Teorema Erdős-Szemerédi
Na combinatória aritmética , o teorema de Erdős-Szemerédi garante que existam constantes estritamente positivas c e ε tais que para qualquer conjunto finito A de números reais ,
max(|NO+NO|,|NO⋅NO|)≥vs|NO|1+ε{\ displaystyle \ max (| A + A |, | A \ cdot A |) \ geq c | A | ^ {1+ \ varepsilon}}
onde | | denota o cardeal , a soma dos conjuntos de A com ele mesmo eNO+NO={no+b | no,b∈NO}{\ displaystyle A + A = \ {a + b ~ | ~ a, b \ in A \}}
NO⋅NO={no⋅b | no,b∈NO}.{\ displaystyle A \ cdot A = \ {a \ cdot b ~ | ~ a, b \ in A \}.}
Pode acontecer que A seja comparável em tamanho a A + A (se A estiver em progressão aritmética ) ou a A ∙ A (se A estiver em progressão geométrica ). O teorema Erdős-Szemerédi pode, portanto, ser interpretado informalmente, dizendo que um conjunto “grande” não pode “se comportar” simultaneamente como uma progressão aritmética e uma progressão geométrica; também podemos dizer que a reta real não contém um conjunto que “se parece” com um subanel finito. Este é o primeiro exemplo do que agora é chamado de "fenômeno soma-produto", que é conhecido por ocorrer para muitos anéis e corpos, incluindo campos finitos .
Erdős e Szemerédi conjeturaram que ε pode ser escolhido arbitrariamente próximo a 1. Em 2009, o melhor resultado nessa direção é o de Solymosi: ε pode ser escolhido arbitrariamente próximo a 1/3.
Notas e referências
(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
“ Erdős - Teorema de Szemerédi ” ( ver a lista de autores ) .
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(em) P. Erdős e E. Szemerédi , "Ele soma e produtos de inteiros" em P. Erdős, Alpár L.,
G. Halász (hu) e A. Sárközy , Estudos em Matemática Pura: Para a Memória de Paul Turán , Birkhäuser ,1983( leia online ) , p. 213-218
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(em) Terence Tao , " O fenômeno da soma-produto em anéis arbitrários " , Discrete Math. , vol. 4, n o 22009, p. 59-82, arXiv : 0806.2497
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(em) Jozsef Solymosi , " energia delimitadora multiplicativa pelo somatório " , Advan. Matemática. , vol. 222, n o 22009, p. 402-408, pré-impressão arXiv : 0806.1040
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