O volume de uma bola de raio R é:
π R 3 .Euclides , na proposição 18 do livro XII de seus Elementos , por volta de 300 aC. JC., Afirma que o volume de uma bola é proporcional ao cubo de seu diâmetro . Ele demonstra esse resultado pelo método da exaustão , enquadrando a bola com poliedros .
Arquimedes , em Sobre a esfera e o cilindro (c. 220 aC), compara os volumes de uma bola, um cilindro e um cone. Ele conhece o volume do cilindro e do cone e demonstra que, se uma bola está inscrita em um cilindro, então o volume desta bola é igual a dois terços do cilindro circunscrito (e a dobrar o volume do cone ter a mesma base e a mesma altura do cilindro). Ele demonstra que a relação entre as áreas da esfera e do cilindro é a mesma que entre os volumes das partes do espaço que elas delimitam; o que afirma o seguinte:
"Um cilindro que tem uma base igual a um grande círculo de uma esfera, e uma altura igual ao diâmetro desta esfera, é igual a três vezes a metade desta esfera, e a área deste cilindro também é igual a três vezes metade da superfície dessa mesma esfera. "
Essa descoberta o tornará um matemático particularmente importante na história. Ele está tão orgulhoso disso que dá instruções para que seu túmulo seja gravado com uma esfera inscrita em um cilindro.
O princípio do método da exaustão (atribuído a Eudoxo de Cnido ) é um duplo raciocínio pelo absurdo , supondo primeiro que o volume é maior que43π R 3 , então que é menor, e obter uma contradição em cada caso. Embora esta demonstração seja rigorosa, supõe já saber o resultado a ser estabelecido; antes da descoberta do palimpsesto de Arquimedes , não se sabia como ele havia conseguido obter os do tratado Da esfera e do cilindro .
O método de Arquimedes (redescoberto no palimpsesto que leva seu nome ) consiste em cortar a bola em discos finos, portanto cilindros, cujo volume é adicionado (assimilado ao produto de sua superfície por sua espessura). Na linguagem moderna, isso equivale a calcular o limite de uma soma de Riemann e, portanto, a calcular uma integral definida . Se considerarmos a variável h indo de - R a R , o cilindro correspondente à altura h e de espessura infinitesimal d h tem por raio r h satisfatório, de acordo com o teorema de Pitágoras r h 2 + h 2 = R 2 ; como o volume deste cilindro é π r h 2 d h , obtemos como o volume da bola
Da mesma forma e de forma mais geral, o volume de uma "tampa", porção de uma bola limitada por dois planos paralelos, a uma distância D ≤ 2 R , e um dos quais é tangente à esfera, é
( V 2 R = V ).
Mais geralmente ainda, o volume de uma "fatia" de espessura D entre dois planos de dimensões H e H ' (onde - R < H' < H < R ), é
(com D = H - H ' ).