Triângulos semelhantes
Na geometria euclidiana , dizemos que dois triângulos são semelhantes se têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Entre as múltiplas formalizações desta definição intuitiva, as duas mais comuns são: dois triângulos são semelhantes:
- se seus lados são proporcionais ou, o que é equivalente,
- se eles têm os mesmos ângulos
'Similar' é uma relação de equivalência.
Propriedades
Cada uma das caracterizações abaixo pode servir como uma definição da noção de triângulos semelhantes, pois todos são equivalentes.
- Dois triângulos são semelhantes se seus lados forem proporcionais. Mais formalmente: os triângulos e são semelhantes se
NOBVS{\ displaystyle ABC}NO′B′VS′{\ displaystyle A'B'C '}
NOBNO′B′=BVSB′VS′=NOVSNO′VS′{\ displaystyle {\ frac {AB} {A'B '}} = {\ frac {BC} {B'C'}} = {\ frac {AC} {A'C '}}}.
- Dois triângulos são semelhantes se pelo menos dois ângulos geométricos (ou seja, não orientados) de um são iguais a dois ângulos geométricos do outro. Mais formalmente: e são semelhantes se
NOBVS{\ displaystyle ABC}NO′B′VS′{\ displaystyle A'B'C '}BNOVS^=B′NO′VS′^eBVSNO^=B′VS′NO′^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}} = {\ widehat {B'A'C '}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ widehat {BCA}} = {\ widehat {B'C' NO'}}}
(resultando em ).NOBVS^=NO′B′VS′^{\ displaystyle {\ widehat {ABC}} = {\ widehat {A'B'C '}}}
- Dois triângulos são semelhantes se dois lados de um são proporcionais a dois lados do outro e os ângulos entre esses dois lados são iguais.
- Dois triângulos são semelhantes se dois lados de um são proporcionais a dois lados do outro e os ângulos opostos ao maior dos dois lados proporcionais são iguais:
NOBNO′B′=BVSB′VS′eBNOVS^=B′NO′VS′^{\ displaystyle {\ frac {AB} {A'B '}} = {\ frac {BC} {B'C'}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ widehat {BAC}} = { \ widehat {B'A'C '}}}
- Dois triângulos são semelhantes se houver uma semelhança (ou seja, homotetia , translação , rotação , simetria ortogonal ou um composto de tais transformações) transformando um no outro.
Casos especiais
- Se os triângulos têm lados do mesmo comprimento, dizemos que são isométricos .
- Se dois triângulos têm seus lados correspondentes paralelos, eles são triângulos semelhantes e são chamados de homotéticos . Quando os triângulos são homotéticos e têm um vértice em comum, encontramos uma configuração de Tales .
Notas e referências
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A. JH Vincent, geometria elementar , Maillet-Bachelier,1856( leia online ) , p. 65-67, fornece esta definição intuitiva, escolhe a primeira caracterização como uma definição formal e demonstra a equivalência com as duas seguintes.
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COJEREM, Geometria nas situações 1ª / 4ª , De Boeck Education,1995( ISBN 978-2-8041-2230-0 , leitura online ) , p. 58.
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J. Delboeuf, Philosophical Prolegomena of Geometry and the Solution of Postulates , J. Desoer,1860( leia online ) , p. 95, protesta contra o fato de que alguns substituam este “ou” por um “e”, o que torna a definição redundante. É o caso, por exemplo, do COJEREM 1995 .
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A. Merlette, A enciclopédia das escolas, jornal da educação primária e vocacional ,1863( leia online ) , p. 456.
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Dany-Jack Mercier, Fundamentos de geometria para competições: grandes écoles, CAPES, agregação , Paris, Publibook ,2009, 181 p. ( ISBN 978-2-7483-4965-8 , leitura online ) , p. 172-176, escolhe a quarta caracterização como definição e demonstra a equivalência com as anteriores.
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No plano, quando dois triângulos são semelhantes, há até uma semelhança de plano único que se transforma um no outro.
Veja também
Geometria não euclidiana
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