Teorema do valor intermediário

Em matemática , o teorema do valor intermediário (abreviado como TVI), às vezes chamado de teorema de Bolzano , é um resultado importante na análise e diz respeito a funções contínuas ao longo de um intervalo . Ele indica que, se uma função contínua em um intervalo assumir dois valores m e n , ela usará todos os valores intermediários entre m e n .

Este teorema dá em certos casos a existência de soluções de equações e é a base de técnicas de resolução aproximada, como busca dicotômica ou bissecção .

Abordagem intuitiva

A 10 ª etapa do Tour de France 2008 foi uma corrida de ciclismo de 156 km de comprimento a partir de Pau (elevação: 200 m ) e chegada no Hautacam (1.520 m ).

O perfil do degrau é uma função definida no intervalo [0, 156] e com valores reais. A qualquer número $x$ de [0, 156], associa a altitude do ponto localizado a $x$ quilômetros do início. Visto que as altitudes variam de 200 a 1520 m , parece claro que os pilotos tiveram que passar pelo menos uma vez por todas as altitudes intermediárias, ou seja, altitudes entre 200 e 1 520 m. Por exemplo, o corredor passará pelo menos uma vez pela altitude de 1000 m . No entanto, essa descoberta é baseada em duas suposições:

o caminho é um intervalo, o que supõe que o espaço é um “continuum” - os matemáticos falam de espaço conectado - isto é, não há “gap” entre 0 e 156.
a função altitude é contínua, o que significa que uma variação infinitesimal na quilometragem resulta em uma variação infinitesimal na altitude. Em outras palavras, um corredor não pode se teletransportar instantaneamente de uma altitude para outra.

Observe que o raciocínio não é mais válido se o perfil não estiver mais definido em um intervalo, por exemplo, se estivermos apenas interessados nos pontos de controle marcados no gráfico ao lado: pode ser que nenhum desses pontos, por mais numerosos que sejam, está a uma altitude de 1000 m .

O teorema do valor intermediário formaliza esse raciocínio empírico.

Estados

Para qualquer função $f$ definida e contínua ao longo de um intervalo $I$ e com valores reais, a imagem $f ( I )$ é um intervalo.

Declaração equivalente :

Para qualquer aplicação contínua $f : [ a , b ]$ → ℝ e qualquer verdadeira $u$ entre $f ( um )$ e $f ( b )$ , existe pelo menos um bens $c$ entre $um$ e $b$ tal que $f ( c ) = u$ .

Caso especial ( teorema de Bolzano ):

Se $f ( a ) f ( b ) \leq 0$ , existe pelo menos um real $c \in [ a , b ]$ tal que $f ( c ) = 0$ (porque “ $f ( a ) f ( b ) \leq 0$ ” significa que $0$ está entre $f ( a )$ e $f ( b )$ ).

Observações

Esteja ciente de que o teorema não afirma que a imagem do intervalo [ a , b ] por f é o intervalo [ f ( a ); f ( b )]. Isso é falso, como mostrado pelo contra-exemplo da função f ( x ) = sin ( x ) com a = 0 e b = π; neste caso, f ([ a , b ]) = [0, 1] mas [ f (0), f (π)] = {0}.
O teorema levanta a questão: não há equivalência entre a propriedade do valor intermediário e a continuidade ? A resposta é não (consulte a seção Notas históricas ). Um contra-exemplo é dado pela função real da variável real $f$ definida por: $f (x) = \ sin \! \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) {\ text {si}} x \ neq 0 {\ text {et}} f (0) = 0.$ Esta função não é contínua em 0, mas satisfaz a propriedade do valor intermediário para cada par de reais. Um contra-exemplo mais elaborado é a função de Conway na base 13 , que é descontínua em todos os pontos.
Existe equivalência entre:

f é contínuo em [ a , b ] e Para qualquer subintervalo [ c , d ] incluído em [ a , b ] e qualquer elemento y de [ f ( c ), f ( d )], o conjunto é uma parte não vazia e fechada de [ a , b ].

{\ displaystyle \ {x \ in [c, d], f (x) = y \}}

Este teorema é essencial para o desenvolvimento da teoria da análise elementar, pois permite a demonstração do teorema da bijeção e a construção de muitas funções elementares como a função de raiz quadrada .
Este teorema é falso no campo dos números racionais . Devemos necessariamente usar as propriedades do campo dos números reais . Por exemplo, a função $f ( x ) = x 2 - 2$ de ℚ em ℚ é contínua em [0, 2] e satisfaz $f (0)$ = –2, $f (2)$ = 2. No entanto, não há número racional $x$ tal que $f ( x )$ = 0.
Este teorema enfatiza uma propriedade topológica dos números reais . É demonstrado simplesmente usando topologia ou mais laboriosamente se procedermos "manualmente".
Além disso, quando $f$ é estritamente monotônico , é injetivo, portanto , a solução $c$ é única.

Formulários

Este teorema é freqüentemente usado para mostrar que duas funções contínuas no mesmo intervalo e cuja diferença muda de sinal neste intervalo tomam o mesmo valor em pelo menos um ponto desse intervalo.
Exemplo : Let f e g seja duas funções contínuas ao longo de um intervalo não vazio [ a , b ] de ℝ, tais que g ( um ) - f ( um ) e g ( b ) - f ( b ) têm sinais opostos. Existe, pelo menos, um número real c entre um e b e tal que f ( c ) = g ( c ).
De fato, seja φ = f - g . A função φ é contínua e 0 fica entre φ ( a ) e φ ( b ). Não é, por conseguinte, pelo menos um número real c entre um e b e tal que φ ( c ) = 0, ou ainda f ( c ) = g ( c ).
No caso particular em que g é a identidade ao longo do intervalo [ a , b ] e onde f ( um )> um e f ( b ) < b , obtém-se um teorema de ponto fixo ( Brouwer na dimensão 1).
Para qualquer polinômio P com coeficientes reais e de grau ímpar, existe pelo menos uma raiz real, ou seja, um c real tal que P ( c ) = 0.
De fato, os limites de P em $+ \infty$ e $-\infty$ são infinitos e (visto que o grau de P é ímpar) opostos um ao outro. Como a função polinomial P é contínua, deduzimos da generalização abaixo que ela assume todos os valores reais , em particular o valor 0.

Nota Histórica

Em seu Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publicado em 1821, Cauchy deu uma declaração do teorema dos valores intermediários, como o Teorema IV do Capítulo II , então ele deu uma prova disso.

Teorema de Darboux

Uma função pode verificar a conclusão do teorema de valores intermediários sem ser contínua (exemplo: a função x ↦ sin (1 / x ) , completada por 0 ↦ a onde a é um real escolhido entre –1 e 1).

Em 1875, Gaston Darboux mostrou que esta conclusão foi verificada por todas as funções derivadas , das quais as funções contínuas fazem parte, de acordo com o primeiro teorema fundamental de análise . O teorema dos valores intermediários pode, portanto, ser considerado como um corolário deste último e do teorema de Darboux.

Resolução e demonstração

O teorema dos valores intermediários faz parte dos chamados teoremas de existência . No entanto, não há nenhuma demonstração construtiva geral dessa existência.

A prova original de Bolzano baseada na noção de limite superior de um conjunto de reais.

Damos a seguir duas outras demonstrações. O primeiro é curto, mas é baseado em uma teoria mais elaborada, a topologia. O segundo é baseado no método da dicotomia e pode, em certa medida, ser implementado digitalmente.

A topologia fornece uma demonstração em algumas linhas desta propriedade:

Os relacionados de ℝ são os intervalos. O conjunto inicial é, portanto, um conjunto conectado. A imagem de um conectado por uma função contínua é um conectado. Portanto, a imagem por f de [ a , b ] é um intervalo, o que prova o teorema.

Mas, por trás dessa aparente simplicidade, estão ocultos resultados que devem ter sido demonstrados de antemão, como o fato de que qualquer intervalo de ℝ está conectado , uma prova da mesma ordem de dificuldade que a do teorema dos valores intermediários.

Prova por dicotomia

O princípio é cortar o intervalo inicial em dois e manter o intervalo onde sabemos que existe uma solução. Em seguida, começamos novamente cortando o intervalo restante pela metade, etc. Isso resulta em intervalos aninhados cada vez menores nos quais temos certeza de encontrar uma solução. Então, acabamos encontrando uma estrutura “bastante boa” para a solução.

Algoritmos

A prova por dicotomia é facilmente traduzida na forma algorítmica, com exceção do teste f ( m n ) = u (onde m n é o ponto médio do n- ésimo intervalo), que não pode ser verificado exatamente quando fazemos cálculos numéricos aproximados . Preferimos substituir a condição | f ( m n ) - u | <ε, onde ε é um erro fornecido antecipadamente. O algoritmo fornecerá um x real tal que | f ( x ) - u | <ε, mas este valor pode acabar sendo relativamente longe do valor exato c da raiz se nenhuma outra suposição for feita sobre f além da continuidade.

No caso em que f é C 1 (ou seja, onde f e sua primeira derivada são contínuas) e onde podemos encontrar um número m > 0 tal que | f '| > m no intervalo onde o método da dicotomia é aplicado, então o algoritmo da dicotomia converge para um número c tal que f ( c ) = u . Temos também o aumento da diferença entre o valor x calculado pela dicotomia ec na forma | x - c | ≤ ε / m .

Além disso, o método da dicotomia permite que apenas um valor de x seja encontrado . Eliminar uma lacuna inteira em cada etapa pode descartar outras soluções.

Finalmente, a dicotomia é um algoritmo simples, mas não é o mais eficiente: a precisão aumenta apenas por um fator de 2 a cada iteração. Portanto, buscamos outros métodos que permitissem convergência mais rápida. O método de Newton ou método das tangentes é uma boa eficiência.

Generalizações

Substituição de ℝ pela linha real completada

Deixe $-\infty$ ≤ a <b ≤ $+ \infty$ e f :] um , b [→ ℝ contínuo e tendo em um e b limites L um e L b (possivelmente infinito). Então, para qualquer u real estritamente entre L a e L b , existe um c real em] a , b [tal que f ( c ) = u .

Teorema de Poincaré-Miranda

A substituição de ℝ por ℝ n é a seguinte:

Seja f = ( f 1 ,…, f n ): [–1, 1] n → ℝ n um mapa contínuo tal que em cada face x i = 1, f i ≥ 0 e em cada face x i = –1 , f i ≤ 0. Então existe um ponto onde f desaparece.

Henri Poincaré o anunciou em 1883 e depois o demonstrou em 1886, mas foi só em 1940 que Carlo Miranda (it) percebeu que ele é equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer .

Notas e referências

Daniel Perrin , " Intermediate Values " , no blog de Alexandre Moatti ,18 de julho de 2006.
[PDF] Laurent Moonens, aspirante FRS , " Bolzano e o teorema dos valores intermediários " , em AlmaSoror ,20 de fevereiro de 2007.
I. Gaber, A. Lev, R, Zigdon, “ Insights and Observations on Teaching the Intermediate Value Theorem ”, Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 126, n o 9,novembro de 2019, p. 845-849 ( DOI 10.1080 / 00029890.2019.1647061 )
(em) Michael Spivak , Calculus ,1967( leia online ) , p. 103, dá uma demonstração mais clássica.
No entanto, se uma função satisfaz essa conclusão e leva cada valor apenas um número finito de vezes, então ela é contínua: Spivak 1967 , p. 109 (ex. 13) .
Spivak 1967 , p. 253 ou (ex. 12) Spivak 2006 - 3 ª edição, UPC ( ISBN 978-0-52186744-3 ) - p. 296 (ex. 20).
Para uma demonstração moderna no mesmo espírito, veja, por exemplo (em) Peter D. Lax e Maria Shea Terrell, Calculus With Applications , Springer ,2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1976) ( lido on-line ) , p. 66-67ou "Teorema do valor intermediário, ou Bolzano" na Wikiversidade .
Para a equivalência entre a propriedade do limite superior (usado por Bolzano) e o teorema das sequências adjacentes (usado na prova de dicotomia), consulte Construção de números reais # Equivalência das duas construções .
[PDF] Daniel Perrin , “ Duas demonstrações por dicotomia ” , na Université Paris-Sud .
Veja a prova de dicotomia do teorema do valor intermediário na Wikiversidade .
Exercício 1 ou 4 sobre continuidade (e suas soluções) na Wikiversidade .
[PDF] Veja a demonstração (em) Władysław Kulpa , " Poincaré e teorema da invariância de domínio " , Acta Univ. Carolin. Matemática. Phys. , vol. 39, n o 1,1998, p. 127-136 ( ler online ), p. 130-131 (feita a partir de (en) Władysław Kul , " O-Poincaré Miranda Teorema " , Amer. Math. Mês. , Vol. 104, n o 6,1997, p. 545-550 ( DOI 10.2307 / 2975081 )), ou sua reescrita em (en) Michael Müger, “ Uma observação sobre a invariância da dimensão ” , em Radboud Universiteit Nijmegen , que detecta lá um “ lema de Sperner cúbico”.
[PDF] H. Poincaré , “ Sobre as curvas definidas por uma equação diferencial, IV ”, Jornal de matemática pura e aplicada , vol. 85,1886, p. 151-217 ( ler online ).
(It) C. Miranda , " Un'osservazione su una teorema di Brouwer " , Bollettino dell ' Unione Matematica Italiana , vol. 3,1940, p. 527.

Veja também

Artigo relacionado

Lema do primo

links externos

Bolzano , Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Result gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege [Prova puramente analítica do teorema: entre quaisquer dois valores que dão dois resultados de sinais opostos é encontrada pelo menos uma raiz real da equação], Praga, 1817.Neste texto, Bolzano refuta demonstrações anteriores que são baseadas em princípios de evidência ou considerações geométricas. Ele afirma o teorema ( pág. 9 ) e, em seguida, o prova usando a propriedade do limite superior ( pág. 21-22 ). Traduções parciais para o francês podem ser encontradas em Mathematics over the age, Bordas, 1987, p. 206-207 ou em A demonstração matemática na história , IREM de Besançon e Lyon, 1989, p. 99-114 . Este texto de Bolzano permanecerá em grande parte desconhecido até a publicação de sua obra em 1848.
(pt) SB Russ , “ Uma tradução do artigo de Bolzano sobre o teorema do valor intermediário ” , Historia Mathematica , vol. 7, n o 21980, p. 156-185 ( DOI 10.1016 / 0315-0860 (80) 90036-1 )
Cauchy , Algebraic Analysis , 1821, p. 43-44.Nesta demonstração, Cauchy está satisfeito com as evidências geométricas. Esta demonstração não é considerada satisfatória por Giuseppe Peano ( Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , 1884, p. Xi). Este último dá a prova por dicotomia, após ter definido os números reais como cortes de Dedekind .
Cauchy , Algebraic Analysis , 1821, N. III, p. 460.Cauchy fornece aqui um processo de resolução de equação numérica, comparável à prova de dicotomia do teorema do valor intermediário.