Na astronomia , as leis de Kepler descrevem as principais propriedades do movimento dos planetas ao redor do sol .
O homônimo das leis é o astrônomo Johannes Kepler (1571-1630) que os estabeleceu empiricamente a partir de observações e medidas da posição dos planetas feitas por Tycho Brahe , medidas muito precisas para a época (8 minutos de precisão) . Copérnico argumentou em 1543 que os planetas giravam em torno do Sol , mas ele confiava no movimento circular uniforme, herdado da Grécia antiga , e os meios matemáticos não eram tão diferentes daqueles usados por Ptolomeu para seu sistema geocêntrico .
Kepler publica as duas primeiras leis em 1609em Astronomia nova, depois o terceiro em1619em Harmonices Mundi . As órbitas elípticas, conforme declaradas em suas duas primeiras leis, permitem explicar a complexidade do movimento aparente dos planetas no céu sem recorrer a epiciclos , excêntricos e outros equantes (ou seus substitutos) dos modelos copernicano e ptolomaico.
Em 1687 , apoiando-se no trabalho de Galileu , Kepler e Huygens , Isaac Newton descobriu a lei da gravitação que lhe permitiu explicar as três leis de Kepler.
Voltaire (1694-1778), em seu Elements of Newton's Philosophy of1738, foi o primeiro a chamar de "leis" de Kepler. Lalande (1732-1807), Em seu Epítome da Astronomia de1774, parece ter sido o primeiro a enumerar e numerar as três leis de Kepler na ordem em que são normalmente apresentadas hoje.
A primeira lei de Kepler é chamada de “lei das órbitas” ou “lei das elipses”.
Os planetas do sistema solar descrevem trajetórias elípticas , das quais o Sol ocupa um dos focos. De maneira mais geral, os objetos celestes orbitando o Sol descrevem trajetórias que são cônicas das quais o Sol é o foco. No caso dos cometas , também podemos ter trajetórias não fechadas, parabólicas ou hiperbólicas .
No referencial heliocêntrico , o Sol sempre ocupa um dos dois focos da trajetória elíptica dos planetas que giram em torno dele. A rigor, é o centro de massa que ocupa esse foco; a maior diferença é alcançada com Júpiter que, devido à sua grande massa, desloca este centro de massa em 743 075 km ; ou 1,07 raios solares - deslocamentos maiores podem ser obtidos acumulando os efeitos dos planetas em sua órbita .
As elipses descritas pelos centros de gravidade dos planetas são quase circulares, tendo uma excentricidade orbital baixa ou muito baixa , sendo a mais alta a de Mercúrio (~ 0,2), seguida da de Marte (~ 0,09). Foi esta última que Kepler usou para sua descoberta da primeira lei, e ele é ajudado nisso pela baixa excentricidade da órbita da Terra (~ 0,017) em relação à de Marte. Os próprios focos são bastante distintos do centro da elipse.
A segunda lei de Kepler é chamada de “lei das áreas”.
Áreas iguais são digitalizadas em tempos iguais.
Se S é o Sol e M qualquer posição de um planeta, a área (da superfície) varrida pelo segmento [ SM ] entre duas posições C e D é igual à área varrida por este segmento entre duas posições E e F se o o tempo entre as posições C e D é igual à duração entre as posições de e e F . A velocidade de um planeta, portanto, torna-se maior quando o planeta se aproxima do sol. É máximo na vizinhança do raio mais curto ( periélio ) e mínimo na vizinhança do raio maior ( afélios ).
Desta segunda lei, deduzimos que a força exercida no planeta é constantemente direcionada para o sol. Kepler escreveu a um colega: Uma coisa é certa: do Sol emana uma força que se apodera do planeta .
A equação de Kepler decorre diretamente da lei das áreas, que permite encontrar a área coberta em função da posição exata de um planeta.
Na verdade, a segunda lei de Kepler implica que o planeta acelera quando se aproxima do Sol e desacelera quando se afasta dele. A velocidade, portanto, não é constante, mas apenas a velocidade da área (o planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais). Portanto, o planeta não cruzou um ângulo de 90 °, mas varreu uma área de .
A equação é da forma . Com M a área coberta (conhecida como anomalia média), e a excentricidade e E o ângulo no centro da elipse.
Como a equação de Kepler é não linear (in ), o problema inverso, que consiste em encontrar o ângulo do planeta em função da área (e portanto do tempo), não tem solução simples. Mas existe uma solução exata na forma de séries (somas infinitas), bem como aproximações E n obtidas pelo método de Newton . Começando, por exemplo, de E 0 = M, temos:
.A terceira lei de Kepler é chamada de “lei dos períodos” ou “lei harmônica”.
O quadrado do período sideral P de um planeta (tempo entre duas passagens sucessivas na frente de uma estrela ) é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior a da trajetória elíptica do planeta:
com constante k . As leis da gravitação universal enunciadas por Isaac Newton permitem determinar esta constante em função da constante gravitacional G , a massa do Sol M ⊙ e a massa do planeta m orbitando o Sol de acordo com
ou seja, com M >> m
Ao expressar as distâncias em unidades astronômicas e os períodos em anos, a lei é expressa de forma muito simples:
Desta terceira lei, também chamada de “lei harmônica de Kepler” (por expressar uma invariante em todo o sistema solar, “portanto” uma certa harmonia desta, sendo o movimento de todos os planetas unificado em uma lei universal), deduzimos que existe um fator constante entre a força exercida e a massa do planeta considerado, que é a constante gravitacional universal, ou constante gravitacional .
Essa fórmula, junto com as da elipse , permite calcular os vários parâmetros de uma trajetória elíptica a partir de muito poucas informações. Com efeito, Johann Lambert ( 1728 - 1777 ) mostrou que o conhecimento de três posições datadas tornava possível encontrar os parâmetros do movimento.
Isaac Newton entendeu a conexão entre as leis da mecânica clássica e a terceira lei de Kepler. Ele deduziu a seguinte fórmula:
, mais frequentemente na formaou :
No caso de um sistema estrela / planeta, a massa do planeta pode ser desprezada em comparação com a massa da estrela:
Demonstração
Começamos estabelecendo a lei das áreas:
Um exercício matemático clássico consiste em demonstrar que encontramos as três leis de Kepler para um corpo em movimento a partir do momento em que admitimos que esse corpo está sujeito a uma aceleração inversamente proporcional ao quadrado de sua distância a um ponto fixo, e direcionada para esse ponto. Falamos de aceleração em 1 / r². Para um mesmo corpo colocado em condições iniciais diferentes, aplica-se a terceira lei, com um coeficiente dependendo do problema.
Ao admitir que o Sol é infinitamente pesado em comparação com os planetas, e ao negligenciar suas interações entre eles, vemos que os planetas estão sujeitos às três leis.
Além disso, combinando o princípio fundamental da dinâmica (a segunda lei de Newton) e a lei universal da gravitação , descobrimos que a aceleração é independente da massa do corpo em movimento no caso de um movimento para o qual a força aplicável é a gravidade. Como resultado, a constante da terceira lei é a mesma para todos os planetas, mas também para outros corpos orbitando o Sol, se eles não estiverem sob a notável influência gravitacional de outro corpo.
As leis de Kepler podem ser aplicadas a qualquer outro corpo orbitando um objeto central preponderante; apenas a constante da terceira lei muda, dependendo da massa deste objeto central. É o caso, por exemplo, da Lua em relação à Terra , ou de um satélite artificial em sua órbita, e das múltiplas luas dos planetas do sistema solar.
As leis de Kepler podem ser aplicadas simplesmente no caso de um problema de dois corpos , sem a presença de um objeto central preponderante: neste caso (como aliás no caso geral), o ponto central referido às duas primeiras leis não é o centro do corpo mais maciço, mas o centro de massa (ou baricentro) de objetos em interação.
Como dissemos acima, as leis de Kepler não se limitam à gravidade. Eles se aplicam a qualquer aceleração orbital manifestada em 1 / r². No entanto, este também é o caso da lei de Coulomb em eletrostática .
O exemplo das leis de Kepler também pode ser mencionado em alguns modelos de elétrons orbitando um núcleo atômico. O modelo Bohr-Sommerfeld também prevê órbitas elípticas para os elétrons. Por outro lado, não temos mais independência da massa do corpo em movimento. A constante na terceira lei depende das constantes de força e de massa (independente de um elétron para outro).
No entanto, a física quântica hoje considera que essa noção de elétrons em uma órbita elíptica em torno de núcleos atômicos é apenas uma aproximação, que já foi útil para pesquisadores.
Johannes Kepler descobre suas leis graças a um considerável trabalho de análise das observações astronômicas estabelecidas por Tycho Brahe, que são muito mais precisas do que as já conhecidas, ele se apóia em particular nas posições de Marte , cujo movimento ele estuda desde 1600. que o sol é, de uma forma ou de outra, o "verdadeiro" centro do sistema solar (para planetas externos como Marte, Copérnico usa um ponto fictício perto do sol como o centro de um círculo no qual gira em velocidade uniforme o centro de um pequeno epiciclo carregando o planeta). Guiado por essa convicção e após longas andanças, ele acabou descobrindo que o movimento dos planetas é elíptico , com o sol colocado em um ponto focal da elipse. Seus resultados e a maneira como chegou a eles estão registrados em sua obra principal, Astronomia nova , publicada em 1609, mas na verdade concluída no final de 1605.
Suas próprias leis tornaram possível refinar a pesquisa astronômica e evidenciar irregularidades nos movimentos corporais conhecidos, por meio de uma progressão surpreendente da análise.
O exemplo mais espetacular foi o das irregularidades de Urano que permitiram a descoberta de Netuno por Le Verrier ( 1811 - 1877 ), por cálculo: descoberta confirmada pela observação de Galle ( 1812 - 1910 ) em 1846 .
Além disso, ele foi capaz de determinar que a estrela que apareceu acima da manjedoura no dia da Natividade era o planeta Vênus , particularmente visível naquela noite. A descoberta de Kepler, portanto, torna possível datar este evento para a noite de 24 para 25 de dezembro do ano -8.