Tensor de Einstein

Na geometria diferencial , o tensor de Einstein , assim chamado em homenagem a Albert Einstein , é usado para expressar a curvatura de uma variedade pseudo-Riemanniana . Na relatividade geral , aparece na equação de campo de Einstein para descrever como o campo gravitacional é afetado pela presença de matéria.

História

O homônimo do tensor de Einstein é o físico Albert Einstein (1879-1955) que o construiu durante o desenvolvimento da relatividade geral . O historiador da ciência holandês Jeroen van Dongen apresenta o tensor como a resposta de Einstein à pergunta:

"Qual é a expressão apropriada de $?" μν$ - formado a partir da métrica e seus derivados, primeiro e segundo - que entra em uma equação de campo de formulário:

? μν = κT μν

com, no lado direito, o tensor de energia-momento $T μν$ da matéria como o termo fonte? "

Como o tensor de Einstein é um tensor de curvatura, ele também é conhecido como tensor de curvatura de Einstein ; e, tendo Einstein construído com o tensor de Ricci (curvatura) , é também conhecido como tensor de Ricci-Einstein (curvatura) .

Notações

Após tensor de Einstein é geralmente denotado $G$ . Mas, como não há notação padronizada, as notações $D$ , $E$ ou $S$ podem se encontrar.

Fórmula do tensor de Einstein bidimensional

O tensor de Einstein é um tensor de ordem 2, o que significa esquematicamente que podemos representá-lo na forma de uma matriz , que possui 4 linhas e 4 colunas, bem como as coordenadas do espaço-tempo em que vivemos. É deduzido do tensor de Ricci pela fórmula

G _ {{\ mu \ nu}} = R _ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {{\ mu \ nu}}

$G _ {{\ mu \ nu}}$ sendo o tensor de Einstein , o tensor de Ricci, a métrica Riemanniana do espaço-tempo e R a curvatura escalar , ou seja, o traço do tensor de Ricci. Em duas dimensões, está escrito: $R _ {{\ mu \ nu}}$ $g _ {{\ mu \ nu}}$

\ left.G _ {{xx}} = R _ {{xx}} - {\ frac 12} g _ {{xx}} R \ right.

\ left.G _ {{yy}} = R _ {{yy}} - {\ frac 12} g _ {{yy}} R \ right.

Essas duas expressões são iguais e até zero porque temos:

\ left.R _ {{xx}} = g ^ {{xx}} R _ {{xxxx}} + g ^ {{yy}} R _ {{xyxy}} = g ^ {{yy}} R _ {{xyxy}} = 0 + {\ frac {1} {g _ {{yy}}}} R _ {{xyxy}} \ right.

R = g ^ {{mn}} R _ {{mn}} = g ^ {{xx}} R _ {{xx}} + g ^ {{yy}} R _ {{yy}} = {\ frac {1} {g _ {{xx}}}} R _ {{xx}} + {\ frac {1} {g _ {{yy}}}} R _ {{yy}} = {\ frac {2 } {g _ {{xx}} g _ {{yy}}}} R _ {{xyxy}}

G _ {{xx}} = {\ frac {1} {g _ {{yy}}}} R _ {{xyxy}} - {\ frac 12} g _ {{xx}} {\ frac {2} {g _ {{xx}} g _ {{yy}}}} R _ {{xyxy}} = 0

Teríamos o mesmo . O tensor de Einstein de uma superfície é identicamente zero, ao contrário do tensor de Riemann, que é verificado na esfera. $G _ {{yy}} = 0$

Propriedade fundamental

O tensor de Ricci é deduzido de outro tensor, o tensor de Riemann . Isso obedece a uma série de propriedades, uma das quais é chamada de identidade Bianchi . Isso, transposto para a definição do tensor de Einstein, implica que ele tem divergência zero:

D _ {\ mu} G ^ {{\ mu \ nu}} = 0

onde D é a derivada covariante , uma espécie de generalização do conceito usual de derivada no caso em que o espaço-tempo é curvado pela presença de matéria, e onde os chamados componentes covariantes são deduzidos daqueles chamados contravariantes pela fórmula $G ^ {{\ mu \ nu}}$ $G _ {{\ mu \ nu}}$ $G ^ {{\ mu \ nu}} = g ^ {{\ mu \ alpha}} g ^ {{\ nu \ beta}} G _ {{\ alpha \ beta}}$

Importância na relatividade geral

O tensor de Einstein é o único tensor de ordem dois envolvendo a métrica e suas derivadas até ordem dois que é de divergência zero. É, portanto, o candidato ideal para fazer parte das equações de Einstein , que relacionam a geometria do espaço-tempo (na verdade, o tensor de Einstein) à distribuição da matéria, descrita pelo tensor de energia-momento . $T _ {{\ mu \ nu}}$

Na ausência de uma constante cosmológica , o tensor de Einstein é proporcional ao tensor de energia-momento:

{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} \ propto T _ {\ mu \ nu}}

e a equação de Einstein é escrita da seguinte forma:

{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

a constante de proporcionalidade κ , chamada de constante de Einstein , é ajustada para que as equações de Einstein se tornem equivalentes às leis da gravitação universal conectando o potencial gravitacional Φ à densidade µ no mesmo ponto de acordo com a chamada lei de Poisson , sendo G a constante de Newton e o Laplaciano . $\ Delta \ Phi = 4 \ pi G \ mu$ $\Delta$

Em outras palavras, a parte esquerda da fórmula descreve a curvatura (geometria) do espaço-tempo, a parte direita descreve o conteúdo do espaço-tempo.

Notas e referências

Notas

Em inglês: tensor de Einstein .
Em inglês: tensor de curvatura de Einstein .
Em inglês: tensor de Ricci-Einstein (curvatura) .
Com $c = 1$ : $L μν = κT μν = 8π GT μν$ .

Referências

Barrau and Grain 2016 , cap. 5 , seção 5.3 , pág. 84
Heyvaerts 2012 , cap. 8 , seita. 8.7 , § 8.7.3 , p. 175
Lachièze-Rey 2013 , cap. 3 , seita. 3.1 , § 3.1.1 , p. 51
Müller-Kirsten 2008 , cap. 15 , § 15.1 , p. 471.
Dongen 2010 , cap. 1 r , sect. 1.1 , § 1.1.2 , p. 12
Barrau e Grain 2016 , cap. 5 , seção 5.3 , pág. 83
Dongen 2010 , cap. 1 r , sect. 1.1 , § 1.1.2 , p. 11
Collion 2019 , cap. 4 , § 4.5 , p. 104
Petitot 1997 , p. 378.
Leite Lopes 1986 , cap. 7 , § 7.2 , p. 89 e 91-92.
Cohen-Tannoudji 2009 , seita. 4 , § 4.2 .
Einstein 1915 , p. 844 (eq. 1) e p. 845 (eq. 2 e 2a).
Zee 2013 , liv. 2, parte. VI , cap. VI .5 , § [1] , p. 388 (2).
Choquet-Bruhat 2014 , parte. A , cap. I st , seita. I .9 , § I .9.1 , p. 21 ( I .9,5).
Choquet-Bruhat 2014 , parte. A , cap. IV , seita. IV .2 , § IV .2.1 , p. 62
Damour 2012 , cap. 3 , n. 20 .
Kenyon, IR, Relatividade geral, Oxford University Press, 1990
Grøn e Hervik 2007 , cap. 8 , § 8.1 , p. 180 (8,2).

Veja também

Bibliografia

[Barrau e Grain 2016] A. Barrau e J. Grain , Relatividade Geral: cursos e exercícios corrigidos , Malakoff, Dunod , col. "Sciences Sup. / Física ",agosto de 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. agosto de 2011), 1 vol. , VIII -231 p. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , aviso BnF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Choquet-Bruhat 2014] (en) Y. Choquet-Bruhat ( pref. De Th. Damour ), Introdução à relatividade geral, buracos negros e cosmologia [“Introdução à relatividade geral, buracos negros e cosmologia”], Oxford, OUP , fora do coll. ,Novembro de 2014, 1 r ed. , 1 vol. , XX -279 pág. , 25 cm ( ISBN 978-0-19-966645-4 e 978-0-19-966646-1 , EAN 9780199666454 , OCLC 907120831 , aviso BNF n O FRBNF44283477 , SUDOC 184906695 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Cohen-Tannoudji 2009] (en) G. Cohen-Tannoudji , " Constantes universais, modelos padrão e metrologia fundamental " [" Constantes universais, modelos padrão e metrologia fundamental "], Eur. Phys. J. Spec. Principal. , vol. 172, n o 1: " Metrologia quântica e constantes fundamentais " ,Junho de 2009, art. n o 1, p. 5-24 ( DOI 10.1140 / epjst / e2009-01038-2 , Bibcode 2009EPJST.172 .... 5C , arXiv 0905.0975 ).
[Collion 2019] S. Collion , Voyage in the mathematics of space-time: buracos negros, big-bang, singularities , Les Ulis, EDP Sciences , coll. "An introduction to ..." ( n o 10),Janeiro de 2019, 1 r ed. , 1 vol. , VIII -200 p. , doente. , 24 cm ( ISBN 978-2-7598-2279-9 , EAN 9782759822799 , OCLC 1085244403 , aviso BnF n o FRBNF45568170 , SUDOC 233873899 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Damour 2012] Th. Damour , Se Einstein me foi dito: da relatividade à teoria das cordas , Paris, Le Cherche midi , coll. "Documentos",Abril de 2005( repr. Abril de 2012, Update), 1 st ed. , 1 vol. , 236 p. , doente. e portr. 24 cm ( ISBN 978-2-7491-0390-7 , EAN 9782749103907 , OCLC 300277328 , aviso BnF n o FRBNF39954359 , bibcode 2012semc.book ..... D , SUDOC 087368374 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Dongen 2010] (en) J. van Dongen , unificação de Einstein [“ unificação de Einstein ”], Cambridge, CUP , hors coll. ,junho de 2010( repr. Outubro de 2018), 1 st ed. , 1 vol. , X -213 pág. , doente. , 26 cm ( ISBN 978-0-521-88346-7 e 978-1-108-70303-1 , EAN 9780521883467 , OCLC 758848172 , aviso BNF n O FRBNF42209528 , DOI 10,1017 / CBO9780511781377 , SUDOC 152524703 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Einstein 2015] (de) Albert Einstein , " Die Feldgleichungen der Gravitation " ["As equações do campo de gravitação"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ,2 de dezembro de 1915, reunião de 25 de novembro de 1915, p. 844-847 ( Bibcode 1915SPAW ....... 844E , ler online [PDF] , acessado em 21 de janeiro de 2018 ).
[Grøn e Hervik 2007] (en) Ø. Grøn e S. Hervik , teoria geral da relatividade de Einstein : com aplicações modernas em cosmologia [" teoria geral da relatividade de Einstein : com aplicações modernas em cosmologia"], New York, Springer , hors coll. ,2007, 1 r ed. , 1 vol. , XX -538 pág. , doente. , 24 cm ( ISBN 978-0-387-69199-2 e 978-0-387-69200-5 , EAN 9780387691992 , OCLC 77540741 , DOI 10.1007 / 978-0-387-69200-5 , Bibcode 2007egtr.book .. ... G , SUDOC 124591477 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Halpern 2016] P. Halpern ( traduzido do inglês americano por B. Clenet , pref. De M. Lachièze-Rey ), os dados de Einstein e o gato de Schrödinger: quando dois gênios se chocam [" Os dados de Einstein e o gato de Schrödinger "], Paris , Dunod , hors coll. ,Abril de 2016( reimprimir col. "Ekho",Maio de 2019), 1 st ed. , 1 vol. , 319 p. , doente. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-074420-6 , EAN 9782100744206 , OCLC 949925628 , aviso BNF n O FRBNF45050056 , SUDOC 93188090 , apresentação on-line , ler on-line ) , p. 79-81.
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofísica: estrelas, universo e relatividade: cursos e exercícios corrigidos , Malakoff, Dunod , col. "Sciences Sup. / Física ",Agosto de 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Setembro de 2006), 1 vol. , X -384 p. , doente. , fig. e gráfico. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , aviso BnF n o b42740481q , SUDOC 163817030 , apresentação on-line , ler on-line ).
[Lachaume 2013] Xavier Lachaume (orientado por Emmanuel Humbert e Loïc Villain), Relatividade geral, sempre mais geral: introdução ao campo da pesquisa , Tours, Laboratório de matemática e física teórica ,outubro 2013, 11 p. , 21 × 29,7 cm ( leia online [PDF] ) , cap. 3 (“Da formulação Lagrangiana à teoria de Lovelock”), § 3.2 (“Teoremas de Lovelock”), p. 9-11.
[Lachièze-Rey 2013] M. Lachièze-Rey (com a colaboração de J. Ribassin ), Iniciação à la cosmologie , Paris, Dunod , col. "Sciences Sup. / Física ",Maio de 2013, 5 th ed. ( 1 st ed. Setembro de 1992), 1 vol. , VII -152 p. , doente. e fig. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-059239-5 , EAN 9782100592395 , OCLC 858206589 , aviso BnF n o FRBNF43619769 , SUDOC 169390608 , apresentação on-line , ler on-line )
[Leite Lopes 1986] J. Leite Lopes (com a colaboração de R. Blind ), Noções de relatividade geral , Rio de Janeiro, CNPq - CBPF , col. " Monografia " ( n o CBPF-MO-003/86),1986, 1 r ed. , 1 vol. , 205 p. , doente. , 30 cm ( OCLC 22516720 , ler online ).
[MacCallum 2015] (en) Malcolm AH MacCallum , "Einstein's field equations" , em Nicholas J. Higham (eds e pref.), Mark R. Dennis, Paul Glendinning, Paul A. Martin, Fadil Santosa e Jared Tanner (eds. Associates ), The Princeton companheiro para a matemática aplicada , Princeton e Oxford, Princeton University Press , coll. "Companheiros de Princeton",setembro de 2015, 1 r ed. , 1 vol. , XVII -994 p. , 27 cm ( ISBN 978-0-691-15039-0 , EAN 9780691150390 , OCLC 923003755 , SUDOC 190115718 , apresentação on-line , ler on-line ) , parte. III (“ Equações, leis e funções da matemática aplicada ”, art. III .10, p. 144-146.
[Misner, Thorne and Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne e JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 r ed. , 1 vol. , XXVI -1279- [1] p. , doente. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 e 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , aviso BNF n O FRBNF37391055 , bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , lido online ).
[Müller-Kirsten 2008] (en) HJW Müller-Kirsten , Mecânica clássica e relatividade , Cingapura, Hackensack e Londres, World Scientific , fora do coll. ,Agosto de 2008, 1 r ed. , 1 vol. , XII -562 pág. , 26 cm ( ISBN 978-981-283251-1 e 978-981-283252-8 , EAN 9789812832528 , OCLC 494451673 , DOI 10,1142 / 6927 , bibcode 2008cmr..book ..... M , SUDOC 131566342 , apresentação on-line , ler online ).
[Petitot 1997] J. Petitot , “ Filosofia transcendente e objetividade física ”, Philosophiques , vol. 24, n o 2outono de 1997, 3 th parte. , art. n o 3, p. 367-388 ( DOI 10.7202 / 027459ar , resumo , ler online ).
[Zee 2013] (em) A. Zee , Einstein gravidade em poucas palavras ["Gravitation Einstein, em suma"], Princeton, Princet. Univ. Pressione , col. " Em poucas palavras ",Abril de 2013, 1 r ed. , 1 vol. , XXII -866 pág. , doente. e fig. , 26 cm ( ISBN 978-0-691-14558-7 , EAN 9780691145587 , OCLC 857978606 , SUDOC 170984478 , apresentação on-line , ler on-line ).

links externos

(in) tensor de Einstein (tensor Einstein) no Dicionário Etimológico de Astronomia e Astrofísica do Observatório de Paris .