O teorema da impossibilidade de Arrow , também denominado "paradoxo de Arrow" (em homenagem ao economista norte-americano Kenneth Arrow ) é uma confirmação matemática, sob condições específicas, do paradoxo levantado e descrito em 1785 por Nicolas de Condorcet . Suponha que cada eleitor só possa expressar sua opinião de forma qualitativa, indicando como classifica as opções consideradas em relação umas às outras. Entre duas opções, o eleitor indica qual prefere ou se é indiferente entre as duas, por outro lado não consegue expressar a intensidade da sua preferência. Nesse contexto, não há um processo indiscutível de escolha social, o que permite expressar uma hierarquia coerente de preferências por uma comunidade a partir da agregação das preferências individuais expressas por cada membro dessa mesma comunidade. Para Condorcet , não existe um sistema simples que garanta essa consistência. Arrow tenta demonstrar, sujeito à aceitação de seus pressupostos, que não existe nenhum sistema que garanta consistência, exceto aquele em que o processo de escolha social coincide com o de um único indivíduo, às vezes apelidado de ditador , independente do resto da população.
Nicolas de Condorcet enunciou em 1785 em seu livro Ensaio sobre a aplicação da análise à probabilidade de decisões prestadas à pluralidade de votos o paradoxo de Condorcet , ou seja, a ideia segundo a qual surge a definição de uma posição comum a vários eleitores. contra dificuldades lógicas, em particular o não respeito da regra da transitividade .
Este teorema é devido a Kenneth Arrow , vencedor em 1972 do prêmio do Banco da Suécia em Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel comumente chamado de Prêmio Nobel de Economia , que expôs em sua tese e publicou em 1951 em seu livro Escolha social e valores individuais ( escolha social e valores individuais ).
Se um indivíduo com preferências classifica uma opção A à frente de uma opção B, a presença de uma terceira opção C, todas as outras coisas sendo iguais, não deve, em princípio, inverter essa preferência. Diz-se que isso manifesta a consistência de sua escolha.
FormalizaçãoPara os matemáticos, o que os economistas chamam de "preferências" corresponde a uma pré-encomenda total . Em particular, pode ser uma ordem total (fala-se então de “preferências estritas”).
Da mesma forma, as "preferências" de um indivíduo correspondem à ordem que um indivíduo estabelece entre as opções disponíveis para ele. Essas preferências são consideradas rígidas quando o indivíduo nunca classifica duas opções empatadas. Para que a descrição desta noção seja completa, assume-se que a ordem que um indivíduo estabelece entre as várias opções existentes não é modificada pela adição de opções adicionais.
Um perfil de preferência é o nome dado a um "grupo" de preferências individuais. Chamamos preferências sociais de preferências que são válidas no nível social.
É uma questão de agregar um conjunto de preferências individuais em uma preferência coletiva, em outras palavras, um conjunto de ordens individuais em uma ordem social . Por definição, a ordem agregada deve, portanto, depender apenas das preferências individuais, no sentido dado acima a esta palavra: a intensidade das preferências individuais não deve intervir, nem a natureza dos objetos classificados, nem qualquer critério externo.
Alguns exemplos :
Chamamos a função de escolha social a operação de passagem das preferências individuais para uma preferência coletiva.
O teorema de Arrow é conhecido da seguinte forma.
Para pelo menos três opções de escolha e dois indivíduos, não há função de escolha social que satisfaça as seguintes propriedades:
Em outra versão do teorema, a unanimidade pode ser substituída pelas seguintes duas hipóteses:
Em todos os casos, há ordenação dos candidatos e não pontuação deles, o que será uma das causas da instabilidade, um candidato amplamente preferido àquele que o segue por um eleitor que não se destaca na sua ordenação de um candidato que ele prefere ligeiramente aquele que o segue.
A prova é muito técnica e se baseia em vários lemas que se deduzem de casos particulares. Na maioria das vezes, assumimos a existência de um procedimento de escolha social verificando as condições de universalidade, unanimidade e indiferença às opções irrelevantes, e mostramos que esse procedimento coincide com as escolhas de um determinado indivíduo.
Mais precisamente, seja X a população inteira. Uma parte F desta população é dita decisiva, se a função de escolha social der como resultado a lista de preferências dos indivíduos da parte F, quando estes possuem as mesmas preferências individuais. Mostramos então que o conjunto dessas partes decisivas F forma um ultrafiltro em X. Quando X é finito, o ultrafiltro é trivial, o que significa que existe entre os elementos do ultrafiltro uma parte decisiva formada por um único indivíduo x , e que qualquer parte F é decisiva se e somente se essa parte contém esse x individual . Finalmente, mostramos que a função de escolha social coincide com as escolhas de x .
Este teorema não é um resultado positivo: não permite ilustração sistemática, mas observa que para escolhas não binárias, sempre haverá situações problemáticas. Assim, uma função de escolha social que exibe as propriedades elementares declaradas acima frequentemente será sensível a opções irrelevantes. Observe, no entanto, que nossas próprias escolhas às vezes também são influenciadas por opções irrelevantes e que, em geral, isso não afeta nossa eficiência.
Se este teorema não incomoda os defensores dos regimes ditatoriais (que estão dispostos a confiar em um "homem forte" para razoavelmente liderar o povo) e pouco incomoda os liberais (que rejeitam a ideia de transformar preferências individuais em preferências coletivas), entretanto , é freqüentemente usado contra os partidários da democracia (eles retrucam erroneamente, já porque muitos perfis de preferência não são pré-encomendas totais na realidade - então o teorema de Arrow não se aplica, mas acima de tudo porque é possível obter funções de escolha social que satisfaçam hipóteses semelhantes assim que se permitir fazer comparações interpessoais. Esta seção descreve o que pode ser obtido relaxando as hipóteses do teorema enquanto permanece dentro da estrutura das preferências não comparáveis. A próxima seção retorna à questão da comparabilidade.
As premissas do teorema de Arrow são razoáveis? Sim, no sentido de que seria razoável aceitá-los. Não, no sentido de que não seria razoável exigi-los: a maioria dessas propriedades não são básicas nem elementares.
Como qualquer teoria científica, o resultado de Arrow é baseado em suposições, que são matematicamente expressas dentro de uma estrutura formal particular. Se as suposições não forem válidas, o teorema não se aplica.
Os escritos (Arrow, 1950, 1951) em que Arrow demonstra seu teorema têm como tema os possíveis fundamentos de uma teoria econômica do bem-estar utilizável para análise econômica, mas dispensa comparações interpessoais de utilidade, explícita ou implicitamente utilizadas em utilitaristas abordagens ou análise de custo-benefício . O arcabouço formal do teorema da impossibilidade é o das preferências ordinais puras: a intensidade das preferências não é levada em consideração, nem a comparação possível entre os indivíduos. A desconsideração da intensidade das preferências permite considerá-las (indiretamente) observáveis por meio das escolhas. Esta é a "teoria das preferências reveladas": dizer que um agente prefere A a B é simplesmente dizer que, entre A e B e todas as outras coisas sendo iguais, ele escolhe A. No quadro estritamente arroviano, não podemos expressar para exemplo que Jules prefere A a B, Jim prefere B a A, mas que na passagem de A para B, Jim perde mais do que Jules ganha .
Arrow, portanto, aprofunda essa estrutura de pensamento para demonstrar que torna impossível agregar "razoavelmente" tais preferências. Por exemplo, com respeito à votação, os procedimentos que permitem comparações interpessoais não caem no escopo do teorema, e K. Arrow argumentou a favor da votação de três valores em quatro níveis. Este retorno às variantes do utilitarismo é justificado pela impossibilidade arroviana. Essa ideia deu origem à família dos votos por valores , como voto por aprovação , voto por notas ou decisão majoritária , que propõe substituir a classificação das opções por um julgamento individualizado por opção.
Com essas abordagens, cada opção recebe uma menção binária (aprova, rejeita) ou numérica (em uma escala fixa, por exemplo -1,0, 1) ou verbal (por exemplo: muito bom, bom, suficiente, não suficiente, inaceitável , etc.). Assim, cada eleitor atribui um julgamento para cada opção. Ao final, a agregação é feita em nível global, calculando-se a média de julgamento (caso de voto por pontuação) ou mediana (caso de voto majoritário) para cada opção. Esse julgamento médio ou mediano é então comparado em nível global, mudando assim a classificação de preferências para o último estágio de cálculo e, assim, evita os paradoxos formalizados pelo teorema da impossibilidade de Arrow. Na verdade, o teorema de Arrow formaliza um paradoxo durante a agregação de decisões, mas uma decisão sobre uma agregação de julgamentos individualizados não é afetada por este teorema. Esses métodos têm sido objeto de experiências in situ por instituições, como durante as eleições presidenciais francesas .
Enquanto o teorema de Arrow se preocupa com a questão de determinar uma função de escolha social com o objetivo de elaborar uma lista de preferências coletivas a partir das listas de preferências individuais, uma questão mais frequente é escolher coletivamente um único membro eleito das listas de preferências individuais. preferências entre vários candidatos. Este é o objetivo do teorema de Gibbard-Satterthwaite . Isso declara o seguinte resultado relacionado a um procedimento para designar o vencedor em uma eleição:
Portanto, o procedimento de designação não pode ser manipulado se e somente se for ditatorial.
Na prática, os procedimentos de designação são manipuláveis e é comum que um eleitor com as preferências A> B> C vote em B para ter certeza de não ver C eleito.
No caso de corridas automobilísticas, cada carro ganha pontos em cada prova de acordo com sua ordem de chegada. O maior total vence a competição. Este dispositivo vai de uma classificação a uma classificação ; é universal, soberano, monótono, mas não é indiferente a alternativas irrelevantes.
Dois estábulos ( A e B ) de dois carros cada ( A1 , A2 e B1 , B2 ) estão no final de uma competição, a última corrida está prestes a terminar. O líder A1 lidera B1 por dois pontos na classificação geral, mas está atrás dele e não espera mais alcançá-lo. Muito à frente deles, A2 e B2 estão sozinhos. Os pontos na chegada são atribuídos da seguinte forma:
1 r 10
2 e 9
3 e 6
4 e 5
...
A1 deve vencer a competição, já que B1 terá apenas um ponto a mais. Mas, nesse momento, o gerente do estábulo B pode pedir a B2 que abandone a corrida: B1 então será o segundo nesta corrida, e três pontos melhor que A , vencerá a competição! Se ele fizer isso, podemos até imaginar que A2 é tentado a desistir para permitir que A1 só chegue a um ponto em B1 , na segunda e na primeira posição, respectivamente.
Esta situação mostra claramente que um sistema de pontos cumulativos não é indiferente a alternativas irrelevantes, ou mesmo que o procedimento de designação do vencedor é manipulável, no sentido de Gibbard-Satterthwaite.
Da mesma forma, podemos esperar que os comitês de especialistas que selecionam um projeto de acordo com vários critérios sejam monótonos e soberanos, indiferentes a opções irrelevantes:
A ponderação não garante, no entanto, a independência de alternativas estrangeiras. Para poder atribuir validamente um contrato, para cada critério, é necessário ter dois níveis de atratividade (ou possivelmente de desempenho). Sem a introdução destes dois níveis de desempenho, segundo Jean-Claude Vansnick, os pesos introduzidos não permitem assegurar a significância das operações matemáticas realizadas (incluindo, nomeadamente, a não garantia do respeito pela indiferença às opções irrelevantes).
" O Teorema de Arrow ... negligencia o uso de comparações interpessoais em avaliações de bem-estar social?" ... Sim. Ter, além disso, esse tipo de informação permite sutileza suficiente para escapar de impossibilidades desse tipo. ... mesmo formas fracas de comparabilidade permitiriam julgamentos consistentes de bem-estar social, satisfazendo todos os requisitos de Arrow. "