Superadditividade

Em matemática , uma sequência é dita superaditiva se, para todos m e n , ela satisfaz a desigualdade

{\ displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}}

A principal vantagem dos conjuntos de superaditivos é que eles obedecem ao lema de Michael Fekete .

Lema de Fekete - Para qualquer sequência superaditiva { a n }, n ≥ 1, o limite de a n / n existe e é igual ao limite superior de a n / n . (Observe que esse limite pode ser infinito, por exemplo, para a sequência a n = log n !.)

Da mesma forma, uma função f é considerada superaditiva se tivermos

{\ displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}

para todos os x e y no domínio de f .

Por exemplo, é uma função superaditiva para números reais positivos: o quadrado de $($ $x + y$ $)$ é sempre maior ou igual ao quadrado de $x$ mais o quadrado de $y$ . $f (x) = x ^ 2$

Um lema semelhante ao de Fekete existe para funções. Existem também extensões do último em casos menos fortes, por exemplo, se a propriedade de superaditividade não for verificada em todo o domínio da função. Outros resultados nos permitem deduzir a velocidade de convergência desse limite se tivermos ambas as formas de super e subaditividade. Uma boa apresentação deste tópico pode ser encontrada em Steele (1997).

Se f é uma função superaditiva, e se 0 está em seu domínio, então f (0) ≤ 0. Temos de fato

{\ displaystyle \ forall x, \ f (x) = f (x + 0) \ geq f (0) + f (x).}

O inverso da superaditividade de uma função é a subaditividade .

Exemplos de funções superaditivas

O determinante é super aditiva para matrizes hermitianas não negativos, ou seja, se são matrizes hermitianas positivos, temos: . ${\ displaystyle A, B \ in M_ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B)}$

É uma consequência do teorema do determinante de Minkowski, mostra de uma maneira geral que é superaditivo (ou seja, côncavo) para matrizes Hermitianas de tamanho n que temos ${\ displaystyle A \ mapsto \ det (A) ^ {1 / n}}$

{\ displaystyle \ det (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ det (A) ^ {1 / n} + \ det (B) ^ {1 / n}}

para matrizes não negativas.

Horst Alzer provou que a função gama de Hadamard é superaditiva para todos os números reais x , y com x , y ≥ 1,5031.

Referências

M. Fekete , “ Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ”, Mathematische Zeitschrift , vol. 17, n o 1,1923, p. 228-249 ( DOI 10.1007 / BF01504345 )
(in) Michael J. Steele, teoria da probabilidade e otimização combinatória , Filadélfia, SIAM, Filadélfia,1997, 159 p. ( ISBN 0-89871-380-3 )
Palestras CBMS sobre Teoria da Probabilidade e Otimização Combinatória (2011) Universidade de Cambridge.
(in) Marcus e H. Minc, "Teorema 4.1.8" , em Uma pesquisa na teoria da matriz e desigualdades da matriz , vol. 14, Courier Corporation, col. "Dover",1992( apresentação online ) , p. 115.
Horst Alzer, uma propriedade superaditiva da função gama de Hadamard , Springer,2009( DOI 10.1007 / s12188-008-0009-5 )