Cone (geometria)

Em geometria , um cone é uma superfície pautada ou um sólido .

Área

Caso Geral

Um cone é uma superfície regida definida por uma linha reta ( d ), denominada geratriz , passando por um ponto fixo S denominado vértice e um ponto variável que descreve uma curva ( c ), denominada curva direcionadora .

Também falamos neste caso de superfície cônica .

Cone da revolução

Dentre essas superfícies cônicas, a mais estudada é o cone de revolução em que a curva direcional é um círculo com centro O localizado em um plano perpendicular a (SO). Este cone é denominado de revolução porque pode ser gerado simplesmente pela rotação de uma linha (d) passando por S em torno de um eixo (Sz) diferente de (d). O gerador do cone então faz um ângulo fixo com o eixo de rotação. α{\displaystyle \alpha }

É a partir desse cone de revolução que os matemáticos (incluindo Apolônio de Perga ) classificaram um conjunto de curvas como cônicas (intersecção do cone com um plano): círculos , elipses , parábolas , hipérboles .

No sistema de coordenadas ortonormal ( S , i , j , k ), a equação do cone de revolução com eixo ( Sz ) e vértice S é dada por:

x2+y2=z2(tan⁡ α)2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(\tan \ \alpha )^{2}}

onde está o ângulo do cone (ou meio ângulo no topo), formado pelo eixo de revolução e um gerador. α{\displaystyle \alpha }

Seções de um cone de revolução por um avião

Nos casos em que o plano é paralelo ou perpendicular ao eixo de revolução do cone, são obtidas as seguintes curvas:

• A seção de um cone de revolução por um plano perpendicular ao eixo de revolução é um círculo.
• A seção de um cone de revolução por um plano paralelo ao eixo de revolução é
  • a união de duas linhas secantes se o plano contém o eixo de revolução
  • uma hipérbole no caso oposto

Mais geralmente, a seção de um cone de revolução por um plano dá uma cônica . Então encontramos,

• uma parábola (possivelmente reduzida a um gerador) quando o plano é estritamente paralelo a um gerador do cone
• uma elipse (possivelmente reduzida a um ponto) quando o ângulo formado pelo vetor normal ao plano e o eixo de rotação é menor que π / 2 - α
• uma hipérbole (possivelmente reduzida a duas linhas secantes) quando o ângulo formado pelo vetor normal ao plano e o eixo de rotação é maior que π / 2 - α

Sólido

Caso Geral

Chama-se também cone o sólido delimitado pela superfície cônica, o vértice S e um plano ( P ) não contendo S e secante a todas as geratrizes. A seção do plano e a superfície são chamadas de base do cone.

Quando a seção é circular com centro O e a linha ( OS ) é perpendicular à seção, o cone é denominado cone de revolução ou cone circular direito . É o cone mais famoso ( casquinha de sorvete , chapéu de palhaço ). Nesse caso, a distância entre o vértice de qualquer ponto do círculo é constante e é chamada de apótema do cone.

Quando a curva fechada é um polígono , obtemos uma pirâmide .

Volume

Qualquer que seja a forma do cone, seu volume é sempre um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura:

V=13B×h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}B\times h}

onde B é a área da base eh é a altura do cone, ou seja, a distância entre o vértice S e o plano ( P ).

Demonstração

Vamos usar que as dimensões de uma seção plana paralela à base aumentam linearmente do vértice S em direção à base. A seção plana, a qualquer distância y de S , é a base escalonada por um fator de y / h , onde h é a distância entre S e a base. Uma vez que a área de qualquer forma é multiplicado pelo quadrado da forma escalonada, a área da secção plana a uma distância y de S é por 2 / H 2 .

O volume é dado pelo integral

Bh2∫0hy2dy=Bh2[y33]0h=Bh3.{\displaystyle {\frac {B}{h^{2}}}\int _{0}^{h}y^{2}{\rm {d}}y={\frac {B}{h^{2}}}\left[{\frac {y^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}={\frac {Bh}{3}}.}

Cone truncado

Quando cortamos o cone por um plano paralelo à sua base, obtemos dois sólidos. Aquele que contém o vértice é uma redução do cone original, o segundo sólido é um cone truncado. Seu volume é expresso em função de suas duas bases B 1 e B 2 e de sua altura h (distância que separa as duas bases) de acordo com a fórmula: V=h3×(B1+B1B2+B2){\displaystyle V={\frac {h}{3}}\times (B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})}

Caso do cone de revolução

No caso particular do cone de revolução, as fórmulas para o volume V e a área A (área da superfície que envolve o cone: área lateral + base circular) são

V=13πr2×h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\times h} A=πr(r+a){\displaystyle A=\pi r(r+a)\,},

onde r é o raio do círculo de base, h é a altura do cone e

a=r2+h2{\displaystyle a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

o apótema do cone.

Área lateral

A área lateral Um l (sem base) está

Al=πrr2+h2=πr21+h2r2{\displaystyle A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi r^{2}{\sqrt {1+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}}}}

agora, de acordo com as relações trigonométricas no triângulo retângulo, temos

1+h2r2=1sin2⁡α{\displaystyle 1+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}}

onde α é o meio-ângulo do vértice. Se A 0 é a área da base π⋅ r  2 , então temos

Al=A0sin⁡α{\displaystyle A_{l}={\frac {A_{0}}{\sin \alpha }}}

Esta fórmula é usada por exemplo para calcular a área da frente da chama no caso de uma chama cônica, portanto o consumo de gás e a potência desta chama.

Seção do cone de revolução por um plano

Quando cortamos um sólido, cone de revolução, por um plano paralelo à base, obtemos um círculo. O raio r 1 deste círculo é obtido em função do raio r da base, da altura h do cone e da distância h 1 entre o plano e o ápice do cone usando o teorema de Thales  :

rh=r1h1{\displaystyle {\frac {r}{h}}={\frac {r_{1}}{h_{1}}}}

Quando cortamos este mesmo cone por um plano contendo seu eixo de revolução, obtemos um triângulo isósceles com base 2r e altura h .

Padrão ou desenvolvimento de um cone de revolução

Para obter o padrão de um cone de revolução com um raio de r e a altura h , é preciso primeiro calcular o apótema

a=r2+h2{\displaystyle a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}.

É então suficiente desenhar um círculo de raio re uma parte de um círculo de raio a cujo ângulo central é igual ao ângulo total. ra{\displaystyle {\frac {r}{a}}}

Veja também

Artigos relacionados

• Projeção central
• Steradian

Na natureza

• Conodonta , uma classe de fóssil de peixe agnath, cuja etimologia significa "dente" em forma de cone.

Link externo

A. Javary, Tratado sobre geometria descritiva , 1881 (em Gallica ): Cones e cilindros, esfera e superfícies de segundo grau

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