Teorema de Poincaré-Bertrand

O teorema de Poincaré-Bertrand diz respeito ao rearranjo de termos para o cálculo de certas integrais impróprias . Foi fundado por Henri Poincaré e Gaston Bertrand, bem como por Godfrey Harold Hardy .

Estados

Seja $Γ$ uma curva fechada ou aberta no plano complexo, seja $f (τ, τ ')$ uma função definida em $Γ$ (geralmente de valor complexo) e contínua no sentido de Hölder em relação a $τ$ e $τ'$ , e seja $t ser$ um ponto em $Γ$ exceto uma extremidade se $Γ$ estiver aberto, então

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; \ times \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t, t ) + {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} \ mathrm {d} \ tau '\ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau')} {(\ tau - t) (\ tau '- \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}

onde $vp$ é o valor principal de Cauchy

No caso particular de uma função $f (τ)$ dependendo de uma única variável e definida em uma curva fechada, então

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gama} {\ frac {f (\ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t)}

Esta expressão é válida para todo t se f for contínuo no sentido de Hölder ou quase todo t se $f \in L p , p > 1$

Referências

Henri Poincaré , Lessons in Celestial Mechanics: Theory of Tides , vol. 3, Gauthier-Villars ,1910, 253-256 p. ( leia online )
Gaston Bertrand, “ Equações de Fredholm com integrais principais dentro do significado de Cauchy ”, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 172,1921, p. 1458-1461 ( ler online )
Gaston Bertrand, " A teoria das marés e equações integrais ", Scientific Annals of the École normale supérieure , vol. 40,1923, p. 151-258 ( ler online )
(em) G. H. Hardy , " A teoria dos ganhos principais de Cauchy " , Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 7, n o 21909, p. 181–208 ( leia online )
(in) Nikolai Ivanovich Muskhelishvili, Equações integrais singulares: problemas de contorno de funções Teoria e suas aplicações à física matemática , Wolters-Noordhoff ,1972( ISBN 9-0016-0700-4 )