Construção de números reais

Na matemática , existem diferentes construções de números reais , sendo as duas mais famosas:

• os cortes de Dedekind que definem, via teoria dos conjuntos , como um real todo racional são estritamente inferiores a ele;
• as sequências de Cauchy , que definem, através da análise , o real como resultado da convergência racional para ele.

Histórico

É a partir da década de 1860 que se torna cada vez mais premente a necessidade de apresentar uma construção de números reais, com o objetivo de estabelecer a análise em fundamentos rigorosos. Até esta data, a existência de reais e suas propriedades eram admitidas, por exemplo, por Cauchy em seu curso de 1821. Em 1817, Bolzano estabeleceu que uma parte não vazia acrescida de reais admite um limite superior, em uma memória que infelizmente não permanece muito difundida e que teve pouca influência até a obra de Weierstrass por volta de 1865. As primeiras construções, baseadas nas suítes de Cauchy, são devidas a Méray em 1869, e a Cantor cujas idéias foram apresentadas em 1872 por Heine . Dedekind publica sua construção de reais por meio de cortes em 1872. Em 1878, Dini publica um tratado apresentando as principais demonstrações em números reais.

Construção intuitiva a partir de decimais

Um número real é uma quantidade que tem por representação decimal , onde é um inteiro, cada um é um número entre 0 e 9, e a sequência não termina com um infinito de 9. A definição de é então o número que satisfaz esta dupla desigualdade para todos k  : x=não+0,d1d2d3...{\ displaystyle x = n + 0 {,} d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ dotso}não{\ displaystyle n}deu{\ displaystyle d_ {i}}x{\ displaystyle x}

não+d110+d2100+⋯+dk10k≤x<não+d110+d2100+⋯+dk10k+110k{\ displaystyle n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} {10 ^ {k }}} \ leq x <n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} { 10 ^ {k}}} + {\ dfrac {1} {10 ^ {k}}}}.

Esta construção, além da falta de rigor nesta forma, tem vários inconvenientes, sendo o mais importante deles a dificuldade de fornecer algoritmos simples para a multiplicação, e mesmo para a adição em casos como . Terence Tao assinala que pode ser tornado mais natural interpretando-o (quanto à construção de números p -adicos ) como o limite projetivo de conjuntos de decimais com n dígitos após a vírgula, providos de regras de cálculo arredondadas adequadas. 0,333...+0,666...{\ displaystyle 0 {,} 333 \ dotso +0 {,} 666 \ dotso}

Cortes de construção por Dedekind

Definição como um todo

Essa é a construção imaginada por Richard Dedekind que nota que todo racional se divide em dois conjuntos: o conjunto de racionais como e o conjunto de racionais como . Em seguida, chama um corte . Ele então nota que também pode se dividir em dois conjuntos: o conjunto de racionais como e o conjunto de racionais como . Ocorreu-lhe então a ideia de definir o conjunto dos reais como o conjunto dos cortes de . Resta agora definir um corte sem usar a noção intuitiva de um número real. Dedekind oferece a seguinte definição: r{\ displaystyle r}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}NOr{\ displaystyle A_ {r}}no{\ displaystyle a}no<r{\ displaystyle a <r}Br{\ displaystyle B_ {r}}b{\ displaystyle b}b≥r{\ displaystyle b \ geq r}(NOr,Br){\ displaystyle (A_ {r}, B_ {r})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}NO{\ displaystyle A}no{\ displaystyle a}no<2{\ displaystyle a <{\ sqrt {2}}}B{\ displaystyle B}b{\ displaystyle b}b>2{\ displaystyle b> {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Um corte de Dedekind no corpo do som é um par de dois subconjuntos não vazios A e B tais que Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• NO∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ emptyset} ;
• NO∪B=Q{\ displaystyle A \ cup B = \ mathbb {Q}} ;
• ∀no∈NO,∀b∈B,no<b{\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}.

Vemos, portanto, que qualquer número racional r define dois cortes:

• ( A , B ) de modo que A é o conjunto de números racionais estritamente menor que r e B o conjunto de lógicos maior ou igual a r  ;
• ( A ' , B' ) tal que A ' é o conjunto de números racionais menor ou igual a r e B' o conjunto de razões estritamente maiores que r .

Para resolver essa ambigüidade, usamos a seguinte definição de corte:

Um corte deQ{\ displaystyle \ mathbb {Q}} é uma parte A de tal que Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• A é não vazio e diferente de  ;Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
• para todos de A , para todos , se então pertencer a A  ;no{\ displaystyle a}no′∈Q{\ displaystyle a '\ in \ mathbb {Q}}no′<no{\ displaystyle a '<a}no′{\ displaystyle a '}
• A não possui um elemento maior.

Em seguida, definimos como o conjunto desses cortes (para uma generalização, consulte a seção “Usando números surreais” abaixo ). Podemos notar que esta segunda definição torna possível para garantir uma correspondência unívoca entre cada racional r eo corte definida como o conjunto de todas as razões de uma tal forma que . Notamos então que se divide em dois conjuntos, um composto pelos cortes cujo complementar admite um elemento menor, corte da forma , e o outro composto pelos cortes cujo complementar não possui elemento menor. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}NOr{\ displaystyle A_ {r}}no<r{\ displaystyle a <r}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}NOr{\ displaystyle A_ {r}}

Por exemplo, o irracional é representado pelo corte . 2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{no∈Q∣no<0 ou no2<2}{\ displaystyle \ {a \ in \ mathbb {Q} \ mid a <0 {\ mbox {ou}} a ^ {2} <2 \}}

Uma mergulha naturalmente em pelo aplicação injetivo que associa o corte com cada racional r . Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}NOr{\ displaystyle A_ {r}}

Ordem e operações

Relação de pedido  : O conjunto de cortes, fornecido com a relação de inclusão, é então um conjunto totalmente ordenado .

Adição  : definimos uma adição por: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

vs∈NO+B⇔∃no∈NO∃b∈Bvs=no+b{\ displaystyle c \ in A + B \ Leftrightarrow \ existe a \ in A \ quad \ existe b \ in B \ quad c = a + b}.

Esta adição confere uma estrutura de grupo comutativa . A única dificuldade reside em definir o oposto de A  : (se ) ou (se ). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}NO-r{\ displaystyle A _ {- r}}NO=NOr{\ displaystyle A = A_ {r}}-NO¯{\ displaystyle - {\ overline {A}}}NO≠NOr{\ displaystyle A \ neq A_ {r}}

Multiplicação  : a multiplicação é definida primeiro em reais positivos por:

vs∈NO×B⇔∃no∈NO∩Q+∃b∈B∩Q+vs≤nob{\ displaystyle c \ in A \ times B \ Leftrightarrow \ existe a \ in A \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad \ existe b \ in B \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad c \ leq ab}.

A regra dos signos permite então definir a multiplicação de tudo . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Propriedades

O conjunto de cortes, fornecido com esta ordem e estas duas leis, é então um campo totalmente ordenado , verificando além disso a propriedade do limite superior (qualquer conjunto não vazio plus tem um limite superior ).R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Construção via suítes Cauchy

Esta construção é mais difícil de abordar, mas a construção de operações é mais natural. Este método é formalmente análogo ao método de construção que permite, a partir de um espaço métrico E , obter um espaço métrico completo E ' tal que E é denso em E' .

Como e por que falar sobre as sequências de Cauchy

Não poderia haver dúvida, sob pena de um argumento circular , de definir a priori , em um campo K totalmente ordenado , uma distância com valores em ℝ, uma vez que ainda não definimos esta última. As duas noções de sequência de Cauchy e de sequência convergente devem, portanto, ser tomadas (aqui, mas especialmente no parágrafo "Equivalência das duas construções"), não no sentido usual de sequência de Cauchy e de sequência convergente em um espaço métrico, mas em no sentido usual. seguindo a direção: uma sequência ( a n ) em K

• é de Cauchy se

∀ε∈K+∗∃NÃO∈NÃO∀m,não≥NÃO|nonão-nom|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ exists N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall m, n \ geq N \ quad | a_ {n} -a_ { m} | <\ varepsilon} ;

• converge para um elemento a (que é observado :) selimnão→∞nonão=no{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}

∀ε∈K+∗∃NÃO∈NÃO∀não≥NÃO,|nonão-no|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ exists N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N, \ quad | a_ {n} -a | < \ varejpsilon}

onde para todo x ∈ K , o elemento | x | ∈ K denota o maior dos dois elementos x e - x .

Essas duas definições de sequências de Cauchy e sequências convergentes - que em ront corresponderão a posteriori às definições usuais - são aquelas ligadas respectivamente à estrutura uniforme no grupo ordenado ( K , +, ≤) e à topologia da ordem qu ' ela induz. A completude de um espaço uniforme implica a convergência de suas sequências de Cauchy. O inverso, falso em geral, é verdadeiro se o campo K for Arquimediano (e ℝ será). Isso fornecerá um critério simples para mostrar que ℝ está completo (como um espaço uniforme) antes mesmo de ter fornecido sua estrutura de espaço métrico usual. Além disso, usaremos constantemente que, se K for Arquimediano, então o ε que intervém nessas definições pode sempre ser obtido de ℚ + *.

Definição como um todo

A ideia de Cantor (e alguns anos antes dele de Méray ) reside no fato de que se pode chegar a qualquer número real por uma sequência de Cauchy de . O elemento limitante ao qual será necessário dar um significado será então definido como um número real. O conjunto de suítes de Cauchy , que iremos notar , no entanto, parece muito vasto. De fato, por exemplo, para um dado racional, existe uma infinidade de sequências de Cauchy convergindo para este limite. É necessário quociente este conjunto por uma relação de equivalência entre as sequências: duas sequências de Cauchy de números racionais serão ditas equivalentes se sua diferença convergir para 0 (a convergência de uma sequência em ter o significado definido acima, da mesma forma que a propriedade de ser de Cauchy): Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

(vocênão)R(vnão)⇔limnão→∞(vocênão-vnão)=0{\ displaystyle (u_ {n}) {\ mathcal {R}} (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = 0}

Essa relação é de fato uma relação de equivalência, uma vez que é: R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}

• reflexivo porque a sequência nula realmente converge para 0;
• simétrica porque se uma sequência converge para 0, então a sequência oposta também converge para 0;
• transitivo devido à desigualdade triangular no valor absoluto em . Se , e são três sequências de racionais, temos de fato:Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(vocênão){\ displaystyle (u_ {n})}(vnão){\ displaystyle (v_ {n})}(Cnão){\ displaystyle (w_ {n})}

∀não∈NÃO, |vocênão-Cnão|≤|vocênão-vnão|+|vnão-Cnão|.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ | u_ {n} -w_ {n} | \ leq | u_ {n} -v_ {n} | + | v_ {n} -w_ {n} |.}

Definimos então como o conjunto de classes de equivalência de sequências de racionais de Cauchy (para esta relação de equivalência em ). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

Operações

O conjunto de sequências em é naturalmente fornecido com uma estrutura de anel comutativo com adição e multiplicação herdada da estrutura de campo de . Se e forem duas sequências, essas operações são definidas por: Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(vocênão){\ displaystyle (u_ {n})}(vnão){\ displaystyle (v_ {n})}

∀não∈NÃO(você+v)não=vocênão+vnão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}} ; ∀não∈NÃO(você⋅v)não=vocênão⋅vnão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}.

Essas operações mantêm o critério de Cauchy, ou seja, a soma e o produto de duas sequências de Cauchy ainda são sequências de Cauchy. No anel de sequências de valor racional, o subconjunto é, portanto, um subanel. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

Neste anel , o subconjunto das sequências que convergem para 0 é um ideal (ou seja, a soma de duas sequências que convergem para 0, e o produto de uma sequência que converge para 0 por uma sequência de Cauchy, converge para 0). A relação de equivalência surge então como aquela associada a este ideal, o que permite fornecer uma estrutura de anéis quociente (ainda comutativa e unitária). VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Mergulhamos nas suítes fixas. Vamos denotar a classe que contém a seqüência constante igual a . Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(no){\ displaystyle (a)}no∈Q{\ displaystyle a \ in \ mathbb {Q}}

O anel quociente é um corpo.R=VS/R{\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {R}}}

Demonstração

Trata-se de mostrar que qualquer número real diferente de zero admite o inverso. Let Ser um elemento diferente de (0) e uma seqüência desta classe . Dizer que a classe é diferente da classe (0), é dizer que a sequência não converge para 0, que está escrito: no{\ displaystyle a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n}) \;}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}(nonão){\ displaystyle (a_ {n}) \;}

(1)∃ε∈Q+∗ ∀NÃO∈NÃO ∃não≥NÃO, |nonão|≥ε,{\ displaystyle (1) \ qquad \ exists \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*} \ \ forall N \ in \ mathbb {N} \ \ exists n \ geq N, \ | a_ { n} | \ geq \ varepsilon,}

ou ainda: com certeza , há uma infinidade de termos da seqüência que têm um valor absoluto maior que . Como essa sequência é de Cauchy, de um determinado posto N , o valor absoluto da diferença de dois termos é menor que . Deduzimos, usando (1): ε∈Q+∗{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε/2{\ displaystyle \ varepsilon / 2}

(2)∀não≥NÃO, |nonão|≥ε/2{\ displaystyle (2) \ qquad \ forall n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon / 2.}

Deixe a sequência ser definida por if e (por exemplo) se não. Esta sequência de racionais é de Cauchy, porque de acordo com (2), (bnão){\ displaystyle (b_ {n})}bnão=1nonão{\ displaystyle b_ {n} = {\ dfrac {1} {a_ {n}}}}não≥NÃO{\ displaystyle n \ geq N}bnão=0{\ displaystyle b_ {n} = 0}

∀m,não≥NÃO, |bnão-bm|=|nom-nonão||nomnonão|≤4ε2|nom-nonão|.{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | b_ {n} -b_ {m} | = {\ frac {| a_ {m} -a_ {n} |} {| a_ {m} a_ {n } |}} \ leq {\ frac {4} {\ varepsilon ^ {2}}} | a_ {m} -a_ {n} |.}

Podemos, portanto, considerar sua classe em , e temos b{\ displaystyle b}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

nob=(nonãobnão)=(1).{\ displaystyle ab = (a_ {n} b_ {n}) = (1).}

Pedido

Definimos como o subconjunto das classes contendo pelo menos uma sequência de Cauchy com valores em (o conjunto de racionais positivos ou nulos), então definimos uma relação de ordem total ligada ao definir R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q+{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

x≤y⇔y-x∈R+.{\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow yx \ in \ mathbb {R} _ {+}.}

O fato de essa relação ser reflexiva e transitiva é imediato. Que também é anti-simétrico (portanto, define bem uma ordem) resulta do fato de que . É de onde vem essa ordem total . R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}

O corpo foi assim fornecido com uma estrutura de corpo totalmente ordenada . Na verdade, essa ordem é compatível com adição (por construção), mas também com multiplicação (porque é claramente estável por subprodutos). Notamos que esta relação de ordem coincide, on (imersa em como já mencionado), com a relação de ordem usual. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Além disso, provamos que é Arquimediano . Podemos, portanto, concluir: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

(R,≤){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ leq)} é um corpo arquimediano totalmente organizado.

Manifestações

• ≤{\ displaystyle \ leq} é anti-simétrico:

Isso é para provar isso . Deixe isso , vamos mostrar isso . Existem duas sequências de Cauchy , de lógica positiva ou nula representando respectivamente e . Então traduz para: converge para 0 em , o que (uma vez que ) resulta em que também converge para 0, de modo que . R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}no,b∈R+{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R} _ {+}}no=-b{\ displaystyle a = -b}no=(0){\ displaystyle a = (0)}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}(bnão){\ displaystyle (b_ {n})}no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}no+b=(0){\ displaystyle a + b = (0)}(nonão+bnão){\ displaystyle (a_ {n} + b_ {n})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}0≤nonão≤nonão+bnão{\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq a_ {n} + b_ {n}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}no=(0){\ displaystyle a = (0)}

• O pedido é total:≤{\ displaystyle \ leq}

Isso é para provar isso . Let and be uma sequência de Cauchy de racionais que representam esta classe. Se esta sequência admite uma infinidade de termos positivos ou nulos, visto que a subsequência correspondente representa a mesma classe ,. Mesma coisa, substituindo "positivo" por "negativo" e por . No entanto, esses dois casos (não exclusivos) cobrem todas as possibilidades. R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}no∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}no∈R+{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {+}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}-R+{\ displaystyle - \ mathbb {R} _ {+}}

• R{\ displaystyle \ mathbb {R}} é arquimediano:

É uma questão de mostrar que, para todos os reais e , existe um inteiro tal que . Apenas pergunte . O real para a sequência de Cauchy racional representativa , portanto, aumentou. Pegamos todo um limite superior dessa sequência. Para o todo , temos então , portanto, portanto . no>0{\ displaystyle a> 0 \,}b≥0{\ displaystyle b \ geq 0}NÃO{\ displaystyle N \,}NÃOno≥b{\ displaystyle Na \ geq b}x=bno{\ displaystyle x = {\ dfrac {b} {a}}}x{\ displaystyle x}(xnão){\ displaystyle (x_ {n})}NÃO{\ displaystyle N}não{\ displaystyle n}NÃO-xnão∈Q+{\ displaystyle N-x_ {n} \ in \ mathbb {Q} _ {+}}(NÃO)-x∈R+{\ displaystyle (N) -x \ in \ mathbb {R} _ {+}}NÃO≥x{\ displaystyle N \ geq x}NÃOno≥b{\ displaystyle Na \ geq b}

Integridade

Em , a ordem que acabamos de definir dá sentido às noções de sequência de Cauchy e sequência convergente. Mostraremos que todo real é limitado a uma série de lógicas. Mais precisamente: se uma seqüência de racionais de Cauchy representa um real, então a seqüência de reais converge em para . Assim, todas as sequências de Cauchy de racionais convergem em . Mostraremos que este também é o caso para qualquer sequência de reais de Cauchy: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}no{\ displaystyle a}((nonão)){\ displaystyle ((a_ {n}))}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}no{\ displaystyle a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}é denso e completo.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Demonstração

• Cada sequência de racionais de Cauchy converge em direção à sua classe:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Usaremos as letras maiúsculas para designar os reais e as minúsculas para designar os racionais. Seja uma seqüência de números racionais de Cauchy, sua classe e (para qualquer inteiro n ) o real representado pela seqüência constante . Procuramos, para um racional fixo, provar a existência de um inteiro N tal que (nonão){\ displaystyle (a_ {n})}NO{\ displaystyle A}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}nonão{\ displaystyle a_ {n}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

∀não≥NÃO, ε-|NOnão-NO|∈R+.{\ displaystyle \ forall n \ geq N, \ \ varepsilon - | A_ {n} -A | \ in \ mathbb {R} _ {+}.}

Para isso, basta aplicar o critério de Cauchy à sequência , observando que se então para todos , a sequência racional é positiva ou nula do posto N, portanto a classe que ela representa está em . (nonão){\ displaystyle (a_ {n})}∀m,não≥NÃO, |nonão-nom|≤ε{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | a_ {n} -a_ {m} | \ leq \ varepsilon}não≥NÃO{\ displaystyle n \ geq N}(ε-|nonão-nom|)m{\ displaystyle (\ varepsilon - | a_ {n} -a_ {m} |) _ {m}}ε-|NOnão-NO|{\ displaystyle \ varepsilon - | A_ {n} -A |}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

• Em , cada sequência de Cauchy converge:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Seja uma sequência de Cauchy de números reais, trata-se de provar que essa sequência converge em . Vimos anteriormente que todo real é limite de racionais. Podemos, portanto, escolher, para qualquer inteiro n > 0, um racional tal que . A seqüência então converge para 0. A seqüência é, portanto, como , de Cauchy. Podemos, portanto, considerar sua classe: denote por U este real. Desde converge para L e que converge para 0, a seqüência converge para L . (vocênão){\ displaystyle (U_ {n})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}nonão{\ displaystyle a_ {n}}|vocênão-nonão|≤1/não{\ displaystyle | U_ {n} -a_ {n} | \ leq 1 / n}(vocênão-nonão){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}(vocênão){\ displaystyle (U_ {n})}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}(vocênão-nonão){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(vocênão){\ displaystyle (U_ {n})}

Equivalência das duas construções

A construção pelos cortes de Dedekind fornece um campo totalmente ordenado que verifica a propriedade do limite superior: todo subconjunto não vazio com um limite superior tem um limite superior. That by Cauchy suites fornece um corpo arquimediano totalmente ordenado completo. Essas duas propriedades são de fato equivalentes. Além disso, qualquer campo que os satisfaça é isomorfo ao campo ℝ construído pelo método das sequências de Cauchy. Podemos, portanto, afirmar o seguinte teorema falando de “o” corpo ℝ sem especificar “qual” ele é. Uma conseqüência desse teorema é que as caracterizações 1), 2), 3) todas implicam que o campo é comutativo e que o subcampo é denso (já que este é o caso do campo ℝ construído pelas sequências de Cauchy). Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Seja K um campo totalmente ordenado. As seguintes propriedades são equivalentes:

1. K verifica a propriedade do limite superior;
2. K satisfaz o teorema do limite monotônico para sequências  ;
3. K é arquimediano e completo;
4. K é arquimediano e satisfaz o teorema das sequências adjacentes  ;
5. K é isomórfico a ℝ.

Demonstração

• (3)⇒(4){\ displaystyle (3) \ Rightarrow (4)} porque duas suítes adjacentes são de Cauchy.
• (4)⇒(1){\ displaystyle (4) \ Rightarrow (1)}

Ou E um conjunto contendo um elemento e delimitada por M .x{\ displaystyle x} Se é um limite superior de E , em seguida, é o limite superior de E .x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x} Caso contrário, procedemos por dicotomia para provar que E tem um limite superior (o menor do limite superior). Criamos duas sequências e definimos por indução da seguinte forma: (nonão){\ displaystyle (a_ {n}) \,}(bnão){\ displaystyle (b_ {n}) \,} no0=x{\ displaystyle a_ {0} = x \,} e b0=M{\ displaystyle b_ {0} = M \,} para todos , não{\ displaystyle n \,}se é um limite superior, enonão+bnão2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ over 2}nonão+1=nonão{\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} \,}bnão+1=nonão+bnão2{\ displaystyle b_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ over 2}} se não for um limite superior, enonão+bnão2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ over 2}nonão+1=nonão+bnão2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ over 2}}bnão+1=bnão{\ displaystyle b_ {n + 1} = b_ {n} \,} O princípio de construção garante que: a sequência ( ) é uma sequência crescente da qual nenhum termo é o limite superior de E  ;nonão{\ displaystyle a_ {n}} a sequência ( ) é uma sequência decrescente da qual todos os termos são o limite superior de E  ;bnão{\ displaystyle b_ {n}} para qualquer inteiro n , então a sequência ( ) converge para 0 (aqui usamos que K é arquimediano).|bnão-nonão|=2-não(M-x){\ displaystyle | b_ {n} -a_ {n} | = 2 ^ {- n} (Mx) \,}bnão-nonão{\ displaystyle b_ {n} -a_ {n}} As suítes são, portanto, adjacentes. De acordo com (4), eles convergem para um limite comum .ℓ{\ displaystyle \ ell} Resta mostrar que o limite superior é de fato.ℓ{\ displaystyle \ ell} Para qualquer real de E , porque é um limite superior. Então passando ao limite, por tudo real em , . é, portanto, um limite superior de E .y{\ displaystyle y \,}y≤bnão{\ displaystyle y \ leq b_ {n}}bnão{\ displaystyle b_ {n} \,}y{\ displaystyle y \,}E{\ displaystyle E \,}y≤ℓ{\ displaystyle y \ leq \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell} Para qualquer M ' maiorante real de E , porque nunca é um limite superior. Ao passar para o limite, para qualquer limite superior H de E , . é o menor do limite superior.nonão<M′{\ displaystyle a_ {n} <M '\,}nonão{\ displaystyle a_ {n} \,}ℓ≤M′{\ displaystyle \ ell \ leq M '}ℓ{\ displaystyle \ ell}

• (1)⇒(2){\ displaystyle (1) \ Rightarrow (2)} : veja Teorema do Limite Monotônico .
• (2)⇒(3){\ displaystyle (2) \ Rightarrow (3)}

(2)⇒{\ displaystyle (2) \ Rightarrow} K é arquimediano (em outras palavras: a sequência (1 / n ) converge) porque está diminuindo e subestimando. (2)⇒{\ displaystyle (2) \ Rightarrow}em K , toda sequência de Cauchy converge: Ou é uma sequência de Cauchy em K . Nós podemos extrair uma sub- sequência monótona ( ver propriedades de sub-suites ), que é delimitada (como foi o Leste), de modo que converge em K . Como a é Cauchy, ele converge (para o mesmo limite).

• (3)⇔(5){\ displaystyle (3) \ Leftrightarrow (5)} :

Escolhemos aqui como o corpo ℝ aquele construído pelas sequências de Cauchy. Por construção . Inversamente, suponha K Arquimediano completo e defina um mapa por: se é a classe de uma sequência de Cauchy de racionais então, em K , (esse limite existe e não depende da escolha do representante ). Por construção, é compatível com as operações e estritamente crescente. Por fim, é sobrejetivo, graças ao fato de K ser Arquimedeano: para todos e todos , existe um racional entre e  :, onde é o menor inteiro superior . Essa sequência é de Cauchy e sua classe é um antecedente do par .(5)⇒(3){\ displaystyle (5) \ Rightarrow (3)}f:R→K{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to K}no∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}f(no)=lim(nonão){\ displaystyle f (a) = \ lim (a_ {n})}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}b∈K+{\ displaystyle b \ in K _ {+}}não>0{\ displaystyle n> 0}nonão{\ displaystyle a_ {n}}b{\ displaystyle b}b+1/não{\ displaystyle b + 1 / n}nonão=p/não{\ displaystyle a_ {n} = p / n}p{\ displaystyle p}nãob{\ displaystyle nb}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}no∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}b{\ displaystyle b}f{\ displaystyle f}

Observação. Estas equivalências mostrar em particular, que cada corpo L totalmente ordenado e Arquimedes é isomórfico a um subcampo do corpo ordenou R . Com efeito, a realização de L (construído pelo mesmo processo de Cauchy sequências a preenchido R de Q ) vai (pelos mesmos argumentos) um corpo K contendo G , e, por conseguinte, completa de Arquimedes isomorfo a R .

Outras construções

Outras construções rigorosas têm sido propostas, mas geralmente apresentam apenas um interesse de curiosidade, porque se prestam menos a generalizações, ou mesmo requerem conhecimentos prévios em profundidade para poderem ser justificadas.

Usando números hiperreais

Ao contrário do que seu nome pode sugerir, não há nenhum círculo vicioso aqui: de fato, é possível definir diretamente os hiper-racionais * Q (por ultraproduto , ou seja, por quociente Q N por um ultrafiltro não trivial em N ); o anel B dos elementos "acabados" a * Q (o conjunto de elementos de aumento de um nero inteiro padrão) é ideal máxima que todos infinitesimal, e o quociente B / I é isomorfa a R . Além de seu caráter um tanto artificial, essa construção requer o axioma da escolha , que pode parecer desnecessariamente restritivo.

Usando números surreais

A construção por cortes de Dedekind parece difícil de generalizar, e as leis (especialmente a multiplicação) parecem um pouco artificiais. Porém, em 1974, John Horton Conway conseguiu mostrar que uma construção semelhante poderia se estender a uma classe de novos números, chamados de números surreais , generalizando tanto reais quanto ordinais , e para os quais a definição de operações pode ser feita de forma completamente natural caminho.

Sabemos que o campo On dos números surreais ( corpo escrito com letra maiúscula, porque é uma classe própria ) contém todos os campos ordenados (exceto para isomorfismo); podemos, portanto, definir R como o maior subcampo arquimediano de On . Conway dá uma construção intrínseca mais complicada e também aponta que os números criados no dia ω contêm R , ± ω, e os números da forma , e que é, portanto, suficiente encontrar R para remover o último; esta última construção, embora rigorosa, parece altamente artificial, o que o próprio autor reconhece. p/2não ± 1/ω{\ displaystyle p / 2 ^ {n} \ \ pm \ 1 / \ omega}

Por quase-morfismos

A seguinte construção parece pouco conhecida; publicado em 1975, ele usa apenas o grupo aditivo de inteiros relativos Z e é baseado na noção de quase-morfismo. Esta construção foi rigorosa (e automaticamente ) verificada pelo projeto IsarMathLib. Uma de suas vantagens é que não usa o axioma de escolha .

Dizemos que uma aplicação é um quase morfismo se o conjunto for finito ou se a função for limitada. A função g mede o defeito de que f é um morfismo de grupo. O conjunto de quase-morfismos é estável por adição e composição. Dois quase-morfismos são considerados quase iguais se o conjunto for finito. Essa relação é uma relação de equivalência no conjunto dos quase-morfismos, compatível com adição e composição; o conjunto quociente, fornecido com a adição e a multiplicação correspondente, é um campo isomorfo a R  ; para definir a ordem, dizemos que (onde representa a classe de equivalência de ) si é limitado ou assume uma infinidade de valores positivos sobre N , e podemos mostrar que o campo está então totalmente ordenado, o que prova o isomorfismo. De fato, é possível explicitar: se admitirmos a priori a existência de R (construído por um dos métodos anteriores), então, para qualquer quase-morfismo , a sequência converge em R para um limite , e a função é limitada em Z . Da segunda afirmação, segue-se que o limite c ( f ) depende apenas da classe de equivalência [ f ] de f  ; novamente observando que c ([ f ]), c é o isomorfismo procurado. f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}{f(não+m)-f(m)-f(não)∣não,m∈Z}{\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n) \ mid n, m \ in \ mathbb {Z} \}}g(não,m)=f(não+m)-f(não)-f(m){\ displaystyle g (n, m) = f (n + m) -f (n) -f (m)}{f(não)-g(não)∣não∈Z}{\ displaystyle \ {f (n) -g (n) \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}[f]≤[g]{\ displaystyle [f] \ leq [g]}[f]{\ displaystyle [f]}f{\ displaystyle f}g-f{\ displaystyle gf}f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}f(não)/não{\ displaystyle f (n) / n}vs(f){\ displaystyle c (f)}não↦f(não)-vs(f)não{\ displaystyle n \ mapsto f (n) -c (f) n}

Notas e referências

1. (De) Georg Cantor, "  Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen  " , Math. Ann. , vol.  5,1872, p.  123-132 ( ler online ).
2. Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan e os fundamentos da análise , Universidade de Paris-Sud , Mathematical Publications of Orsay,1982( leia online ) , p.  13.
3. Roger Godement apresentou uma versão mais completa, mas ainda insuficientemente formalizada, e não explicando os algoritmos de cálculo, no artigo Calcul infinitesimal que escreveu para a Encyclopædia Universalis  ; uma construção completamente rigorosa é dada em (in) Barbara Burke Hubbard e John H. Hubbard , Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, a Unified Approach , c. 0, seção 0.4.
4. (in) Terence Tao, compactness and Contradiction , American Mathematical Society, 2013 ( leia online ), c. 1, pág. 14
5. (en) John H. Conway, On Numbers and Games , p.  25 e seguindo.
6. Um real é um elemento x de On limitado (existe n inteiro tal que - n <x <n ) tal quex={x-(1/não)não∈NÃO|x+(1/não)não∈NÃO}.{\ displaystyle x = \ {x- (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} | x + (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} \}.}
7. Encontramos várias versões, por exemplo em [1] , [2] e [3] (en) , bem como uma descrição precisa em Xavier Caruso, "  Uma pouco conhecida encarnação do corpo de números reais  " ,setembro de 2008.
8. Caruso 2008 .
9. (in) Reuben Hersh  (in) , What is Mathematics, Really? , Nova York, Oxford University Press ,1997( leia online ) , p. 274 .
10. No caso geral, um quase-morfismo de um grupo G para R é um mapa tal que o conjunto de f (xy) -f (x) -f (y) é limitado; ver [4] (en) .
11. Entenderemos melhor por que observando que se for um real, o mapa (a parte inteira de ) é um quase-morfismo com o qual a classe será identificada .no{\ displaystyle a}não↦E(nãono){\ displaystyle n \ mapsto E (na)}nãono{\ displaystyle na}no{\ displaystyle a}

Veja também

Artigos relacionados

• Axioms Tarski de verdade  (em)
• Construção de números racionais

links externos

• Uma construção de R por cortes [PDF] por Jean Gounon, professor do colégio Camille-Sée
• Uma construção de R pelas suítes Cauchy [PDF] por Jean Gounon

Bibliografia

• (pt) Holger Teismann, “  Toward a More Complete List of Completeness Axioms  ” , Amer. Matemática. Mensalmente , vol.  120, n o  22013, p.  99-114 ( DOI  10.4169 / amer.math.monthly.120.02.099 )
• (pt) James Propp  (pt) , “  Real Analysis in Reverse  ” , Amer. Matemática. Mensalmente , vol.  120, n o  5,2013, p.  392-408 ( arXiv  1204.4483 )
• (pt) Arnold Knopfmacher e John Knopfmacher, “  Duas novas construções concretas dos números reais  ” , Rocky Mountain J. Math. , vol.  18, n o  4,1988, p.  813-824 ( ler online )- Construções da série de Engel e Sylvester .

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