Teorema de Kerin-Milman

O teorema de Kerin-Milman é um teorema, demonstrado por Mark Kerin e David Milman em 1940, que generaliza para certos espaços vetoriais topológicos um resultado geométrico relacionado a conjuntos convexos declarados por Hermann Minkowski em dimensão finita (e muitas vezes incorretamente chamado de “Kerin-Milman teorema").

Uma forma particularmente simplificada do teorema é declarada: qualquer polígono convexo é o envelope convexo do conjunto de seus vértices. Isso também é verdadeiro para um politopo convexo.

Conceito de "ponto extremo"

Deixe ser um convexo e um ponto de . Dizemos que é um ponto extremo de quando ainda é convexo. Isso equivale a dizer que, com , igualdade implica . $VS$ $vs$ $VS$ $vs$ $VS$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ in C}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {c_ {1} + c_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}$

Declaração em dimensão finita

Teorema - Qualquer convexo compacto de um espaço afim de dimensão finita é o envelope convexo do conjunto de seus pontos finais.

A prova não é muito longa, sendo a ferramenta essencial o teorema da existência de um hiperplano de suporte em qualquer ponto da fronteira de um convexo.

Demonstração

A prova é uma recorrência na dimensão do convexo. O resultado é óbvio para um singleton; vamos agora supor que o resultado seja verdadeiro para todos os convexos de dimensão estritamente menor que um inteiro fixo , e seja um convexo de dimensão . $k$ $VS$ $k$

Mesmo que signifique substituir o espaço ambiente pelo envelope afim de , podemos supor que se trata de um espaço afim cuja dimensão também o é . $VS$ $k$

Vamos agora pegar um ponto de e mostrar que ele está no envelope convexo dos pontos extremos. Para fazer isso, traçamos uma linha de passagem . O conjunto é então um convexo de , compacto pela suposição de compactação feita em . É, portanto, da forma , onde . $m$ $VS$ $D$ $m$ $C \ cap D$ $D$ $VS$ $[a, b]$ ${\ displaystyle m \ in [a, b]}$

Agora, como eles são aderentes ao complemento de , eles são, portanto, pontos de fronteira deste convexo. Existem, portanto, hiperplanos de suporte e nesses pontos. Vamos apresentar o convexo e . $no$ $b$ $VS$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle H_ {b}}$ ${\ displaystyle C_ {a} = C \ cap H_ {a}}$ ${\ displaystyle C_ {b} = C \ cap H_ {b}}$

Notamos então que qualquer ponto extremo de (rep. ) Ainda é um ponto extremo de . Deixe de fato ser um tal ponto extremo de , então e dois pontos de . Se pelo menos um dos dois pontos e não estiver dentro , dado o caráter separador desse hiperplano, todo o segmento aberto permanece em um único meio-espaço aberto delimitado por e, portanto, evita ; se e estão ambos ligados , é a convexidade do que garante que evita . Em todos os casos, o segmento é, portanto, bastante completo e, portanto, extremo em $Isto}$ $C_ {b}$ $VS$ $vs$ $Isto}$ $x$ $y$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ $x$ $y$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle] x, y [}$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ $vs$ $x$ $y$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle C_ {a} \ setminus \ {c \}}$ $[x, y]$ $vs$ $[x, y]$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ $vs$ ${\ displaystyle C.}$

Além disso, como e são de dimensão , os dois são convexos e de dimensão estritamente inferior . Podemos, portanto, aplicar a hipótese de indução a eles. Isso mostra que (resp. ) É uma combinação linear de pontos finais de (resp. ), Portanto, de pontos finais de . Contanto que, portanto, pertença ao envelope convexo desses pontos finais, então, por sua vez, uma vez que está no segmento . ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle H_ {b}}$ $k-1$ $Isto}$ $C_ {b}$ $k$ $no$ $b$ $Isto}$ $C_ {b}$ $VS$ $no$ $b$ $m$ $[a, b]$

Generalização em dimensão infinita

Teorema - Qualquer convexo compacto de um espaço localmente convexo separado é o envelope convexo-fechado do conjunto de seus pontos finais.

O "recíproco (parcial) de Milman" garante que essa representação de um K convexo compacto como o envelope convexo-fechado de uma parte de K é, em certo sentido, ótima: a adesão de tal parte contém os pontos extremos de K .

Notas e referências

(em) Mr. Kerin e D. Milman , " extremo On the point of convex sets Regularly " , Studia Mathematica , vol. 9,1940, p. 133-138
(em) David Milman , " Characteristics of extremal point of convex sets Regularly " , Doklady Akad. Nauk SSSR (NS) , vol. 57,1947, p. 119-122.

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty e Claude Lemaréchal, Fundamentos da análise convexa , col. "Grundlehren Text Editions", Springer, 2001 ( ISBN 3540422056 ) , p. 41-42, 57 e 246

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