Corte Dedekind
Em matemática , um corte Dedekind de um conjunto totalmente ordenado E é um par ( A , B ) de subconjuntos de E , as quais juntas formam uma partição de E , e em que qualquer elemento de um é menor do que qualquer elemento de B .
De alguma forma, esse corte conceitua algo que seria "entre" A e B , mas isso não é necessariamente um elemento E .
Os cortes de Dedekind foram introduzidos por Richard Dedekind como um meio de construir o conjunto de números reais (apresentando formalmente o que está "entre" os números racionais ).
Definição
Um corte Dedekind de um conjunto totalmente ordenado E é definido por um par ( A , B ) de subconjuntos de E, tais como:
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A e B não estão vazios ;
- sua união é igual a E ;
- qualquer elemento de A é estritamente menor do que qualquer elemento de B ;
- se B tem um limite inferior , em E , em seguida, este limite inferior em B .
Os pontos 1, 2 e 3 implicam que uma e B executar uma partição de E . Portanto, os dados de um determinam inteiramente o outro.
O ponto 3 estabelece a divisão dos elementos de E nessas duas partes. É possível mostrar que este ponto equivale a:
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∀x∈E,(no∈NO∧x≤no⇒x∈NO){\ displaystyle \ forall x \ in E, (a \ in A \ land x \ leq a \ Rightarrow x \ in A)} ;
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∀y∈E,(b∈B∧y≥b⇒y∈B){\ displaystyle \ forall y \ in E, (b \ in B \ land y \ geq b \ Rightarrow y \ in B)} ;
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NO∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}.
Ponto 4 pode mostrar que a aplicação que a cada elemento x de E combina o de corte é um bijeç~ao entre E e todos os seus cortes Dedekind ( A , B ) de tal modo que B tem um limite inferior, em E .
({no∈E|no<x},{b∈E|x≤b}){\ displaystyle (\ {a \ in E | a <x \}, \ {b \ in E | x \ leq b \})}
Exemplos
Construção de números reais
Se E é o conjunto ℚ de números racionais , podemos considerar o seguinte corte:
NO={no∈Q∣no2<2∨no≤0},B={b∈Q∣b2≥2∧b>0}.{\ displaystyle A = \ {a \ in \ mathbb {Q} \ mid a ^ {2} <2 \ lor a \ leq 0 \}, \ quad B = \ {b \ in \ mathbb {Q} \ mid b ^ {2} \ geq 2 \ land b> 0 \}.}
Este corte permite representar o número irracional √ 2 que é aqui definido tanto pelo conjunto dos números racionais que lhe são inferiores como pelo dos números racionais que lhe são superiores.
Levar em consideração todos os cortes de Dedekind em ℚ permite a construção do conjunto ℝ de números reais .
Uma reformulação desta construção é manter apenas o componente A dos pares ( A , B ) acima, ou seja, chamar “cortes de Dedekind” todas as partes próprias não vazias de ℚ, estáveis por rebaixamento e não tendo um elemento maior . Um x real é então representado pelo conjunto A de todos os racionais estritamente menores que x .
Pedido de cortes Dedekind
Definimos uma ordem no conjunto de cortes Dedekind de E por configuração, para todos os cortes Dedekind ( A , B ) e ( C , D ) de E :
(NO,B)≤(VS,D)⇔NO⊂VS.{\ displaystyle (A, B) \ leq (C, D) \ Leftrightarrow A \ subset C.}
É possível mostrar que o conjunto de cortes Dedekind de E fornecidos com esta ordem possui a propriedade do limite superior , mesmo que E não o possua. Ao imergir E neste conjunto, nós o estendemos para um conjunto no qual qualquer parte não vazia e aumentada tem um limite superior.
Notas e referências
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(en) Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory , Elsevier ,1977( leia online ) , p. 112-120- Um livro-texto universitário de primeiro ciclo em teoria dos conjuntos, que não "prejulga qualquer formação". É escrito para acompanhar um curso centrado na teoria dos conjuntos axiomática, ou na construção de sistemas numéricos; o material axiomático é marcado para que possa ser desmistificado (p. xi-xii).
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(em) Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis , McGraw-Hill ,1976, 3 e ed. ( 1 st ed. 1953) ( linha de leitura ) , p. 17-21- Livro didático para um curso universitário avançado de segundo ciclo. “A experiência me convenceu de que é pedagogicamente mal aconselhado (embora logicamente correto) iniciar a construção de reais a partir de lógicas. No início, a maioria dos alunos simplesmente não vê por que fazer isso. Portanto, apresentamos o sistema de números reais como um campo ordenado que satisfaz a propriedade do limite superior e rapidamente mostramos algumas propriedades. No entanto, a construção de Dedekind não é omitida. Ele está anexado ao Capítulo 1, onde pode ser estudado e apreciado no momento certo. »(P. Ix).
Veja também
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