Teorema da bijeção

Na análise real , o teorema da bijeção é um corolário do teorema do valor intermediário , afirmando que uma função contínua e estritamente monotônica sobre um intervalo constitui uma bijeção entre esse intervalo e sua imagem . Essa bijeção é mesmo um homeomorfismo , ou seja, a função recíproca também é contínua.

Este teorema não é verdade em números racionais , o que impediu uma construção rigorosa da análise ao XIX ° século . Para uma abordagem rigorosa, tivemos que esperar o trabalho de Méray , Dedekind e Cauchy que proporcionou uma construção de números reais .

Estados

Em um segmento

Teorema da bijeção entre segmentos - Se f é uma função contínua e estritamente monotônica em um intervalo [ a , b ] e com valores reais, então constitui uma bijeção entre [ a , b ] e o intervalo fechado cujos limites são f ( a ) e f ( b ).

Demonstração

Denotemos por J esse intervalo fechado, ou seja, o conjunto de números reais entre f ( a ) ef ( b ).

A monotonia da função implica que a imagem do intervalo [ a , b ] está contida em J :
- se f é crescente, para todo x de [ a , b ] temos f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ;
- se f é decrescente, para todo x de [ a , b ] temos f ( b ) ≤ f ( x ) ≤ f ( a ) .
O fato dessa monotonia ser estrita garante que dois reais distintos não possam ter a mesma imagem, ou seja, a função é injetiva em [ a , b ].
Finalmente, o teorema valor intermédio (o qual é baseado na suposição de continuidade) garante que qualquer elemento J tem pelo menos um antecedente por f , que é dizer que a função é sobrejetivo em J .

Formulação equivalenteSe f é contínuo e estritamente monotônico ao longo de um intervalo [ a , b ], então, para qualquer k real em J , existe uma solução única para a equação f ( x ) = k da incógnita x em [ a , b ]. Além disso, essa equação não tem solução em [ a , b ] para os outros valores de k .

Em qualquer intervalo

Forma do intervalo da imagem de acordo com a direção da monotonia e a forma do intervalo inicial.

J

f

eu

$eu$	$f$ crescente	$f$ decrescente
$[a; b]$	$[f (a); f (b)] \,$	$[f (b); f (a)] \,$
$[a; b [$	$\ left [f (a); \ lim _ {b} f \ right [$	$\ left] \ lim _ {b} f; f (a) \ right]$
$] a; b]$	$\ left] \ lim _ {a} f; f (b) \ right]$	$\ left [f (b); \ lim _ {a} f \ right [$
$] a; b [$	$\ left] \ lim _ {a} f; \ lim _ {b} f \ right [$	$\ left] \ lim _ {b} f; \ lim _ {a} f \ right [$

O teorema é generalizado para intervalos abertos ou semiabertos, sendo o intervalo um intervalo da mesma natureza, com limites que podem ser finitos ou infinitos. A existência dos limites da função nos limites do intervalo é assegurada pela monotonia : trata-se então dos limites superior e inferior dos valores da função neste intervalo. $J$

Essa generalização pode ser reduzida à seguinte formulação:

Teorema - Se é contínuo e estritamente monotônico sobre um intervalo de limites e (finito ou infinito), para qualquer real estritamente entre os limites de en e en , existe um único de tal que , em outras palavras, a equação admite uma solução única no . $f$ $eu$ $no$ $b$ $k$ $f$ $no$ $b$ $vs$ $eu$ $f (c) = k$ $f (x) = k$ $eu$

Formulários

Este teorema permite definir certas funções recíprocas , como a função raiz quadrada , as funções trigonométricas recíprocas arco seno , arco cosseno e arco tangente , mas também a exponencial do logaritmo natural .

Recíprocos do teorema

É possível construir bijeções entre intervalos reais que não são monotônicos nem contínuos.

Demonstração

A função definida em por se pertence a e se pertence a define uma bijeção de em si mesma, embora não seja monotônica nem contínua. $f$ ${\ displaystyle [0,2]}$ $f (x) = x$ $x$ $[0,1 [$ $f (x) = 3-x$ $x$ $[1,2]$ ${\ displaystyle [0,2]}$

Por outro lado, alguns resultados podem ser considerados recíprocos do teorema da bijeção.

Uma injeção de um intervalo em ℝ que é contínua - ou mais geralmente de Darboux , ou seja , verificar a propriedade de valores intermediários - é necessariamente monotônico. Em particular, qualquer bijeção contínua entre intervalos reais é monotônica.
Uma sobreposição monotônica de qualquer parte de ℝ ao longo de um intervalo é necessariamente contínua. Em particular, qualquer bijeção monotônica entre intervalos reais é contínua.

Homeomorfismo

Uma função contínua de A para B admitindo uma recíproca contínua de B para A é chamada de homeomorfismo . As hipóteses dos enunciados anteriores permitem, na realidade, demonstrar não só a existência de uma bijeção, mas também o caráter contínuo de sua recíproca. O teorema da bijeção pode então ser afirmado da seguinte forma:

Teorema - Seja uma função contínua e estritamente monotônica, com um intervalo $I$ em ℝ, induzindo assim uma bijeção $f$ de $I$ em uma parte $J$ de ℝ, com bijeção recíproca $f -1 : J \to I$ (estritamente monotônica com o mesmo significado que $f$ ). Então :

$J$ é um intervalo;
$f$ é um homeomorfismo, ou seja, $f -1 : J \to I$ é contínuo.

Demonstração

$J$ é um intervalo. Isto é uma consequência directa do teorema de valores intermediários desde $que$ seja um intervalo, e $f$ é contínuo em $I$ .
$f ^ {- 1}$ é contínuo . É uma aplicação do último enunciado da seção Recíproca do teorema : é uma função sobrejetiva monotônica de um intervalo, $J$ , em um intervalo, $I$ , portanto, é contínua. $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

O fato de uma bijeção contínua ter uma recíproca contínua nem sempre é verdade.

Esta propriedade pode ser falsa se o conjunto de partida ou chegada não for ℝ.
Esta propriedade pode ser falsa se o conjunto inicial não for um intervalo de ℝ.
Esta propriedade é uma propriedade global: uma bijeção f de ℝ para ℝ, contínua em a , pode ter uma recíproca não contínua em f ( a ).

Contra-exemplos

A função de $[0, 2π [$ no círculo unitário do plano ℝ × ℝ que se associa com θ (cosθ, sinθ) é uma bijeção contínua cujo recíproco não é contínuo em (1.0).
A função de [0, 1 [∪ [2, 3 [em [0, 2 [que, com x , associa x se x <1 e x - 1 se x ≥ 2, é uma bijeção contínua estritamente monotônica cujo n recíproco é não contínuo em 1.
A função de ℝ em ℝ definida por:
- $f$ é ímpar;
- $f$ (2 k ) = k para todo número natural k ;
- ${\ displaystyle f (2k + 1) = {\ frac {1} {2k + 3}}}$ para todo número natural k ;
- ${\ displaystyle f \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) = {\ frac {1} {2k-2}}}$ para qualquer número inteiro k estritamente maior que 1;
- $f$ ( x ) = x para qualquer real positivo x diferente de um inteiro ou o inverso de um inteiro;
é uma bijeção contínua em 0 cujo inverso não é contínuo em 0.

Notas e referências

(in) Marian Mureşan, A Concrete Approach to Classical Analysis , Nova York, Springer ,2009( ISBN 978-0-387-78933-0 , leitura online ) , p. 165-166. Também demonstrado em "Teorema da bijeção" na Wikiversidade .
Declaração de Alain Mézard e Charles Delorme, Curso Superior de Matemática , vol. 2, PUF ,1994( leia online ) , p. 101 e 255e demonstrado em "Teorema da bijeção" na Wikiversidade . Daniel Guinin e Bernard Joppin, MPSI Análise , Bréal ,2003( leia online ) , p. 163, º. 10 (b), declare-o apenas quando o conjunto inicial também for um intervalo e prove-o menos diretamente (usando o teorema do limite monotônico ).
Esta monotonia de $f -1$ não requer que $f$ seja contínua ou que $I$ seja um intervalo. É simplesmente devido ao fato de que a ordem em $I$ é total : cf. Relação de pedidos # Aumentar os pedidos .
Bertrand Hauchecorne, The Counter-Examples in Mathematics , Ellipses ( ISBN 978-2-7298-8806-0 ) , p. 61 .

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