Métrica Cayley-Klein
Em matemática, uma métrica de Cayley-Klein é uma métrica definida no complemento de uma quádrica fixa de um espaço projetivo , a quádrica absoluta, usando a razão cruzada . Esta métrica foi construída por Arthur Cayley em 1859; a construção foi concluída por Felix Klein entre 1871 e 1873. As métricas de Cayley-Klein fornecem uma estrutura unificada para as diferentes geometrias euclidianas e não euclidianas , definindo a noção de distância pela mesma construção em todos os casos.
Histórico
Entre as ideias que formaram a base para a construção de Cayley-Klein, está a " álgebra de jatos (in) " criada por Karl von Staudt em 1847, uma abordagem da geometria que não envolve distâncias ou ângulos e usa apenas os conceitos de divisão harmônica e razão cruzada . Em 1853, Edmond Laguerre obteve outro resultado importante (in) , mostrando que o ângulo entre duas linhas (na geometria euclidiana) pode ser calculado a partir de uma razão cruzada. Finalmente, em 1859, Arthur Cayley formulou em seu artigo Sobre a teoria da distância, relações que expressam distâncias a partir de cálculos (em geometria projetiva ) vinculadas a uma quádrica definida por ele como o absoluto da geometria estudada. Felix Klein , em artigos de 1871 e 1873, então em uma série de trabalhos, retomou o trabalho de von Staudt, removeu as últimas referências à distância euclidiana e combinou-a com a teoria de Cayley para definir a nova métrica como o logaritmo de uma cruz -ratio, eliminando o risco de uma definição circular e mostrando que as geometrias não euclidianas poderiam, como a geometria euclidiana, ser definidas a partir dessa métrica.
A geometria de Cayley-Klein (seguindo os princípios do programa Erlangen ) é o estudo do grupo de isometria para esta métrica; provamos que este é o subgrupo das transformações projetivas deixando a quádrica absoluta invariante globalmente ; cada escolha de quádrica corresponde a uma das geometrias clássicas ( euclidiana , hiperbólica , elíptica , etc.).
Definição
Fixamos uma quádrica Q de um espaço projetivo E no campo dos complexos; Q é chamada de quádrica absoluta da geometria que queremos definir. Se um e b são dois pontos distintos em E , não em Q , a linha ( a, b ) intersecta Q em dois outros pontos de p e de q . A distância Cayley - Klein d ( a , b ) é proporcional ao logaritmo da razão cruzada ( a, b; p, q ) :, onde é uma constante.
d(Para,b)=VSem(Para,b;p,q){\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}
VS{\ displaystyle C}![VS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
Se a razão cruzada for positiva, é real (corresponde a uma geometria hiperbólica ; o valor 1/2 dá uma curvatura ); se não, é necessário tomar complexo (um é então no caso de uma geometria elíptica ).
VS{\ displaystyle C}
K=-1{\ displaystyle K = -1}
VS{\ displaystyle C}![VS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
Para cálculos algébricos (e usando uma forma mais moderna de representação), posiciona-se em coordenadas homogêneas e fixa uma forma quadrática ; denotamos a forma bilinear associada, chamada neste contexto forma polar de , definida por . Quádrica absoluta e equação (especificamente , sendo um ponto coordenado , com no caso do plano e no espaço, além disso, a matriz é simétrica, nós ); então provamos que a distância Cayley - Klein entre os pontos e é:
Q{\ displaystyle Q}
B{\ displaystyle B}
Q{\ displaystyle Q}
B(você,v)=12(Q(você+v)-Q(você)-Q(v)){\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}
Q(x)=0{\ displaystyle Q (x) = 0}
Q(x)=∑qαβxαxβ=0{\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}
x{\ displaystyle x}
xeu{\ displaystyle x_ {i}}
α,β∈{1,2,3}{\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}
α,β∈{1,2,3,4}{\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}
Q{\ displaystyle Q}
qαβ=qβα{\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}
x{\ displaystyle x}
y{\ displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
d=VSemB(x,y)+B2(x,y)-Q(x)Q(y)B(x,y)-B2(x,y)-Q(x)Q(y){\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}![{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8033dc27070b51b6bc30f107dfabe7ee9b6a3865)
; com esta notação .
B(x,y)=∑qαβxαyβ{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}![{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6e4d9eb668ff8863eaf0d4cf4a2cea7c9b10e4)
Tomando para simplificar, deduzimos que no caso hiperbólico:
VS=1/2{\ displaystyle C = 1/2}![{\ displaystyle C = 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0c786f60fa02b2e71c236ffdd8bffbff61959c)
d=argchB(x,y)Q(x)Q(y){\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}![{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13a18e21dcfee97745628719e4189564216fb09)
,
e no caso elíptico (tomar ):
VS=eu/2{\ displaystyle C = i / 2}![{\ displaystyle C = i / 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc22b3bb233b374824d13efd9767ae092a153a4)
d=arccosB(x,y)Q(x)Q(y){\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}![{\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ce420247f45c6dd98e8959f2eb3c30890b6c93)
.
Formas normais da quádrica absoluta
No caso real, qualquer quádrica definida pela equação pode ser colocada por mudança (linear) de variável na forma , com ( redução Gaussiana ), o número de de cada tipo não dependendo da mudança de variável, de acordo com a lei de inércia de Silvestre . Obtemos no espaço euclidiano usual a seguinte classificação (ver o artigo quádrico e os artigos detalhados para ilustrações):
Q(x)=∑qαβxαxβ=0{\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}
Q(X)=∑ϵeuXeu2=0{\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}
ϵeu∈{0,1,-1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}
ϵeu{\ displaystyle \ epsilon _ {i}}![\ epsilon _ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be3140164b763359077d92b2cd33798eb6a488c)
Classificação das quádricas
I. Quádricas regulares .
1 .. Superfície vazia.
x12+x22+x32+x42=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac43e450eb29084f4664cbe7e81513422ced1569)
2 .. Superfícies topologicamente semelhantes à esfera.
x12+x22+x32-x42=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab434595c19470b212632a8ef65407316342824)
a)
Elipsóide (sem interseção com o plano do infinito).
b)
Parabolóide elíptico (tangente ao plano do infinito).
c)
Hiperbolóide com duas camadas (secante com o plano do infinito).
3 .. Superfícies topologicamente semelhantes à
garrafa de Klein .
x12+x22-x32-x42=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475a95c2a27331d828f52e1c07b4c1c275dbf7f9)
a)
Hiperbolóide de uma folha (secante com o plano do infinito).
b)
Parabolóide hiperbólico (tangente ao plano do infinito).
II. Cones .
1 .. Vazios "cones".
x12+x22+x32=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203bc596a8c69f9024377413310aa02852baf2cc)
a)
Cone reduzido ao topo.
b)
Cilindro vazio (vértice no plano no infinito).
2 .. "Cones" comuns.
x12+x22-x32=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7509b957127e2e980b0992fdab664c2a49e5042)
a)
Cone
b)
Cilindro elíptico (vértice no plano do infinito)
c)
Cilindro parabólico (linha dupla no plano infinito)
d)
Cilindro hiperbólico (duas linhas no plano no infinito)
III. Casais de planos .
1 .. Planos imaginários conjugados.
x12+x22=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdcde6f7820f19dac0af3e52c7ee3084a26f82f)
a) Intersecção a distância finita.
b) Planos paralelos.
2 .. Planos reais.
x12-x22=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dbd19124127541140266968c8a3b9c8a295ff0)
a) Intersecção a distância finita.
b) Planos paralelos.
c) Um plano a distância finita e o plano do infinito.
4. Plano duplo.
1 ..
x12=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fca9954e2a92e282b15734d8b234f71857b917b)
a) Plano duplo a distância finita.
b) Plano do infinito contado duas vezes.
As transformações projetivas do bijetivo (as colineações ) que saem invariantes dessas formas estão relacionadas às transformações de Möbius . Essas formas levam a equações simples para a distância Cayley-Klein; o plano euclidiano tem assim por absoluto as linhas isotrópicas (ou, se preferirmos, os pontos cíclicos ). Da mesma forma, o plano hiperbólico tem como absoluto o círculo unitário e a distância de Cayley-Klein .
x12+x22=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}
x12+x22=0, x3=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}
x12+x22-x32=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}
d=argchx1y1+x2y2-x3y3x12+x22-x32y12+y22-y32{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}![{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd972ef10da455401447b6176522206736f9ff0)
Relatividade
Em suas palestras de 1919 e 1920 (publicadas postumamente em 1926) sobre a história da matemática, Klein escreveu:
“O caso (ou , ficar em três dimensões e usar coordenadas homogêneas ) adquiriu recentemente um significado especial por meio da teoria da relatividade . "
x2+y2+z2-t2=0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}
dx2+dy2+dz2-dt2=0{\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}![{\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6e288848b77c3354bac5bf5a9d9698afd7b3ef)
Em outras palavras, a geometria cônica (ou quádrica) hiperbólica absoluta, ou corresponde aos intervalos ou ao espaço-tempo , e deixando as transformações invariáveis quádricas absolutas estão em correspondência com as transformações de Lorentz . Da mesma forma, as equações do círculo ou da esfera unitária na geometria hiperbólica correspondem a velocidades físicas ou , que, na relatividade, são limitadas pela velocidade da luz c , portanto, para qualquer vetor de velocidade física v , a razão v / c deve permanecer dentro da esfera unitária, que forma o absoluto dessa geometria.
x12+x22-x32=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}
x12+x22+x32-x42=0{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}
x2+y2-t2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}
x2+y2+z2-t2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}
(dxdt)2+(dydt)2=1{\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}
(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2=1{\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}
Outros aspectos dessa relação entre a métrica de Cayley-Klein para o espaço hiperbólico e a do espaço de Minkowski na relatividade especial foram destacados por Klein em 1910, bem como na edição de suas palestras de 1928. sobre geometria não euclidiana .
Geometria afim CK
Em 2008, Horst Martini e Margarita Spirova generalizaram o primeiro dos teoremas de Clifford sobre círculos (in) e outros teoremas da geometria euclidiana usando geometria afim associada a uma métrica de Cayley-Klein: a ideia é aplicar a mesma construção para cônicas absolutas degeneradas ( formada a partir do produto de uma linha e da linha do infinito); o papel desempenhado pelos complexos na geometria euclidiana é devolvido para dividir os complexos em suas construções.
Referências
-
Klein & Rosemann (1928), p. 163
-
Klein & Rosemann (1928), p. 138
-
Cayley (1859), p 82, §§209 a 229
-
Klein & Rosemann (1928), p. 303
-
Pierpont (1930), p. 67ff
-
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
-
Klein & Rosemann (1928), pp. 163, 304
-
Russell (1898), página 32
-
Campo & Papadopoulos (2014)
-
Se esta reta é tangente a Q , temos p = q .
-
Klein & Rosemann (1928), p. 164
-
Klein & Rosemann (1928), p. 167ff
-
Veblen & Young (1918), p. 366
-
Veblen & Young (1918), p. 372
-
Klein & Rosemann (1928), p. 68; veja também as classificações nas páginas 70, 72, 74, 85 e 92.
-
Klein & Rosemann (1928), capítulo III
-
Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
-
Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
-
Klein / Ackerman (1926/1979), p. 138
-
Klein (1910)
-
Klein & Rosemann (1928), capítulo XI, §5
-
Martini e Spirova (2008)
Bibliografia
Fontes primárias
- (de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F. Korn,1847( leia online )
- Edmond Laguerre , “ Nota sobre a teoria dos focos ”, Novos anais da matemática , vol. 12,1853, p. 57-66 ( ler online )
- (pt) Arthur Cayley , " A sixth memoir upon quartics " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 149,1859, p. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , leia online )
- (de) Felix Klein , “ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 4, n o 4,1871, p. 573-625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , leia online )
- (de) Felix Klein, “ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 6, n o 21873, p. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , leia online )
- (de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( leia online )
- (de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( leia online )
Fontes secundárias
- (des) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, Teubner,1885( leia online )
- (de) R. Fricke e F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Leipzig, Teubner,1897( leia online )
-
(pt) Bertrand Russell (1898) An Essay on the Foundations of Geometry , reeditado em 1956 pela Dover Books
-
(pt) Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , Livro VI Capítulo 1: Teoria da Distância, pp 347-70, especialmente a Seção 199 da Teoria da Distância de Cayley.
- (de) Hausdorff, F., “ Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie ” , Leipziger Math.-Phys. Berichte , vol. 51,1899, p. 161–214 ( leia online )
-
(pt) Duncan Sommerville (1910/11) "Cayley - Klein metrics in n -dimensional space", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25-41.
-
(de) Klein, Felix, “ Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 19,1910, p. 533–552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Reimpresso em Klein, Felix, Gesammelte mathematische Abhandlungen , vol. 1,1921, 533–552 p. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Tradução para o inglês de David Delphenich: Sobre os fundamentos geométricos do grupo Lorentz
- (pt) Veblen, O. and Young JW, Projective geometry , Boston, Ginn,1918( leia online )
- (de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin & Leipzig, Berlin W. de Gruyter,1923( leia online )
-
(de) Klein, F. e Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berlin, Springer,1926( leia online ); Tradução para o inglês: Desenvolvimento da matemática no século 19 por M. Ackerman, Math Sci Press
- (de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berlin, Springer,1928( leia online )
- (pt) Pierpont, J., “ Non-euclidean geometry, a retrospect ” , Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 36, n o 21930, p. 66-76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
- (pt) JE Littlewood , miscelânea de Littlewood , Cambridge University Press ,1986( 1 st ed. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , Math Comentários 872 858 , lido online )
-
(en) Harvey Lipkin (1985) Metrical Geometry do Georgia Institute of Technology
- (pt) Horst Struve e Rolf Struve , “ Espaços projetivos com Cayley - métricas de Klein ” , Journal of Geometry , vol. 81, n o 1,2004, p. 155-167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , Math Reviews 2134074 )
- (pt) Martini Horst, Spirova Margarita, “ Circle geometry in affine Cayley-Klein planes ” , Periodica Mathematica Hungarica , vol. 57, n o 22008, p. 197-206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
- (pt) Horst Struve e Rolf Struve , “ Geometrias não euclidianas: a abordagem Cayley - Klein ” , Journal of Geometry , vol. 89, n o 1,2010, p. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , Math Reviews 2739193 )
- (pt) A'Campo, N. e Papadopoulos, A., Sophus Lie e Felix Klein: O Programa Erlangen e seu Impacto na Matemática e Física ,2014, 91–136 p. ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10.4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406.7309 ) , "On Klein's So-called Non-Euclidean geometry"
- (pt) Frank Nielsen , Boris Muzellec e Richard Nock , 2016 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP) ,2016, 241–245 p. ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , "Classificação com misturas de métricas curvas de mahalanobis"
Complementos
-
(en) Jan Drösler (1979) "Foundations of multidimensional metric scaling in Cayley-Klein geometries", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185-211
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">