Série lambert

Em matemática , uma série Lambert , nomeada em homenagem ao matemático Jean-Henri Lambert , é uma série geradora que assume a forma

S(q)=∑não=1∞nonãoqnão1-qnão{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}.

Pode ser retomado formalmente expandindo o denominador:

S(q)=∑não=1∞nonão∑k=1∞qnãok=∑m=1∞bmqm{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {nk} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} q ^ {m}}

onde os coeficientes da nova série são dados pela convolução de Dirichlet de ( a n ) com a função constante 1 ( n ) = 1  :

bm=(no∗1)(m)=∑não∣mnonão{\ displaystyle b_ {m} = (a * {\ mathbf {1}}) (m) = \ sum _ {n \ mid m} a_ {n}}.

Exemplos

A série de Lambert de certas funções multiplicativas é facilmente calculada; por exemplo :

• a série de Lambert da função de Möbius μ é a série geradora comum de μ ✻ 1 = δ 1  : ∑não=1∞µ(não)qnão1-qnão=q{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q} ;
• aquele de 1 é a série ordinária da função 1 ✻ 1 = σ 0 = d ( número de divisores ): ∑não=1∞qnão1-qnão=∑não=1∞qnãoσ0(não){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {0} (n)} ;
• mais geralmente, o da função de potência Id a ( n ) = n a (onde a é um número complexo ) é a série ordinária da função Id a ✻ 1 = σ a ( soma das a - ésimas potências dos divisores ) : ∑não=1∞nãonoqnão1-qnão=∑não=1∞qnãoσno(não){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {a} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {a} (n)} ;
• Da mesma forma, a da função totient Jordan é a série usual de função de potência: . Em particular, ∑não=1∞Jk(não)qnão1-qnão=∑m=1∞mkqm{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {J_ {k} (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} m ^ {k} q ^ {m}}a série Lambert da indicatriz de Euler φ = J 1 é:∑não=1∞φ(não)qnão1-qnão=∑m=1∞mqm=q(1-q)2{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} mq ^ {m} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}}

As séries de Lambert nas quais a n são funções trigonométricas , por exemplo, tem n = sin (2 nx ), podem ser avaliadas usando várias combinações de derivadas logarítmicas de funções teta de Jacobi.

Veja também

Artigos relacionados

• Erdős-Borwein constante
• Série de Lambert para a função de Liouville
• Série Fourier da série Eisenstein
• Função zeta de Riemann e seus valores em pontos inteiros
• Um uso da série de Lambert para provar um teorema de Jacobi

Bibliografia

(la) Leonhard Euler , “  Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae  ” , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae , vol.  3,1753, p.  86-108 ( ler online )

Crédito do autor

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Lambert series  " ( veja a lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">