Transversal Universal de Mercator
A projeção Transverse Mercator Universal (Inglês Transverse Mercator UTM) é um tipo de projeção de mapa conforme a superfície da Terra. A Alemanha o usa sob o nome de Projeção Gauss-Krüger . Esta projeção é uma projeção cilíndrica onde o eixo do cilindro cruza perpendicularmente o eixo dos pólos do elipsóide terrestre no centro do elipsóide.
Na prática, para cobrir a superfície da Terra, ela é dividida em 60 fusos de 6 graus, separando o hemisfério norte do hemisfério sul. Ou seja, um total de 120 zonas (60 para o Norte e 60 para o Sul). Em seguida, desenvolvemos a tangente do cilindro ao elipsóide ao longo de um meridiano para obter uma representação plana.
As áreas polares (além de 84,5 graus de latitude norte e abaixo de 80,5 graus de latitude sul) não são teoricamente cobertas por este sistema de projeção, embora o cilindro usado seja tangente aos dois pólos.
Não é, porém, um obstáculo real, se se admite estender a divisão retangular da projeção, de modo a cobrir mais de 6 ° longitudes além do equador. Isso é o que geralmente é usado em mapas, onde a extensão da longitude ajuda a manter uma boa precisão aproximadamente semelhante àquela ao longo do equador.
Uma variação mais exata dessa projeção é não usar um cilindro perfeito, mas um cilíndrico achatado nos pólos e tangente ao longo dos dois meridianos opostos ao elipsóide de referência.
A vantagem dessa variante é manter as distâncias ao longo de todo o meridiano de referência. Também neste caso, a precisão das distâncias em torno dos pólos não depende mais do meridiano de referência escolhido para a projeção, torna-se então possível construir um mapa retangular contínuo cobrindo todos os dois fusos opostos ao longo de uma faixa fina (largura exatamente 6 ° no equador).
O território metropolitano francês está localizado em 3 zonas:
- UTM Norte, zona 30: entre 6 graus Oeste e 0 graus Greenwich;
- UTM Norte, zona 31: entre 0 graus e 6 graus East Greenwich;
- UTM Norte, zona 32: entre 6 graus leste e 12 graus leste Greenwich.
Uma projeção não deve ser confundida com um sistema geodésico (por exemplo WGS72 , WGS84 , RGF93 ) tornando possível localizar um ponto na superfície da Terra. Qualquer projeção pode ser associada a qualquer sistema geodésico; se hoje o sistema geodésico utilizado é geralmente baseado no WGS84, é no entanto aconselhável, para evitar ambigüidades, associar os nomes do sistema geodésico e da projeção; por exemplo, na França, o sistema geodésico NTF permaneceu até recentemente o sistema regulatório e geralmente está associado à projeção estendida de Lambert II, mas também encontramos as projeções de Lambert Zona I a IV.
A projeção UTM está associada a um ponto de referência virtual de modo que a intersecção do equador e o meridiano central da zona considerada tenha por coordenadas:
- para o hemisfério norte: abscissa +500 km, ordenada 0;
- para o hemisfério sul: abscissa +500 km, ordenada +10.000 km.
Este deslocamento do ponto de referência permite obter coordenadas positivas para todos os pontos da zona.
Coordenadas: geográficas ou de projeção?
O uso de coordenadas de projeção (por exemplo, E e N UTM) em vez de coordenadas geográficas (Latitude / Longitude) é geralmente considerado vantajoso pelos seguintes motivos:
- As coordenadas são baseadas em um sistema decimal, que é mais fácil de usar para cálculos do que o sistema sexagesimal. Porém, com longitudes e latitudes sempre podemos trabalhar em graus "decimais" sem ter que usar minutos e segundos de ângulos;
- O sistema é "retangular" e é medido em quilômetros. Podemos, portanto, calcular diretamente distâncias aproximadas a partir de coordenadas UTM. Um ponto na zona UTM 13 com coordenadas (315,1 km, 3.925,1 km) está exatamente a 1 km do ponto na zona 13 (315,1 km, 3.924,1 km). No entanto, esta correspondência só é aproximada se os pontos não estão no mesmo meridiano, e não é mais válida quando mudamos de zona.
Os receptores GPS fornecem uma posição no sistema geodésico WGS84 como padrão . Alguns mapas de caminhadas recentes usam a projeção UTM e referem-se ao sistema geodésico WGS84. Outros mapas usam uma projeção nacional ou local, referindo-se a outros sistemas geodésicos (por exemplo, na França, os mapas de caminhada IGN usam uma projeção de Lambert , com uma grade UTM e coordenadas UTM nas margens. Exterior).
Fórmulas para passar de latitude, longitude (φ, λ) para coordenadas UTM (E, N)
Fórmulas com precisão centimétrica
As fórmulas exatas são complicadas e não muito utilizáveis. Propomos fórmulas aproximadas com uma precisão da ordem de um centímetro.
Por convenção, usamos o sistema geodésico WGS 84 que descreve a Terra por um elipsóide de revolução do eixo Norte-Sul, de raio no equador a = 6378,137 km e de excentricidade e = 0,0818192. Consideramos um ponto geodésico de latitude φ e longitude λ. Observe a longitude do meridiano de referência (longitude correspondente ao meio da zona UTM alvo).
λ0{\ displaystyle \ lambda _ {0}}![\ lambda _ {{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa5ad1eb6cdaf3d8dfd77991ee9ce7bdf169184)
Os ângulos são expressos em radianos. Aqui estão os valores intermediários para calcular:
ν(φ)=1/1-e2pecado2φ{\ displaystyle \ nu (\ varphi) = 1 / {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}
NO=(λ-λ0)porqueφ{\ displaystyle A = (\ lambda - \ lambda _ {0}) \, \ cos \ varphi}
s(φ)=(1-e24-3e464-5e6256)φ-(3e28+3e432+45e61024)pecado2φ+(15e4256+45e61024)pecado4φ-35e63072pecado6φ{\ displaystyle s (\ varphi) = (1 - {\ frac {e ^ {2}} {4}} - {\ frac {3e ^ {4}} {64}} - {\ frac {5e ^ {6 }} {256}}) \ varphi - ({\ frac {3e ^ {2}} {8}} + {\ frac {3e ^ {4}} {32}} + {\ frac {45e ^ {6} } {1024}}) \ sin 2 \ varphi + ({\ frac {15 ° ^ {4}} {256}} + {\ frac {45e ^ {6}} {1024}}) \ sin 4 \ varphi - { \ frac {35e ^ {6}} {3072}} \ sin 6 \ varphi}
T=bronzeado2φ,VS=e21-e2porque2φ,k0=0,9996{\ displaystyle T = \ tan ^ {2} \ varphi, \ quad C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} \ cos ^ {2} \ varphi, \ quad k_ {0} = 0,9996}
No hemisfério norte e no hemisfério sul .
NÃO0=0{\ displaystyle N_ {0} = 0}
NÃO0=10.000km{\ displaystyle N_ {0} = 10.000 km}![N _ {{0}} = 10.000 km](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae72144319b348ba57f5a960e3f99531fcbd5b6)
Aqui estão as fórmulas de trânsito, fornecendo as coordenadas UTM em quilômetros:
E,NÃO{\ displaystyle E, N}![DENTRO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07719e20a1f5f4332406ed06ff2dbb9cec68f6ee)
E=500+k0noν(φ)(NO+(1-T+VS)NO36+(5-18T+T2)NO5120){\ displaystyle E = 500 + k_ {0} a \ nu (\ varphi) {\ Big (} A + (1-T + C) {\ frac {A ^ {3}} {6}} + (5- 18T + T ^ {2}) {\ frac {A ^ {5}} {120}} {\ Big)}}
NÃO=NÃO0+k0no(s(φ)+ν(φ)bronzeadoφ(NO22+(5-T+9VS+4VS2)NO424+(61-58T+T2)NO6720)){\ displaystyle N = N_ {0} + k_ {0} a \, {\ Big (} s (\ varphi) + \ nu (\ varphi) \, \ tan \ varphi {\ Big (} {\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 9C + 4C ^ {2}) {\ frac {A ^ {4}} {24}} + (61-58T + T ^ {2}) { \ frac {A ^ {6}} {720}} {\ Grande)} {\ Grande)}}
Um exemplo detalhado do uso de fórmulas
Tomemos 5 ° 50'51 ", 45 ° 09'33", estamos na zona 31 (zona entre 0 ° e 6 °), 3 °. Você deve encontrar: considerando o elipsóide WGS84 (semi-eixo maior a = 6378137. M e achatamento f = 1 / 298,257223563). Lembre-se de que a excentricidade quadrada é calculada da seguinte forma:
λ={\ displaystyle \ lambda =}
φ={\ displaystyle \ varphi =}
λ0={\ displaystyle \ lambda _ {0} =}![\ lambda _ {{0}} =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac1a226bce9a4fa062ee2f546cca74196157401)
e2=2 f-f2{\ displaystyle e ^ {2} = 2 \ ff ^ {2}}
λ-λ0=0,0496983{\ displaystyle \ lambda - \ lambda _ {0} = 0,0496983}
radianos
NO=0,0350442107{\ displaystyle A = 0,0350442107}
,
VS=0,0033510263{\ displaystyle C = 0,0033510263}
,
T=1.01117395{\ displaystyle T = 1.01117395}
,
ν(φ)={\ displaystyle \ nu (\ varphi) =}
1,00169,
s(φ)={\ displaystyle s (\ varphi) =}
0,784340804,
e finalmente
E=723,80393{\ displaystyle E = 723,80393}![E = 723,80393](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7069f95e5b387b2f289960e73724baf1dbbe67d)
km e km
NÃO=5004.57704{\ displaystyle N = 5004.57704}
As fórmulas para o caso particular de uma esfera
Aqui estão os valores intermediários para calcular:
B=porqueφpecado(λ-λ0){\ displaystyle B = \ cos \ varphi \ sin (\ lambda - \ lambda _ {0})}
Aqui estão as fórmulas de trânsito, fornecendo as coordenadas UTM em quilômetros:
E,NÃO{\ displaystyle E, N}![DENTRO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07719e20a1f5f4332406ed06ff2dbb9cec68f6ee)
E=500+k02em(1+B1-B){\ displaystyle E = 500 + {\ frac {k_ {0}} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + B} {1-B}} \ right)}
NÃO=NÃO0+k0(Arctan(bronzeado(φ)porqueλ)-ϕ0){\ displaystyle N = N_ {0} + k_ {0} (\ arctan ({\ frac {\ tan (\ varphi)} {\ cos \ lambda}}) - \ phi _ {0})}
Demonstração de fórmulas
Façamos uma observação preliminar: o termo "projeção de Mercator" poderia implicar que existe uma linha que une um ponto do geóide ao ponto correspondente do cilindro que o enrola. Este não é o caso. Este também não é o caso para a maioria das projeções cartográficas , como a " projeção de Lambert " entre o geóide e um cone tangente. Esse é o caso, entretanto, da projeção estereográfica . Portanto, não vamos provar as fórmulas usando uma projeção .
Demonstraremos as fórmulas em duas etapas. O primeiro passo generaliza o uso das coordenadas de Mercator conformes da esfera para o caso de um elipsóide de revolução. Vamos chamá-los de coordenadas de Mercator generalizadas.
O segundo passo é uma transformação conforme das coordenadas generalizadas de Mercator para as coordenadas UTM, com a convenção de que essas coordenadas coincidam ao longo do meridiano de referência.
Uma terceira etapa usa a mesma abordagem para encontrar as coordenadas de Lambert diretamente.
Etapa 1: coordenadas de Mercator generalizadas (x, y)
Quanto à projeção de Mercator, colocamos . Isso determinará a função .
x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}
y(φ){\ displaystyle y (\ varphi)}![y (\ varphi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a600c7bf3b6f399dde44a914cf996cff94d9e90c)
Chamemos a distância entre o ponto considerado do elipsóide e o eixo Norte-Sul. Chamemos o raio de curvatura ao longo do meridiano. Um pequeno deslocamento no elipsóide corresponde a uma distância:
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}
R(φ){\ displaystyle R (\ varphi)}
dφ,dλ{\ displaystyle d \ varphi, d \ lambda}![d \ varphi, d \ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3cb3336b31fde7c30615207a1de7328cbb0a76)
ds2=R2(φ)dφ2+ρ2(φ)dλ2{\ displaystyle ds ^ {2} = R ^ {2} (\ varphi) d \ varphi ^ {2} + \ rho ^ {2} (\ varphi) d \ lambda ^ {2}}
chamado de tensor métrico do elipsóide.
O requisito de que sejam coordenadas conformes impõe ao tensor métrico a ser escrito:
x,y{\ displaystyle x, y}![x, y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff)
ds2=R2(φ)dφ2+ρ2(φ)dλ2=k(φ,λ)(dx2+dy2){\ displaystyle ds ^ {2} = R ^ {2} (\ varphi) d \ varphi ^ {2} + \ rho ^ {2} (\ varphi) d \ lambda ^ {2} = k (\ varphi, \ lambda) (dx ^ {2} + dy ^ {2})}
onde está uma função. A convenção implica que
e
k(φ,λ){\ displaystyle k (\ varphi, \ lambda)}
x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}
k(φ,λ)=ρ2(φ){\ displaystyle k (\ varphi, \ lambda) = \ rho ^ {2} (\ varphi)}![k (\ varphi, \ lambda) = \ rho ^ {{2}} (\ varphi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ad2b3f2cd69b86dcfb050cd6f309165f317e99)
dy(φ)dφ=R(φ)ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {dy (\ varphi)} {d \ varphi}} = {\ frac {R (\ varphi)} {\ rho (\ varphi)}}}
Embora não necessitemos disso no seguinte, esta equação diferencial é integrada sem grande dificuldade (veja desdobrado, encontra-se a expressão das coordenadas de Mercator conformais generalizadas:
x(λ)=λ,y(φ)=em(bronzeado(φ2+π4)(1-epecadoφ1+epecadoφ)e/2){\ displaystyle x (\ lambda) = \ lambda, \ qquad y (\ varphi) = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {\ pi} { 4}} \ right) \ left ({\ frac {1-e \ sin \ varphi} {1 + e \ sin \ varphi}} \ right) ^ {e / 2} \ right)}
Expressões de e de detalhes de integração
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}
R(φ){\ displaystyle R (\ varphi)}
A representação paramétrica ad-hoc da elipse que é usada para o elipsóide terrestre no Mercator, bem como nos sistemas de projeção Lambert e UTM é:
x(φ)=noν(φ)porque(φ){\ displaystyle x (\ varphi) = a \ nu (\ varphi) \ cos (\ varphi)}
, y(φ)=no(1-e2)ν(φ)pecado(φ){\ displaystyle y (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ nu (\ varphi) \ sin (\ varphi)}
respectivamente a distância ao eixo menor da elipse , o eixo Norte-Sul neste caso e a distância ao eixo maior, neste caso a distância ao plano equatorial com
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}![\ rho (\ varphi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2411bd27dd9d9484e7a013ea25cc01355410268f)
ν(φ)=1/1-e2pecado2φ{\ displaystyle \ nu (\ varphi) = 1 / {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}
É fácil verificar isso com b2/no2=1-e2{\ displaystyle b ^ {2} / a ^ {2} = 1-e ^ {2}}
x2no2+y2b2=1{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}
Também verificamos facilmente que
dx=-no(1-e2)ν3(φ)pecadoφdφ{\ displaystyle dx = -a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) \ sin \ varphi d \ varphi}
e dy=no(1-e2)ν3(φ)porqueφdφ{\ displaystyle dy = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) \ cos \ varphi d \ varphi}
e como é a latitude, o ângulo formado pela normal à elipse com o eixo maior. Se olharmos para o elemento do arco diferencial, encontramos o que nos dá acesso ao raio de curvatura
φ{\ displaystyle \ varphi}
ds=(dx2+dy2)=no(1-e2)ν3(φ)dφ{\ displaystyle ds = {\ sqrt {(}} dx ^ {2} + dy ^ {2}) = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) d \ varphi}
R(φ)=no(1-e2)ν3(φ){\ displaystyle R (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi)}
Algumas indicações para integrar a equação diferencial ([eq: Diferencial-Mercator])
É
dy(φ)dφ=R(φ)ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {dy (\ varphi)} {d \ varphi}} = {\ frac {R (\ varphi)} {\ rho (\ varphi)}}}
que também está escrito
dy=1-e21-e2pecadoφ2porqueφdφporqueφ2{\ displaystyle dy = {\ frac {1-e ^ {2}} {1-e ^ {2} {\ sin \ varphi} ^ {2}}} {\ frac {\ cos \ varphi d \ varphi} { {\ cos \ varphi} ^ {2}}}}
e posando você=pecadoφ{\ displaystyle u = \ sin \ varphi}
dy=(11+você+11-você-e2(11+evocê+11-evocê))dvocê2{\ displaystyle dy = \ left ({\ frac {1} {1 + u}} + {\ frac {1} {1-u}} - e ^ {2} \ left ({\ frac {1} {1 + eu}} + {\ frac {1} {1-eu}} \ right) \ right) {\ frac {du} {2}}}
Um pequeno cálculo mostra isso e chegamos ao resultado ([eq: Mercator]).
1+pecadoφ1-pecadoφ=bronzeado(φ/2+π/4)2{\ displaystyle {\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} = \ tan (\ varphi / 2 + \ pi / 4) ^ {2}}
Etapa 2: das coordenadas Mercator generalizadas (x, y) para as coordenadas UTM (E, N)
O segundo passo é uma transformação conforme das coordenadas generalizadas de Mercator x, y para as coordenadas UTM X, Y.
Usamos a propriedade de que tal transformação conforme é escrita usando uma função analítica em variáveis complexas
com e .
Z=f(z){\ displaystyle Z = f \ left (z \ right)}
Z=Y+euX{\ displaystyle Z = Y + iX}
z=y+eux{\ displaystyle z = y + ix}![z = y + ix](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9880c84f24ffe19f77d9a026490b7c6630493265)
Sem perda de generalidade, assume-se que o meridiano de referência está em . Por convenção, as coordenadas UTM são tais que no meridiano de referência está e ao longo mede a distância, ou seja, isso . Integramos esta última equação para obter
qual é a distância ao longo do arco meridiano entre o ponto de latitude e o equador (é integral elíptica do segundo tipo, mas não a usaremos). No meridiano de referência, portanto, temos:
x=λ=0{\ displaystyle x = \ lambda = 0}
X=0{\ displaystyle X = 0}
Y{\ displaystyle Y}
dY=ds=R(φ)dφ{\ displaystyle dY = ds = R (\ varphi) d \ varphi}
s(φ)=∫0φR(ψ)dψ{\ displaystyle s (\ varphi) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} R (\ psi) d \ psi}
φ{\ displaystyle \ varphi}![\ varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
Y(0,y)=s(φ(y))=(s∘φ)(y){\ displaystyle Y (0, y) = s (\ varphi (y)) = \ left (s \ circ \ varphi \ right) \ left (y \ right)}
e deduz-se por prolongamento analítico que
Y(x,y)+euX(x,y)=s∘φ(y+eux){\ displaystyle Y (x, y) + iX (x, y) = s \ circ \ varphi (y + ix)}
Em um mapa transversal de Mercator, há pouco desvio do meridiano de referência . Pode-se assim usar um desenvolvimento limitado em relação à variável , em :
x=0{\ displaystyle x = 0}
x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}
x=0{\ displaystyle x = 0}![x = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
Y+euX=∑não=0∞eunãoλnãonão!∂não(s∘φ)∂ynão{\ displaystyle Y + iX = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} i ^ {n} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ frac {\ parcial ^ {n } \ left (s \ circ \ varphi \ right)} {\ parcial y ^ {n}}}}
identificando partes reais e imaginárias, obtemos:
X=∑não=1,3,5 ..∞-1não-12λnãonão!∂não(s∘φ)∂ynãoY=∑não=0,2,4 ..∞-1não/2λnãonão!∂não(s∘φ)∂ynão{\ displaystyle X = \ sum _ {n = 1,3,5 ..} ^ {\ infty} -1 ^ {\ frac {n-1} {2}} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ frac {\ parcial ^ {n} \ esquerda (s \ circ \ varphi \ direita)} {\ parcial y ^ {n}}} \ qquad Y = \ sum _ {n = 0,2, 4 ..} ^ {\ infty} -1 ^ {n / 2} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ Frac {\ partial ^ {n} \ left (s \ circ \ varphi \ right)} {\ parcial y ^ {n}}}}
A primeira derivada é facilmente calculada usando as relações anteriores:
∂s∘φ∂y=∂s(φ)∂φ∂φ∂y=R(φ)ρ(φ)R(φ)=ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {\ partial s \ circ \ varphi} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial s (\ varphi)} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ parcial y}} = R (\ varphi) {\ frac {\ rho (\ varphi)} {R (\ varphi)}} = \ rho (\ varphi)}
A segunda derivada é obtida diferenciando a anterior da mesma maneira.
∂2s∘φ∂y2=∂ρ(φ)∂φρ(φ)R(φ)=-ν(φ)pecadoφporqueφ{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} s \ circ \ varphi} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {\ partial \ rho (\ varphi)} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ rho (\ varphi)} {R (\ varphi)}} = - \ nu (\ varphi) \ sin \ varphi \ cos \ varphi}
Continuando desta forma até a ordem , nos limitando à primeira ordem e usando as notações anteriores, finalmente obtemos:
não=6{\ displaystyle n = 6}
e′2=e2/(1-e2){\ displaystyle e '^ {2} = e ^ {2} / (1-e ^ {2})}![e '^ {{2}} = e ^ {{2}} / (1-e ^ {{2}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af7423102ab041f08109ed907bc04d7bb9a1b60)
X=noν(φ)( NO+(1-T+VS)NO36+(5-18T+T2+72VS-58e′2)NO5120)+...{\ displaystyle X = a \ nu \ left (\ varphi \ right) \ left (\ A + (1-T + C) {\ frac {A ^ {3}} {6}} + (5-18T + T ^ {2} + 72C-58e '^ {2}) {\ frac {A ^ {5}} {120}} \ right) + \ ldots}
Y=nos(φ)+noν(φ)bronzeadoφ(NO22+(5-T+9VS+4VS2)NO424+(61-58T+T2+600VS-330e′2)NO6720)+...{\ displaystyle Y = as (\ varphi) + a \ nu \ left (\ varphi \ right) \ tan \ varphi \ left ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 9C + 4C ^ {2}) {\ frac {A ^ {4}} {24}} + (61-58T + T ^ {2} + 600C-330e '^ {2}) {\ frac {A ^ {6 }} {720}} \ right) + \ ldots}
Finalmente, as coordenadas UTM não são exatamente , mas por convenção elas são reduzidas e deslocadas:
NÃO,E{\ displaystyle N, E}
X,Y{\ displaystyle X, Y}![X, Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd)
E=500+k0XvocêTMNÃO=NÃO0+k0YvocêTM{\ displaystyle E = 500 + k_ {0} X_ {UTM} \ quad N = N_ {0} + k_ {0} Y_ {UTM}}
com o fator de redução e foi dado acima.
k0=0,9996{\ displaystyle k_ {0} = 0,9996}
NÃO0{\ displaystyle N_ {0}}![N _ {{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6328fbe0cded37216c90735c89ee188be26a30)
Etapa 3: das coordenadas generalizadas de Mercator às coordenadas de Lambert
As projeções de Lambert e Mercator são conformes, então há uma transformação plano-a-plano conforme que passa de Mercator para Lambert e uma função analítica associada que iremos justificar:
ou e são dois parâmetros reais e ou e são as coordenadas de Mercator. Em coordenadas polares, ou seja , posando , isso dá
Zeu=Xeu+euYeu=Keeunão(x(λ)+euy(ϕ)){\ displaystyle Z_ {L} = X_ {L} + iY_ {L} = Ke ^ {in \ left (x (\ lambda) + iy (\ phi) \ right)}}
K{\ displaystyle K}
não{\ displaystyle n}
x(λ){\ displaystyle x (\ lambda)}
y(ϕ){\ displaystyle y (\ phi)}
Xeu+euYeu=ρ(ϕ)euθ(λ){\ displaystyle X_ {L} + iY_ {L} = \ rho (\ phi) ^ {i \ theta (\ lambda)}}
ρ(ϕ)=Ke-nãoy(ϕ)θ(λ)=nãoλ{\ displaystyle \ rho (\ phi) = Ke ^ {- ny (\ phi)} \ qquad \ theta (\ lambda) = n \ lambda}
Assim, os meridianos constantes são raios e os paralelos constantes tornam-se os arcos de círculos concêntricos que formam com os raios uma rede ortogonal. Este mapa é o desenvolvido de um cone cujo vértice é a imagem de um pólo. Lambert é especificado pela exigência de que os comprimentos sejam respeitados em dois paralelos secantes chamados automécoïques e . No campo, esses comprimentos são e devem ser iguais ao comprimento no mapa de Lambert e, portanto, as duas equações:
λ{\ displaystyle \ lambda}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}
ϕ2{\ displaystyle \ phi _ {2}}
2πnoν(ϕ1)porqueϕ1{\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1}}
2πnoν(ϕ2)porqueϕ2{\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2}}
2πnãoρ(ϕ1){\ displaystyle 2 \ pi n \ rho (\ phi _ {1})}
2πnãoρ(ϕ2){\ displaystyle 2 \ pi n \ rho (\ phi _ {2})}
2πnoν(ϕ1)porqueϕ1=2πnãoKe-nãoy(ϕ1)2πnoν(ϕ2)porqueϕ2=2πnãoKe-nãoy(ϕ2){\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1} = 2 \ pi nKe ^ {- ny (\ phi _ {1})} \ qquad 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2} = 2 \ pi nKe ^ {- ny (\ phi _ {2})}}
Que dá
e é deduzido por substituição em uma ou outra das igualdades anteriores.
não=em(ν(ϕ1)porqueϕ1)-em(ν(ϕ2)porqueϕ2)y(ϕ2)-y(ϕ1){\ displaystyle n = {{\ ln (\ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1}) - \ ln (\ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2 })} \ over {y (\ phi _ {2}) - y (\ phi _ {1})}}}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
A partir das expressões das coordenadas polares e tomando a origem na intersecção do meridiano e o paralelo de referência, encontramos as coordenadas de Lambert .
Fórmulas para passar coordenadas UTM (E, N) para latitude, longitude (φ, λ)
Fórmulas com precisão centimétrica
Aqui estão os valores intermediários para calcular:
ϕ1=M-1(NÃO-NÃO0){\ displaystyle \ phi _ {1} = M ^ {-} 1 (N-N_ {0})}
onde está a distância ao sul.
M(y){\ displaystyle M (y)}![{\ displaystyle M (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbad5410fbb425abee10d1305d287ada5f72a467)
NÃO1=k0(1-e2pecado2ϕ1)1/2{\ displaystyle N_ {1} = {\ frac {k_ {0}} {(1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi _ {1}) ^ {1/2}}}}
R1=k0(1-e2)(1-e2pecado2ϕ1)3/2{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {k_ {0} (1-e ^ {2})} {(1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi _ {1}) ^ { 3/2}}}}
t1=bronzeado(ϕ1){\ displaystyle t_ {1} = \ tan (\ phi _ {1})}
η1=e21-e2vsos2ϕ1{\ displaystyle \ eta _ {1} = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} cos ^ {2} \ phi _ {1}}
Aqui estão as fórmulas de passagem que fornecem as coordenadas geodésicas :
ϕ,λ{\ displaystyle \ phi, \ lambda}![{\ displaystyle \ phi, \ lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bea67147cf1eb8522fe925fb8b956d2b603a37f)
ϕ=ϕ1-t1(E-500)22!R1NÃO1+t1(E-500)44!R1NÃO13(5+3t12+η12-4η14-9η12t12)-t1(E-500)66!R1NÃO15(61+90t12+46η12+45t14-252t12η12)+t1(E-500)88!R1NÃO17(1385+3633t12+4095t14+1575t16){\ displaystyle \ phi = \ phi _ {1} - {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {2}} {2! R_ {1} N_ {1}}} + {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {4}} {4! R_ {1} N_ {1} ^ {3}}} (5 + 3t_ {1} ^ {2} + \ eta _ {1} ^ { 2} -4 \ eta _ {1} ^ {4} -9 \ eta _ {1} ^ {2} t_ {1} ^ {2}) - {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {6}} {6! R_ {1} N_ {1} ^ {5}}} (61 + 90t_ {1} ^ {2} +46 \ eta _ {1} ^ {2} + 45t_ {1} ^ {4} -252t_ {1} ^ {2} \ eta _ {1} ^ {2}) + {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {8}} {8! R_ {1} N_ {1} ^ {7}}} (1385 + 3633t_ {1} ^ {2} + 4095t_ {1} ^ {4} + 1575t_ {1} ^ {6})}
λ=E-500porqueϕNÃO1-(E-500)33!porqueϕNÃO13(1+2t12+η12)+(E-500)55!porqueϕNÃO15(5+6η12+28t12-3η12+8t12η12)-(E-500)77!porqueϕNÃO17(61+662t12+1320t14+720t16){\ displaystyle \ lambda = {\ frac {E-500} {\ cos \ phi N_ {1}}} - {\ frac {(E-500) ^ {3}} {3! \ cos \ phi N_ {1 } ^ {3}}} (1 + 2t_ {1} ^ {2} + \ eta _ {1} ^ {2}) + {\ frac {(E-500) ^ {5}} {5! \ Cos \ phi N_ {1} ^ {5}}} (5 + 6 \ eta _ {1} ^ {2} + 28t_ {1} ^ {2} -3 \ eta _ {1} ^ {2} + 8t_ { 1} ^ {2} \ eta _ {1} ^ {2}) - {\ frac {(E-500) ^ {7}} {7! \ Cos \ phi N_ {1} ^ {7}}} ( 61 + 662t_ {1} ^ {2} + 1320t_ {1} ^ {4} + 720t_ {1} ^ {6})}
As fórmulas para o caso particular de uma esfera
Para a projeção inversa, aqui estão os valores intermediários para calcular:
D=NÃO-NÃO0k0+ϕ0{\ displaystyle D = {\ frac {N-N_ {0}} {k_ {0}}} + \ phi _ {0}}
E′=E-500k0{\ displaystyle E '= {\ frac {E-500} {k_ {0}}}}
Aqui estão as fórmulas de passagem que fornecem as coordenadas geodésicas :
ϕ,λ{\ displaystyle \ phi, \ lambda}![{\ displaystyle \ phi, \ lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bea67147cf1eb8522fe925fb8b956d2b603a37f)
ϕ=arcsin(pecadoDcoshE′){\ displaystyle \ phi = \ arcsin ({\ frac {\ sin D} {\ cosh E '}})}
λ=Arctan(sinhE′porqueD){\ displaystyle \ lambda = \ arctan ({\ frac {\ sinh E '} {\ cos D}})}
Veja também
Referências
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">