Métrica Cayley-Klein

Em matemática, uma métrica de Cayley-Klein é uma métrica definida no complemento de uma quádrica fixa de um espaço projetivo , a quádrica absoluta, usando a razão cruzada . Esta métrica foi construída por Arthur Cayley em 1859; a construção foi concluída por Felix Klein entre 1871 e 1873. As métricas de Cayley-Klein fornecem uma estrutura unificada para as diferentes geometrias euclidianas e não euclidianas , definindo a noção de distância pela mesma construção em todos os casos.

Histórico

Entre as ideias que formaram a base para a construção de Cayley-Klein, está a " álgebra de jatos (in) " criada por Karl von Staudt em 1847, uma abordagem da geometria que não envolve distâncias ou ângulos e usa apenas os conceitos de divisão harmônica e razão cruzada . Em 1853, Edmond Laguerre obteve outro resultado importante (in) , mostrando que o ângulo entre duas linhas (na geometria euclidiana) pode ser calculado a partir de uma razão cruzada. Finalmente, em 1859, Arthur Cayley formulou em seu artigo Sobre a teoria da distância, relações que expressam distâncias a partir de cálculos (em geometria projetiva ) vinculadas a uma quádrica definida por ele como o absoluto da geometria estudada. Felix Klein , em artigos de 1871 e 1873, então em uma série de trabalhos, retomou o trabalho de von Staudt, removeu as últimas referências à distância euclidiana e combinou-a com a teoria de Cayley para definir a nova métrica como o logaritmo de uma cruz -ratio, eliminando o risco de uma definição circular e mostrando que as geometrias não euclidianas poderiam, como a geometria euclidiana, ser definidas a partir dessa métrica.

A geometria de Cayley-Klein (seguindo os princípios do programa Erlangen ) é o estudo do grupo de isometria para esta métrica; provamos que este é o subgrupo das transformações projetivas deixando a quádrica absoluta invariante globalmente ; cada escolha de quádrica corresponde a uma das geometrias clássicas ( euclidiana , hiperbólica , elíptica , etc.).

Definição

Fixamos uma quádrica Q de um espaço projetivo E no campo dos complexos; Q é chamada de quádrica absoluta da geometria que queremos definir. Se um e b são dois pontos distintos em E , não em Q , a linha ( a, b ) intersecta Q em dois outros pontos de p e de q . A distância Cayley - Klein d ( a , b ) é proporcional ao logaritmo da razão cruzada ( a, b; p, q ) :, onde é uma constante. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Se a razão cruzada for positiva, é real (corresponde a uma geometria hiperbólica ; o valor 1/2 dá uma curvatura ); se não, é necessário tomar complexo (um é então no caso de uma geometria elíptica ). $VS$ ${\ displaystyle K = -1}$ $VS$

Para cálculos algébricos (e usando uma forma mais moderna de representação), posiciona-se em coordenadas homogêneas e fixa uma forma quadrática ; denotamos a forma bilinear associada, chamada neste contexto forma polar de , definida por . Quádrica absoluta e equação (especificamente , sendo um ponto coordenado , com no caso do plano e no espaço, além disso, a matriz é simétrica, nós ); então provamos que a distância Cayley - Klein entre os pontos e é: ${\ displaystyle Q}$ $B$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $x$ $XI}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $x$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; com esta notação .

{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Tomando para simplificar, deduzimos que no caso hiperbólico: ${\ displaystyle C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

e no caso elíptico (tomar ): ${\ displaystyle C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Formas normais da quádrica absoluta

No caso real, qualquer quádrica definida pela equação pode ser colocada por mudança (linear) de variável na forma , com ( redução Gaussiana ), o número de de cada tipo não dependendo da mudança de variável, de acordo com a lei de inércia de Silvestre . Obtemos no espaço euclidiano usual a seguinte classificação (ver o artigo quádrico e os artigos detalhados para ilustrações): ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Classificação das quádricas I. Quádricas regulares . 1 .. Superfície vazia.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Superfícies topologicamente semelhantes à esfera.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Elipsóide (sem interseção com o plano do infinito). b) Parabolóide elíptico (tangente ao plano do infinito). c) Hiperbolóide com duas camadas (secante com o plano do infinito). 3 .. Superfícies topologicamente semelhantes à garrafa de Klein .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Hiperbolóide de uma folha (secante com o plano do infinito). b) Parabolóide hiperbólico (tangente ao plano do infinito). II. Cones . 1 .. Vazios "cones".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Cone reduzido ao topo. b) Cilindro vazio (vértice no plano no infinito). 2 .. "Cones" comuns.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Cone b) Cilindro elíptico (vértice no plano do infinito) c) Cilindro parabólico (linha dupla no plano infinito) d) Cilindro hiperbólico (duas linhas no plano no infinito) III. Casais de planos . 1 .. Planos imaginários conjugados.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersecção a distância finita. b) Planos paralelos. 2 .. Planos reais.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersecção a distância finita. b) Planos paralelos. c) Um plano a distância finita e o plano do infinito. 4. Plano duplo. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Plano duplo a distância finita. b) Plano do infinito contado duas vezes.

As transformações projetivas do bijetivo (as colineações ) que saem invariantes dessas formas estão relacionadas às transformações de Möbius . Essas formas levam a equações simples para a distância Cayley-Klein; o plano euclidiano tem assim por absoluto as linhas isotrópicas (ou, se preferirmos, os pontos cíclicos ). Da mesma forma, o plano hiperbólico tem como absoluto o círculo unitário e a distância de Cayley-Klein . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Relatividade

Em suas palestras de 1919 e 1920 (publicadas postumamente em 1926) sobre a história da matemática, Klein escreveu:

“O caso (ou , ficar em três dimensões e usar coordenadas homogêneas ) adquiriu recentemente um significado especial por meio da teoria da relatividade . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Em outras palavras, a geometria cônica (ou quádrica) hiperbólica absoluta, ou corresponde aos intervalos ou ao espaço-tempo , e deixando as transformações invariáveis quádricas absolutas estão em correspondência com as transformações de Lorentz . Da mesma forma, as equações do círculo ou da esfera unitária na geometria hiperbólica correspondem a velocidades físicas ou , que, na relatividade, são limitadas pela velocidade da luz c , portanto, para qualquer vetor de velocidade física v , a razão v / c deve permanecer dentro da esfera unitária, que forma o absoluto dessa geometria. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$

Outros aspectos dessa relação entre a métrica de Cayley-Klein para o espaço hiperbólico e a do espaço de Minkowski na relatividade especial foram destacados por Klein em 1910, bem como na edição de suas palestras de 1928. sobre geometria não euclidiana .

Geometria afim CK

Em 2008, Horst Martini e Margarita Spirova generalizaram o primeiro dos teoremas de Clifford sobre círculos (in) e outros teoremas da geometria euclidiana usando geometria afim associada a uma métrica de Cayley-Klein: a ideia é aplicar a mesma construção para cônicas absolutas degeneradas ( formada a partir do produto de uma linha e da linha do infinito); o papel desempenhado pelos complexos na geometria euclidiana é devolvido para dividir os complexos em suas construções.

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Cayley - Klein metric ” ( ver lista de autores ) .

Klein & Rosemann (1928), p. 163
Klein & Rosemann (1928), p. 138
Cayley (1859), p 82, §§209 a 229
Klein & Rosemann (1928), p. 303
Pierpont (1930), p. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), pp. 163, 304
Russell (1898), página 32
Campo & Papadopoulos (2014)
Se esta reta é tangente a Q , temos p = q .
Klein & Rosemann (1928), p. 164
Klein & Rosemann (1928), p. 167ff
Veblen & Young (1918), p. 366
Veblen & Young (1918), p. 372
Klein & Rosemann (1928), p. 68; veja também as classificações nas páginas 70, 72, 74, 85 e 92.
Klein & Rosemann (1928), capítulo III
Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), p. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), capítulo XI, §5
Martini e Spirova (2008)

Bibliografia

Fontes primárias

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Complementos

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