Tabela de primitivas
O cálculo de uma primitiva de uma função é uma das duas operações básicas da análise e, uma vez que essa operação é delicada de realizar, ao contrário da derivação , as tabelas de primitivas conhecidas são frequentemente úteis.
Sabemos que uma função contínua em um intervalo admite uma infinidade de primitivas e que essas primitivas diferem por uma constante; denotamos por C uma constante arbitrária que só pode ser determinada se conhecermos o valor da primitiva em um ponto.
∫f(x)dx{\ displaystyle \ int f (x) \, \ mathrm {d} x}- chamada integral indefinida de f - designa o conjunto de todas as primitivas de uma função f até uma constante aditiva.
Regras gerais de integração
- Linearidade:
∫(nof(x)+bg(x))dx=no∫f(x)dx+b∫g(x)dx{\ displaystyle \ int \ left ({\ color {Blue} a} \, {\ color {Blue} f (x)} + {\ color {blue} b} \, {\ color {blue} g (x) } \ right) \ mathrm {d} x = {\ color {Azul} a} \ int {\ color {Azul} f (x)} \, \ mathrm {d} x + {\ color {Azul} b} \ int {\ color {Blue} g (x)} \, \ mathrm {d} x}
-
Relação Chasles : e em particular:
∫novsf(x)dx=∫nobf(x)dx+∫bvsf(x)dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {\ color {blue} b} f (x) \, \ mathrm { d} x + \ int _ {\ color {blue} b} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x}
∫nobf(x)dx=-∫bnof(x)dx{\ displaystyle \ int _ {\ color {blue} a} ^ {\ color {blue} b} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ color {blue} -} \ int _ {\ color {blue} b} ^ {\ color {blue} a} f (x) \, \ mathrm {d} x}
-
integração por partes : mnemônico significa :
∫f(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f′(x)g(x)dx{\ displaystyle \ int {\ color {Blue} f (x)} \, {\ color {blue} g '(x)} \, \ mathrm {d} x = [{\ color {Blue} f (x) } \, {\ color {Azul} g (x)}] - \ int {\ color {Azul} f '(x)} \, {\ color {azul} g (x)} \, \ mathrm {d} x}
∫vocêv′=[vocêv] -∫você′v{\ displaystyle \ int {\ color {Azul} u} {\ color {blue} v '} = [{\ color {Blue} u} {\ color {Blue} v}] \ - \ int {\ color {Blue } u '} {\ color {blue} v}}
com e d x implícito.
você=f(x), você′=f′(x), v=g(x), v′=g′(x){\ displaystyle u = f (x), ~ u '= f' (x), ~ v = g (x), ~ v '= g' (x)}
-
integração por substituição (se f e φ ' forem contínuos) .
∫nobf(φ(t))φ′(t)dt=∫φ(no)φ(b)f(x)dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ({\ color {Azul} \ varphi (t)}) \, {\ color {Azul} \ varphi '(t)} \, \ mathrm {d} {\ color {Blue} t} = \ int _ {\ color {blue} \ varphi (a)} ^ {\ color {blue} \ varphi (b)} f ({\ color {Blue} x}) \, \ mathrm {d} {\ color {Azul} x}}
Primitivas de funções simples
∫dx=x+VS∀x∈R{\ displaystyle \ int \, \ mathrm {d} x = x + C \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}}
∫xnãodx=xnão+1não+1+VS E se não≠-1{\ displaystyle \ int x ^ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + C \ qquad {\ text {si}} n \ neq -1}
∫1xdx=em|x|+VS E se x≠0{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln \ left | x \ right | + C \ qquad {\ text {si}} x \ neq 0}
∫1x-nodx=em|x-no|+VS E se x≠no{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {xa}} \, \ mathrm {d} x = \ ln | xa | + C \ qquad {\ text {si}} x \ neq a}
∫1(x-no)nãodx=-1(não-1)(x-no)não-1+VS E se não≠1 e x≠no{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(xa) ^ {n}}} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {1} {(n-1) (xa) ^ {n- 1}}} + C \ qquad {\ text {si}} n \ neq 1 {\ text {e}} x \ neq a}
∫11+x2dx=Arctanx+VS∀x∈R{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ operatorname {arctan} x + C \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R} }
∫1no2+x2dx=1noArctanxno+VS E se no≠0{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {a}} \ operatorname {arctan} { \ frac {x} {a}} + C \ qquad {\ text {si}} a \ neq 0}
∫11-x2dx=12em|x+1x-1|+VS={Artanhx+VS certo ]-1,1[Arcothx+VS certo ]-∞,-1[ e em ]1,+∞[.{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ left | {\ frac { x + 1} {x-1}} \ right |} + C = {\ begin {cases} \ operatorname {artanh} x + C & {\ text {on}}] - 1,1 [\\\ operatorname { arcoth} x + C & {\ text {on}}] - \ infty, -1 [{\ text {and on}}] 1, + \ infty [. \ end {cases}}}
∀x∈R+∗{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}
∫emxdx=xemx-x+VS{\ displaystyle \ int \ ln x \, \ mathrm {d} x = x \ ln x-x + C}
Mais geralmente, um enésimo primitivo de é:
em{\ displaystyle \ ln}
xnãonão!(emx-∑k=1não1k){\ displaystyle {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ left (\ ln x- \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right) }.
∀x∈R{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}
∫enoxdx=1noenox+VS{\ displaystyle \ int e ^ {ax} \, dx = {\ frac {1} {a}} e ^ {ax} + C}
∫f′(x)ef(x)dx=ef(x)+VS{\ displaystyle \ int f '(x) e ^ {f (x)} \, dx = e ^ {f (x)} + C}
∫noxdx=noxemno+VS E se no>0{\ displaystyle \ int a ^ {x} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a ^ {x}} {\ ln a}} + C \ qquad {\ text {si}} a> 0} e
a ≠ 1 porque
ln (1) = 0 .
∀x∈R∖{-1,1}{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {- 1,1 \}}
∫11-x2dx=arcsinx+VS{\ displaystyle \ int {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ operatorname {arcsin} x + C}
∫-11-x2dx=arccosx+VS{\ displaystyle \ int {-1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ operatorname {arccos} x + C}
∫xx2-1dx=x2-1+VS{\ displaystyle \ int {x \ over {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {x ^ {2} -1}} + C}
Primitivas de funções trigonométricas
Primitivas de funções hiperbólicas
Primitivas de funções circulares recíprocas
Primitivas de funções hiperbólicas recíprocas
Veja também
Bibliografia
Artigos relacionados
Link externo
Calculadora primitiva automática do Mathematica
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