Teorema de Rouché

Na análise complexa , o teorema de Rouché é uma afirmação sobre os zeros e os pólos das funções meromórficas . Seu nome é uma homenagem ao matemático francês Eugène Rouché .

Estados

Let Ser um aberta simplesmente conexa , deixe f e g seja duas funções meromorfas em com um conjunto finito de zeros e pólos. Seja γ uma renda simples com imagem formando a borda de um compacto . sim você⊂VS{\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}} você{\ displaystyle U}F{\ displaystyle F}você-F{\ displaystyle UF}∂K{\ displaystyle \ parcial K} K{\ displaystyle K}

|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}para qualquer ponto z de γ

tão

Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}

onde e são respectivamente o número de zeros e pólos de (levando em consideração sua multiplicidade) contidos em . Zf{\ displaystyle Z_ {f}}Pf{\ displaystyle P_ {f}}f{\ displaystyle f}K{\ displaystyle K}

Exemplo

Considere as duas funções polinomiais f e g definidas por:

f(z)=z8-5z3+z-2,g(z)=-5z3{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}

e considere o círculo para guinada . Verificamos nesta renda: VS(0,1): ={z∈VS∣|z|=1}{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}

|f(z)-g(z)|=|z8+z-2|≤|z|8+|z|+2=4{\ displaystyle | f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4}

e

|g(z)|=|-5z3|=5{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}.

Podemos, portanto, aplicar o teorema de Rouché:

Zf=Zg{\ displaystyle Z_ {f} = Z_ {g}}

desde f e g não têm pólo. Por outro lado, g tem um zero triplo na origem, o que nos indica que a função f admite três zeros no disco aberto . D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}

Demonstração

Se para todos , em seguida, f e g não desaparecer mais de (de outro modo a desigualdade estrita não poderia ser verificado). Seja h a função meromórfica ativada , holomórfica e não cancelada em definida por: |f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}z∈γ{\ displaystyle z \ in \ gamma}γ{\ displaystyle \ gamma}você{\ displaystyle U}γ{\ displaystyle \ gamma}

h=fg{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}.

Para qualquer ponto z de γ ,

|h(z)-1|=|f(z)-g(z)||g(z)|<1{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}.

A imagem do par está, portanto, contida no disco aberto de raio 1 e centro 1 e, conseqüentemente, não gira em torno da origem. Ao aplicar o princípio do argumento, temos, portanto: γ{\ displaystyle \ gamma}h{\ displaystyle h}D(1,1){\ displaystyle D (1,1)}

12πeu∫γh′(z)h(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}.

Por outro lado,

h′(z)h(z)=f′(z)f(z)-g′(z)g(z){\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}.

Portanto,

12πeu∫γf′(z)f(z)dz-12πeu∫γg′(z)g(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}.

Finalmente, usando o princípio do argumento novamente, obtemos

Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}.

Formulários

Prova do teorema fundamental da álgebra

Let ser um polinômio com valores em e definidos por: P{\ displaystyle P}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

P(z)=no0+no1z+⋯+nonãoznão{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}

assumindo . Deixe ser grande o suficiente para que para todos (círculo de raio R) tenhamos: nonão≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}R>0{\ displaystyle R> 0}z∈VS(0,R){\ displaystyle z \ in C (0, R)}

|P(z)-nonãoznão|=|no0+⋯+nonão-1znão-1|<|nonãoznão|{\ displaystyle | P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | <| a_ {n} z ^ {n} |}

(por exemplo, adequado). R=1+max(|no0|,...,|nonão-1|)|nonão|{\ displaystyle R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} |)} {| a_ {n} |}}}

Uma vez que admite um zero de ordem na origem, deve-se admitir zeros no disco aberto pela aplicação do teorema de Rouché. nonãoznão{\ displaystyle a_ {n} z ^ {n}}não{\ displaystyle n}P{\ displaystyle P}não{\ displaystyle n}D(0,R){\ displaystyle D (0, R)}

Generalizações

Um século depois, Theodor Estermann enfraqueceu a hipótese de Rouché, obtendo:|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}

Vamos f e g seja duas funções meromórficas dentro de um retificável circuito único γ e contínua na fronteira, e tal que

|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |}para qualquer ponto z de γ .

Então, como acima ,

Zf-Zg=Pf-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}.

Referências

1. Journal of the École Polytechnique , 1862, p.  217-218 .
2. (em) T. Estermann, Complex Numbers and Functions , Athlone Press, Londres, 1962, p. 156
3. (em) I-Hsiung Lin Classical Complex Analysis: A Geometric Approach , Vol.  1, World Scientific ,2011( ISBN  978-9-81426123-4 , leia online ) , p.  558.

Veja também

Artigo relacionado

Teorema de Hurwitz sobre sequências de funções holomórficas

Bibliografia

• [PDF] Michèle Audin , Análise complexa , notas de aula da Universidade de Estrasburgo disponíveis online
• Murray R. Spiegel, Complex Variables , McGraw-Hill ( ISBN  978-2-7042-0020-7 )

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