desenvolvimento limitado à primeira ordem do denominador: $\ mu$

${\ displaystyle {\ frac {1} {|| {\ vec {OC}} + {\ vec {CM}} || ^ {3}}} \ simeq {\ frac {1} {R ^ {3}} } (1-3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM}}} {R ^ {2}}})}$

Isso fornece uma aproximação de duas ordens para a aceleração em M :

${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {M} \ simeq - \ mu {\ frac {{\ vec {OC}} + {\ vec {CM}}} {R ^ {3}}} (1 -3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM}}} {R ^ {2}}})}$

A dinâmica de inclinação do satélite é determinada pelo momento da força gravitacional aplicada a cada componente e do satélite, em relação ao centro de massa C : $M_ {1}$ $M_2$

${\ displaystyle {\ cal {\ vec {M}}} _ {i} = {\ vec {CM_ {i}}} \ wedge m \, {\ vec {\ gamma}} _ {M_ {i}} = - \ mu \, m \, {\ frac {{\ vec {CM_ {i}}} \ wedge {\ vec {OC}}} {R ^ {3}}} (1-3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM_ {i}}}} {R ^ {2}}})}$

Quando o satélite tem um ângulo de inclinação , os dois componentes têm por coordenadas , e , que, com , dá a seguinte expressão para a projeção dos dois momentos gravitacionais ( i = 1, 2 ) no eixo ortogonal ao plano da órbita : $\ theta$ ${\ displaystyle {\ vec {CM_ {1}}} = {\ begin {pmatrix} l \, \ sin \ theta \\ - l \, \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {CM_ {2}}} = - {\ vec {CM_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OC}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ R \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ cal {M}} _ {i} = \ mp \ mu \, m \, {\ frac {l \, \ sin \ theta} {R ^ {2}}} \, (1 \ pm 3 {\ frac {l \, \ cos \ theta} {R}})}$

O centro de momento de inércia ser , a equação da dinâmica de rotação em torno do centro de massa e no plano orbital está escrito: ${\ displaystyle 2 \, m \, l ^ {2}}$

${\ displaystyle 2 \, m \, l ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} = {\ cal {M}} _ {1} + {\ cal {M}} _ {2}}$

ou novamente:

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = - 3 {\ frac {\ mu} {R ^ {3}}} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta}$

em que aparece o movimento médio n , devido à terceira lei de Kepler : ${\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {\ mu} {R ^ {3}}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + 3n ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta = 0}$

Esta equação diferencial descreve um movimento de pêndulo denominado movimento de liberação . Além disso, o valor corresponde a um ponto de equilíbrio. Pequenos movimentos em torno deste ponto de equilíbrio podem ser estudados por aproximação e , o que leva à equação de um oscilador linear com um grau de liberdade não amortecido : $\ theta = 0$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ simeq 1}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ simeq \ theta}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + 3n ^ {2} \, \ theta = 0}$

a frequência da libação sendo relacionada ao movimento médio da relação . Devido à falta de amortecimento, o ponto de equilíbrio e é marginalmente estável. O gradiente de gravidade é, portanto, em si mesmo insuficiente para estabilizar completamente a atitude do satélite. Qualquer perturbação provoca o aparecimento de uma oscilação harmônica que se mantém por muito tempo. A estabilização do gradiente de densidade é, portanto, finalmente obtida pela introdução de mecanismos passivos de amortecimento na estrutura do satélite, por exemplo, por meio de ligações elásticas entre vários componentes do satélite. ${\ displaystyle \ omega _ {lib} = {\ sqrt {3}} \, n}$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}$

Notas e referências

Robert Guiziou, “ Attitude and Orbit Control System ” (acessado em 2 de fevereiro de 2020 ) .

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Gravity-gradiente estabilização " ( veja a lista de autores ) .