Na matemática , a álgebra geométrica inclui métodos geométricos , usados pelos antigos gregos , para estabelecer resultados agora classificados no ramo da matemática chamado álgebra . Essas técnicas permitem a demonstração das propriedades elementares da multiplicação , para realizar cálculos como a soma dos primeiros números inteiros, ou números ímpares. Eles permitem estabelecer resultados como identidades notáveis ou resolver uma equação quadrática . A álgebra geométrica também fornece métodos de solução mais complexos, como aqueles que mostram a existência denúmeros irracionais .
Se esses métodos são antigos e correspondem a uma visão da matemática que não é mais a nossa, eles ainda são usados no ensino, seja para dar provas simples de certos resultados, seja para desenvolver uma consciência intuitiva dos resultados que uma apresentação algébrica os tornaria mais abstrato.
O termo “álgebra geométrica” vem de um livro do historiador da ciência Hieronymus Georg Zeuthen escrito em 1902 . Foi popularizado por Paul Tannery no ano seguinte. Os Livros II e VI dos Elementos de Euclides na forma coração. Se uma leitura contemporânea permite uma interpretação algébrica dos resultados demonstrados desta forma, esta não foi, entretanto, a leitura dos gregos que não haviam descoberto os princípios fundadores da álgebra. Por isso, essa leitura apócrifa da ciência grega é às vezes criticada.
A expressão “álgebra geométrica” também é usada em matemática pura , por isso corresponde a um conceito menos elementar. Designa um ramo contemporâneo da matemática que consiste em associar uma geometria a uma estrutura de álgebra . Este aspecto é tratado no artigo Álgebra geométrica (estrutura) . Os termos de geometria algébrica designar um ramo diferente da matemática, que consiste dos conhecimentos adquiridos essencialmente XIX th e XX th séculos e matemática ainda pesquisar a notícia.
Podemos notar que 4 × 3 é igual a 3 × 4 e, de forma mais geral, “o produto dos inteiros não depende da ordem dos fatores” .
Para estarmos convencidos da precisão desse resultado, podemos considerar pequenos quadrados, todos do mesmo tamanho, reunidos em fileiras de 3. Juntando verticalmente 4 fileiras de 3, obtemos um retângulo básico com 4 lados de pequenos quadrados e altura 3 Este retângulo, mostrado na figura à esquerda, contém 4 × 3 = 12 pequenos quadrados. Aplicar um quarto de volta ao retângulo não altera o número de pequenos quadrados que o compõem, o que mostra que o resultado de 4 × 3 corresponde ao número de pequenos quadrados que compõem o retângulo associado à operação 3 × 4. Este resultado é independente em não os valores 3 e 4, podemos escolher quaisquer dois inteiros que possamos denotar a e b . A igualdade que é escrita da seguinte forma traduz o que é chamado de comutatividade da multiplicação:
.A comutatividade da multiplicação não é a única propriedade ilustrada com a ajuda da geometria. A figura à direita pode ser lida de duas maneiras diferentes. Primeiro, o retângulo grande é a soma das áreas dos retângulos azul e vermelho. O raciocínio anterior mostra que sua área é igual a 9 × 3 + 9 × 4. Também podemos vê-lo como um único retângulo, se não levarmos em consideração as cores, de área igual a 9 × (3 + 4). Portanto, essas duas entradas correspondem ao mesmo número. Mais uma vez, o resultado é verdade não só para os números 9, 3 e 4, mas também para qualquer conjunto de três números, que podemos escrever como um , b e c . Obtemos o seguinte resultado, denominado distributividade da multiplicação em relação à adição.
.Assim, o uso da geometria e mais especificamente do cálculo de áreas permite estabelecer certas propriedades de multiplicação. Este princípio é a base da álgebra geométrica.
Para fazer geometria, os números inteiros nem sempre são suficientes. Um comprimento pode ser a metade do outro. Os gregos foram, portanto, levados a estabelecer as regras de funcionamento que governavam as frações. Mais uma vez, o cálculo de áreas é útil. Para ilustrar essa abordagem, vamos tentar adicionar 1/6 e 4/9. Considere para isso um retângulo cuja área é igual a 1. Escolhemos duas grades que decompõem o retângulo em pequenos retângulos idênticos. Escolhemos essas grades compatíveis, ou seja, a superposição das grades ainda é uma grade em pequenos retângulos todos idênticos, conforme ilustrado na figura abaixo:
A primeira representação do retângulo mostra que a fração 1/6 é representada por uma grade que corta o retângulo em 6 pequenos retângulos, a superposição das grades cria 18 e 1/6 = 3/18. Finalmente conseguimos as igualdades:
.De modo geral, se a , b , c e d são inteiros de modo que nem b nem d são zero, então:
.O artigo detalhado mostra como o processo permite determinar todas as regras de funcionamento das frações.
No alvorecer da matemática grega e até o matemático Pitágoras , acreditava-se que todos os comprimentos podiam ser expressos pelo que agora se chamam frações , que Tannery expressa da seguinte forma: "os pitagóricos partem da ideia, natural para qualquer homem inculto, que qualquer comprimento é necessariamente comensurável com a unidade. " . Esses matemáticos concluíram que, para estudar uma figura geométrica, pode-se sempre escolher um comprimento unitário tal que todos os segmentos representados na figura tenham comprimentos que são expressos como números inteiros. A figura à direita ilustra essa situação. Representa dois segmentos de comprimento 4/3 e 3/2, se a unidade escolhida for indicada pela graduação em azul. A unidade da graduação vermelha é um sexto da graduação azul, com a graduação vermelha os comprimentos são inteiros e iguais a 8 e 9.
Essa observação e certas figuras geométricas permitem estabelecer resultados em números inteiros, resultados que entram no ramo matemático denominado aritmética . Zeuthen considera essas técnicas aritmética geométrica . Ele acredita que é um ramo da álgebra geométrica porque os procedimentos são análogos.
Para fazer aritmética geométrica, as representações são da mesma natureza do parágrafo do número inteiro , mas é possível simplificá-las. Os gregos perceberam que desenhar retângulos era desnecessário. As bolinhas dentro dos quadrados, que eram então seixos, eram suficientes. O método consiste em representar um número a partir de uma montagem de pellets de acordo com uma figura geométrica. A associação do número e da figura é chamada de número figurativo . Aquele usado no parágrafo anterior para representar 12 é chamado de número retângulo . Existem várias figuras catalogadas.
Juntando dois triângulos iguais como na figura ao lado, obtemos um retângulo cujo comprimento é uma unidade maior que sua largura (sua área é chamada de número oblongo ). O artigo detalhado mostra que deduzimos a seguinte fórmula:
.Um número quadrado é um número igual a um certo número inteiro multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, 9 é um número quadrado porque 3 × 3 = 9. Ele aparece figurativamente como um quadrado. Para listar os primeiros quadrados, a aritmética geométrica pode ser útil. Suponha, por exemplo, que se conheça a lista até 7 × 7 = 49. Para encontrar o valor do próximo quadrado, com lado 8, raciocinamos com o auxílio da figura à esquerda. O número 8 × 8 pode ser visto como a soma de 7 × 7 correspondendo a berlindes vermelhos, 7 correspondendo a berlindes verdes e 8 correspondendo a berlindes azuis. Em geral, temos igualdade:
.Estabelecer a lista dos primeiros números quadrados é um exercício antigo, já realizado pelos mesopotâmicos. Naquela época, a contagem era de base 60 . Para fazer multiplicações como fazemos agora, seria suposto aprender a tabuada até 60, um difícil exercício de memorização que não foi imposto aos alunos da Mesopotâmia. As tabelas quadradas então existentes foram muito úteis. Por exemplo, multiplicar 15 por 29 resulta:
.Os gregos herdaram o conhecimento da Mesopotâmia e adicionaram sua própria interpretação, o que lhes permitiu encontrar outros resultados. Eles notaram que, se o lado de um número quadrado é par, o número quadrado também é, porque ele se decompõe na soma de dois números retangulares iguais cuja base é igual a duas vezes a altura. A lógica geométrica permite-nos compreender que se o comprimento do lado é ímpar, a área também o é. A figura à direita ilustra isso no exemplo 15 × 15. A representação do número quadrado mostra que é a soma de um quadrado, em vermelho na figura, que é par (é composto por tantas pastilhas claras que escuras ), um número par (os pontos azuis, que são divididos graficamente em duas partes iguais) e um ponto verde, isolado. Portanto, 15 × 15 é a soma de um número par (os pontos vermelhos e azuis) e 1, que é um número ímpar.
Usando a figura usada para calcular a lista dos quadrados, os gregos definiram um novo número figurativo, o número do gnômon . Os pontos azuis na figura à esquerda correspondem a um número gnômon: 9. Esta figura à esquerda mostra que um quadrado é feito de uma seqüência de números gnômon, correspondendo à seqüência dos primeiros números ímpares. O que ainda pode ser traduzido por igualdade:
.Este resultado permite construir triplos pitagóricos se, como na figura à esquerda, o último gnômon for um quadrado perfeito. A igualdade resultante desta figura é escrita:
.No entanto, a soma dos números entre parênteses corresponde a um número quadrado; igualdade ainda está escrita:
.Esta observação faz com que seja possível construir série de três números de um , b e c , verificando-se um 2 + b 2 = c 2 , a que chamamos o tripleto de Pitágoras. Usando o teorema de Pitágoras , torna-se possível construir triângulos retângulos (com lados inteiros). Se, em vez de escolher uma largura de 1 para o gnômon, atribuirmos a ele qualquer largura, podemos encontrar um método que forneça todos os triplos pitagóricos. É proposto no livro X dos Elementos de Euclides .
Os números de corte são construídos como quadrados, exceto que, desta vez, o número representa o volume e não a superfície. Os primeiros quatro números cúbicos são 1 = 1 3 , 8 = 2 3 , 27 = 3 3 e 64 = 4 3 . O raciocínio a seguir mostra que a soma dos primeiros números cúbicos é sempre um número quadrado.
Na figura oposta, o lado do maior quadrado tem como comprimento o número triangular 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Este quadrado é decomposto em uma soma de gnômons cuja largura é 1, depois 2, depois 3, então 4. Calcule a área do último. Esta zona laranja é composta por um quadrado com lado 4 e dois retângulos de largura 4 e comprimento 1 + 2 + 3 = 6. A área do gnômon é, portanto, igual a 2 × 4 × 6 + 4 2 = 3 × 4 2 + 4 2 = 4 3 .
Este raciocínio é verdade para todos os números gnomon da figura: mostra o raciocínio anteriores de que o n -simo vale
.Deduz-se que a soma dos primeiros n cúbicos números é o quadrado da N- th triangular número.
Na época de Pitágoras , é provável que os gregos soubessem construir com rigor um pentágono regular. A priori, essa construção parece dizer respeito apenas à geometria, e é assim que os gregos a concebiam. Uma leitura moderna indica que esta questão está intimamente ligada à resolução de uma questão algébrica, nomeadamente a resolução de um problema quadrático .
A construção desta figura pressupõe o conhecimento das proporções do triângulo isósceles formado por dois lados adjacentes do pentágono. Se escolhermos a unidade igual ao comprimento de um lado e se φ denotar a base do triângulo, que corresponde a uma diagonal do pentágono, a proporção é expressa da seguinte forma:
.Do ponto de vista grego na forma (1), a questão colocada é geométrica, é a da determinação de uma proporção, que Euclides chama de razão extrema e de razão média . Do ponto de vista moderno e na forma (2), a questão colocada é algébrica, é a da resolução de uma equação quadrática tendo por solução apenas positiva o número áureo. É possível que Hippasus de Metapontus , o provável autor da construção, tenha usado um método importado da Babilônia, novamente baseado em um gnômon.
A igualdade φ 2 = φ + 1 resultante diretamente da igualdade (1) é lida da seguinte forma: um quadrado com lado φ tem a mesma área que um retângulo com base φ + 1 e altura 1, resultado mostrado na figura à esquerda. Subtraindo do quadrado e do retângulo, a área de um gnômon de altura φ e largura 1/2, notamos que um quadrado com lado φ - 1/2 tem uma área igual à soma de um quadrado de lado 1 e o de um quadrado do lado 1/2. Obter o comprimento φ torna-se fácil com o teorema de Pitágoras , ele é construído na figura à direita.
Demonstração de igualdade (1)Seja ABC três vértices consecutivos de um pentágono regular com lados de comprimento 1. Um polígono convexo com n lados tem, para o valor da soma de seus ângulos, ( n - 2) × 180 °, ou para um pentágono de 540 °. Como o aqui estudado é regular, o ângulo ABC é da medida 540 ° / 5 = 108 °. Os outros dois ângulos BCA e CAB são iguais porque o triângulo é isósceles. Como a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é igual a 180 °, os outros dois ângulos têm uma medida de 36 °. Obtemos o triângulo da figura à direita.
Se traçarmos a linha que passa por B e dividir o ângulo ABC de 108 ° em dois ângulos como na figura à direita, um de 36 ° e o outro de 72 °, dividimos o triângulo inicial em dois triângulos isósceles ABD e DBC . Uma análise de ângulo mostra que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo ABD . É então possível aplicar o teorema de Thales observando que AB = 1, AC = AD + DC = φ e BC = CD = 1 porque o triângulo DBC é isósceles. Finalmente: AD = φ - 1, e obtemos:
.Resolver uma equação quadrática, no caso geral, é resolvido usando três identidades notáveis, expandindo as expressões ( a + b ) 2 , ( a - b ) 2 e ( a + b ) ( a - b ). Eles são demonstrados usando as propriedades algébricas de adição e multiplicação. Para os gregos, esses resultados são verdades geométricas, que são demonstradas por meio de um quadrado, em azul na figura à direita, e um gnômon, em verde e vermelho.
Para estabelecer a seguinte fórmula, consideramos a figura à direita:
.O comprimento azul representa um eo vermelho b . A expressão ( a + b ) 2 é igual à área do grande quadrado com o lado a + b . É possível dividi-lo em três partes: a zona azul, correspondendo a um quadrado com lado a e área a 2 ; a zona vermelha, correspondendo a um quadrado do lado b e da área b 2, e a zona verde, correspondendo a dois retângulos de comprimento a e largura b . Cada retângulo da zona verde possui uma área igual a ab , a zona verde possui uma área de 2 ab . Encontramos a identidade notável (1).
A identidade é estabelecida da mesma forma:
.Desta vez, o comprimento azul denota a - be o vermelho b . A expressão ( a - b ) agora corresponde à área do quadrado azul. A área do quadrado azul pode ser vista como a diferença entre o grande quadrado, agora lado a, e as duas áreas verdes e a área vermelha. O retângulo formado por uma área verde e o quadrado vermelho possui área ab . Se subtrairmos da área do quadrado lateral a duas áreas de um retângulo de comprimento a e largura b , encontramos a área do quadrado azul subtraída daquela do quadrado vermelho, o que dá a seguinte identidade, de que deduzimos uma igualdade equivalente a (2):
.A identidade (3) é demonstrada usando a mesma figura:
.São utilizadas as mesmas convenções que estabelecem a identidade (2). A área da superfície a 2 - b 2 corresponde à área do grande quadrado subtraída da área do quadrado vermelho, ou seja, a área do quadrado azul adicionada à área do dois retângulos verdes. O retângulo composto pela zona azul e uma zona verde corresponde a um retângulo da área a ( a - b ). Se movermos um dos dois retângulos verdes para posicioná-lo ao longo do segundo retângulo verde de forma a formar um novo retângulo, encontramos um retângulo de comprimento ( a + b ) ( a - b ). Este retângulo possui área igual à do grande quadrado retirado da área do quadrado vermelho, o que demonstra a identidade (3).
Assim, todas as identidades notáveis usadas para resolver equações quadráticas são interpretadas e demonstradas geometricamente. Como resultado, todas as equações quadráticas podem ser resolvidas geometricamente. Essa leitura, que demonstra a equivalência do conteúdo matemático de identidades notáveis com um conhecimento geométrico presente no Livro II dos Elementos de Euclides, é obra de Zeuthen.
Tentamos resolver a seguinte equação:
.O método é inspirado diretamente por cálculos semelhantes aos usados para estabelecer identidades notáveis. É ilustrado na figura abaixo.
Primeiro, construímos um quadrado com o lado a / 2. por hipótese, este quadrado tem uma área maior que c . Subtraímos do quadrado, na parte inferior esquerda um pequeno quadrado de forma que a superfície vermelha e roxa tenha uma área exatamente igual a c .
Em segundo lugar, notamos que o comprimento x obtido também é a altura do retângulo vermelho à esquerda. Portanto, é possível mover a zona roxa para a figura à direita e adicionar à esquerda desta figura um quadrado com o lado x . A área vermelha e roxa é, de acordo com a construção da figura à esquerda, igual a c . Por construção, a figura à direita tem uma área igual a c + x 2 . Esta área é também igual ao machado , porque a figura é um rectângulo com base de um e altura x , o que dá a solução da equação. Este método de resolução vem diretamente do Livro II dos Elementos de Euclides.
Os gregos finalmente perceberam que seu postulado inicial estava errado. Nem todos os comprimentos são expressos como uma fração de dois inteiros. Uma questão, natural para um pitagórico, é a determinação da fração de números inteiros que descreve a proporção entre uma diagonal e seu lado, para um pentágono ou um quadrado. Essa proporção não é uma fração de um número inteiro. Os métodos de álgebra geométrica são adequados para responder a esta questão. Em termos modernos, a questão é algébrica porque corresponde à natureza de uma solução de uma equação quadrática.
Os pitagóricos desenvolveram o culto do sigilo sobre o seu conhecimento, por isso é difícil saber com precisão quando, por quem e com que métodos foi feita a descoberta e depois a demonstração. Várias hipóteses foram imaginadas e, até o momento, nenhuma é unânime.
O historiador Kurt von Fritz apresenta a seguinte hipótese: Hipásio, depois de ter descoberto como construir o pentágono, teria procurado determinar a seção da razão extrema e média, ou seja, a relação entre uma diagonal e um lado de uma regular Pentágono. Ele imagina que esta seção é uma fração n / m de dois inteiros. Um procedimento para encontrar esses valores n e m consiste em construir um retângulo com base n e altura m . Tentamos preencher este retângulo com quadrados com o lado o maior possível. O primeiro valor é no lado m e que pode colocar um único quadrado, em vermelho na figura.
Depois de colocar o quadrado vermelho, a área restante é um quadrado com lados m e n - m . Multiplicando por n / m , observa-se que o quadrado é homotética a um quadrado da altura m e de base n . Este resultado é consequência da igualdade 1 / (φ - 1) = φ. Deduzimos que podemos então colocar um único quadrado, em azul escuro na figura e no lado n - m . Acima de tudo, deduzimos que o procedimento nunca para!
Esse procedimento, conhecido desde os babilônios no cálculo da razão entre a diagonal e o lado de um quadrado, permite dar uma seqüência de frações que se aproxima cada vez melhor da fração φ. Obtemos: 1, então 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 ..., ou seja, frações cada vez mais próximas de φ, com numeradores crescentes e denominadores. Este comportamento não faz sentido, os denominadores nunca devem exceder m . Os quadrados vermelhos e depois os azuis necessariamente têm lados inteiros. O historiador Maurice Caveing conclui que é razoável pensar que essas observações permitiram a realização de uma revelação surpreendente : o fato de que todos os tamanhos não são frações.
Existem outras maneiras de concluir a partir da construção anterior. Nós sempre assumir que φ é um número racional, denotado n / m , e construir um pentágono regular com o lado m e diagonal n . A figura à direita mostra como construir um novo pentágono, com o lado n - m e diagonal m , o lateral e diagonal do novo pentágono ainda estão inteiros, mas desta vez menor. Podemos, portanto, continuar indefinidamente. A série de lados então forma uma lista estritamente decrescente e infinita de inteiros positivos, o que é impossível. Esse raciocínio é chamado em matemática de uma descida infinita .
Existe também uma maneira mais rápida e fácil de concluir. Com as mesmas premissas, escolhemos, para o valor de n / m , uma representação irredutível, ou seja, m é o menor valor que o lado do pentágono deve assumir para que o diâmetro seja de comprimento total. O pentágono em vermelho na figura da direita mostra que é possível construir um pentágono com o lado n - m e diagonal completa. Essa contradição nos permite concluir.
Há um consenso relativamente grande entre os historiadores de que Hippasus não conseguiu completar a demonstração. Por exemplo, para a descida infinita, Caveing observa que: "O que falta na prova é apenas o axioma de Arquimedes , ou um lema equivalente, de que no testemunho do próprio Arquimedes não temos o direito de voltar mais alto do que Eudoxus de Cnidus ” . Assim, Caveing acredita que durante o período hipasiano nenhuma descoberta científica bem-sucedida foi possível.
A lógica apresentada para o pentágono também se aplica à diagonal do quadrado. Encontramos vestígios disso nos livros de Euclides. A prova por descendência infinita é encontrada no Livro X , na Proposição 117. A prova de que a fração contínua de um número racional é finita é encontrada no Livro VII . Para esse caso particular, esse algoritmo agora recebe o nome de algoritmo euclidiano . Há também uma demonstração diferente, ainda presente em Euclides, e citada por Aristóteles "Eles provam que o diâmetro do quadrado é incomensurável para o lado, mostrando que, se admitimos que é comensurável a ele, um número ímpar seria igual para um par. “ O historiador Oskar Becker mostra que esse raciocínio se baseia em um conhecimento arcaico dos gregos em termos de geometria aritmética, pode ser muito antigo. O método consiste em demonstrar que "O dobro de um número quadrado nunca é um número quadrado" .
Uma reconstrução da possível demonstração arcaica, baseada na aritmética geométrica, é baseada na figura à esquerda. Ainda procede pelo absurdo. Consideramos o menor número quadrado do lado uma soma de dois números quadrados do lado b . O número quadrado do lado a é par e, portanto, a também é. O lado b é ímpar, caso contrário, escolher uma unidade duas vezes maior resultaria em um novo valor duas vezes menor que a , cujo quadrado é a soma de dois quadrados. Além disso, um quadrado com o lado b tem a mesma área de um retângulo de altura a e duas vezes maior que sua base (em azul na figura). Esse retângulo é composto de dois números quadrados, então é par e o quadrado do lado b também é, assim como b . O lado b é um número par e ímpar. Essa contradição mostra que b não existe e encerra a prova.
Uma vez demonstrada esta proposição, a irracionalidade da raiz quadrada de dois é obtida aplicando o teorema de Pitágoras à figura à direita. Se houvesse uma unidade tal que todos os lados do triângulo retângulo isósceles na figura fossem inteiros, o resultado anterior seria falso.
Uma consequência da existência de irracionais é que as provas de propriedades estabelecidas em frações de inteiros no início do artigo não tratam do caso geral. No entanto, o uso de álgebra geométrica e uma abordagem diferente ainda nos permitem demonstrar que uma fração b / c é igual a ( ab ) / ( ac ) se a , b , c são três números reais positivos, de modo que a e c não são zero.
Para mostrar isso, consideramos duas linhas (preto na figura à direita) com intersecção como um único ponto A . Definimos os pontos B e C de forma que a distância AB seja igual ab e AC até c . Os pontos B e C estão cada um em uma das linhas, conforme mostrado na figura. O ponto D (resp. E ) está localizado na linha AB (resp. AC ) e a distância AD (resp. AE ) é igual a ab (resp. Ac ). O teorema de Tales indica que as linhas vermelhas são paralelas e que:
.Podemos restabelecer dessa forma todas as leis que regem as quatro operações em qualquer número. Este trabalho é realizado no Livro VI dos Elementos de Euclides , que por esta razão é considerado álgebra geométrica.
Todas as demonstrações propostas neste artigo utilizam o princípio de medição de uma ou mais áreas. Esta regra é uma característica da álgebra geométrica e esta prova não é exceção. A prova de Euclides do teorema de Tales é baseada no mesmo princípio.
Se se utilizam sempre as demonstrações ou ilustrações anteriores, pela sua simplicidade e pelo seu aspecto intuitivo, uma construção rigorosa das regras de funcionamento em álgebra, tal como realizada no livro VI, não se torna simples nem intuitiva.
Os conceitos matemáticos gregos não são adequados para uma linguagem algébrica. Essa observação é particularmente verdadeira para os primeiros períodos, como o pitagórico. Um número é uma coleção de várias unidades ( um não é um número), no nosso caso corresponde a um inteiro positivo estritamente maior que um. Uma proporção não é um número, mas uma comparação de duas quantidades. A noção de proporção adquire significado com a ajuda da proporção. Quatro grandezas a , b , c e d estão em proporção se a proporção a : b for igual à proporção c : d . A unidade é uma quantidade física elementar, como um comprimento ou uma área que, associada a números ou proporções, permite expressar as quantidades presentes em uma figura geométrica. Na matemática helenística, não há multiplicação interna real. A multiplicação de dois comprimentos dá a área de uma figura plana, a multiplicação dos dois números um e b corresponde mais à adição iterada um vezes o número de b do que um verdadeiro multiplicação. A diferença entre seus conceitos e nosso formalismo complica a compreensão da matemática grega. Consequentemente, a apresentação das ideias matemáticas contidas neste artigo está, por razões de simplicidade de compreensão, muito longe de um verdadeiro tratado de tempo, como se encontra em Euclides de Megara . Por exemplo, o uso do símbolo 1 para determinar a seção da razão extrema e média não faria sentido para um grego.
A segunda dificuldade surge da escassez de fontes antes de Platão . O V th e IV th séculos aC. AD estão quase vazios em termos de tratados matemáticos. O conhecimento dos historiadores provém de fontes de vários séculos e nem sempre confiáveis, de estudos precisos sobre o significado exato de certas palavras, que também podem ser encontrados em textos não matemáticos, análises arqueológicas ou mesmo o estudo de importações de outras civilizações. A partir dessas diferentes indicações, os historiadores reconstroem as manifestações possíveis e as situam em suas respectivas épocas e escolas. Se, ao longo do tempo, todos os índices acabam dando uma imagem coerente e consensual em linhas gerais, muitos pontos de divergência, mesmo em questões importantes, ainda estão presentes entre os diversos especialistas.
Em seu livro de 1902, Zeuthen apresenta o conceito de álgebra geométrica principalmente para descrever o Livro II de Euclides e para observar que é equivalente a resolver uma equação quadrática. Ele não toma precauções oratórias particulares; ele atribui a Euclides a vontade de: "transportar, para as equações dadas numericamente, a solução geral encontrada para as equações quadráticas" . Tannery está convencido da veracidade dos testemunhos, numerosos, embora muitas vezes tardios e pouco confiáveis, atribuindo a descoberta dos irracionais à época de Pitágoras. Ele pensa que este verdadeiro escândalo lógico está na origem do milagre matemático grego que são os Elementos de Euclides. No entanto, essa descoberta só pode ocorrer na medida em que o domínio das questões secundárias seja suficiente. Essas questões se enquadram no domínio algébrico, o conceito de Zeuthen parecia frutífero para ele, e ele o adotou no ano seguinte. Para o Curtume, o que limitou os gregos no processo não foi tanto a ausência de um pensamento algébrico, mas um vocabulário adaptado, que eles não possuíam: "O que falta aos matemáticos gregos são menos os métodos [...] do que as fórmulas específicas do exposição dos métodos ” .
Se, como Heath , essa ideia é frequentemente adotada por historiadores da época, ela gerou uma primeira polêmica na década de 1920. A forma da matemática grega é geométrica, extrair uma finalidade algébrica não é essencial. O gosto de todos e Jacob Klein afirma assim: “Além disso, a maioria das histórias clássicas tenta entender a matemática grega usando o simbolismo moderno, como se este fosse extrínseco ao conteúdo matemático, que poderia ser revestido de qualquer forma. " . Falar de equações em Euclides, como faz Zeuthen, sugere que os gregos já tinham uma incógnita sobre a qual podiam operar algebricamente, como Al-Khawarizmi. No entanto, tal abordagem não existia antes de Diofanto.
Otto Neugebauer traz, na década de 1940, argumentos a favor da tese de Zeuthen e Curtume. Seus estudos de outras culturas matemáticas mostram que os gregos da época de Pitágoras importavam técnicas mesopotâmicas. Este conhecimento é baseado em métodos e procedimentos de cálculo (pertencentes à mesma família das frações continuadas) que permitem aproximar raízes ou mesmo métodos de resolução de questões quadráticas. Essa cultura é algébrica , no sentido de que se baseia em equivalentes de algoritmos (a palavra será inventada posteriormente) cujo objetivo é computacional. Como a construção da seção da razão extrema e média, muitas obras da escola de Pitágoras são traduções de resultados mesopotâmicos para a linguagem geométrica jônica. O conceito de álgebra geométrica estende-se a este ramo do conhecimento, agora coberto pela álgebra e que é demonstrado nos gregos por meio da medida de áreas. Encontramos aí a teoria das proporções, presente nos livros V e VI que descrevem resultados ora contidos nos axiomas de um campo comutativo , métodos de resolução e análise da natureza de uma solução de uma questão de grau 2 presentes no livro II, ou o aplicação do algoritmo de Euclides às proporções, no livro X, para demonstrar sua incomensurabilidade. Também contém demonstrações, já arcaicas na época de Euclides, como a teoria dos pares e ímpares.
Até a década de 1970, os historiadores não hesitavam mais em confiar no conceito de Zeuthen e Tannery, mesmo que alguns como Wilbur Knorr usassem precauções oratórias. A polêmica é então relançada. Sabetai Unguru (de) percebe a existência de um diagrama ordinário, presente entre os chineses, indianos, árabes ou mesmo europeus, que todos partem da geometria para alcançar, após um certo grau de abstração, uma formalização mais algébrica. O padrão entre os gregos seria então o inverso; de uma concepção de orientação algébrica, herdada dos mesopotâmicos, eles teriam se encaminhado para um sistema geométrico. O Unguru não imagina esse esquema realista. Essa posição, que ele acredita exigir uma profunda reescrita da história da matemática grega, é seguida por outros historiadores, como Szabó.
A resposta é fornecida por vários especialistas, incluindo van der Waerden, que considera que Szabó atribui demasiada importância ao formalismo, que a característica dos métodos pitagóricos aqui expostos é a sua natureza computacional e algorítmica e que foram bem herdados dos babilônios. Michael Sean Mahoney , que compartilha da opinião de van der Waerden, observa que os matemáticos fundadores da álgebra, como Al-Khawarizmi ou Viète , são amplamente inspirados pelos textos de Euclides para construir suas teorias.
Apesar da polêmica, muitos especialistas como Burkert, Itard ou Caveing fazem uso do conceito. Se os historiadores generalistas também o utilizam para obras de popularização, a expressão muitas vezes acompanha um alerta como: "O termo álgebra para uma época em que a busca do desconhecido ainda não está explícita, e muito menos o estudo de" equações ", deve ser usado com cautela " . O uso do termo álgebra para a matemática antiga não caiu em desuso. Se o uso da expressão álgebra geométrica às vezes extrapola o contexto grego na história da ciência, o caso é suficientemente raro para merecer ser notado.
Se a história da álgebra geométrica começa com Pitágoras, como indica Maurice Caveing: “há razões para acreditar que a matemática grega não nasceu, como a filha de Métis, totalmente armada com a cabeça de Zeus” . Para este autor, a escola pitagórica é herdeira tanto da escola jônica com as obras de Tales de Mileto quanto da herança egípcia e mesopotâmica . O trabalho da escola Thales já está modificando a orientação da matemática grega. Ele introduz a noção de prova. Certamente não eram tão sofisticados quanto os encontrados em Euclides, mas essa especificidade grega já está presente, diferenciando-os de seus predecessores. Uma segunda especificidade da matemática jônica é sua inclinação para a geometria. Os resultados dados a esta escola são, por exemplo, o fato de que um triângulo isósceles tem dois ângulos iguais ou que um triângulo com uma base do diâmetro de um círculo e cujo último vértice está localizado no círculo é retângulo.
Ao contrário dos jônicos, a cultura mesopotâmica, falhando em ser qualificada como algébrica, é algorítmica. As várias tabuinhas que chegaram até nós mostram a matemática na forma de problemas a serem resolvidos. O BM 13901 anotado , que contém 24 questões quadráticas , sugere uma ajuda geométrica para guiar o algoritmo usado. A tabuinha YBC 7289 mostra o conhecimento do resultado do algoritmo descrito neste artigo para a descoberta da irracionalidade da seção de razão extrema e média, mas desta vez aplicada à diagonal de um quadrado. Todos os ingredientes para descobrir a irracionalidade estão presentes.
A escola pitagórica cultiva o culto ao sigilo sobre seu conhecimento. É, portanto, difícil saber exatamente o conteúdo, datar com precisão e associar um nome aos vários avanços. No entanto, é a esta escola que devemos o nascimento da álgebra geométrica grega. Esta escola herda o conhecimento babilônico, bem como a orientação para a geometria e as demonstrações dos jônicos. Essa fusão de conhecimentos trouxe um novo resultado: a álgebra geométrica que, naquela época, ainda se limitava em grande parte à aritmética geométrica.
A ciência mesopotâmica traz o poder do cálculo. Permite na geometria um progresso que provavelmente nunca havia feito os egípcios ou os mesopotâmicos. Um exemplo é dado pelas primeiras provas parciais do teorema de Pitágoras , que geralmente é atribuído a essa época. Só se aplica no caso em que os lados são comensuráveis - ou seja, onde o triângulo corresponde a um tripleto pitagórico - e usa uma grade típica da aritmética geométrica, ilustrada na figura à esquerda. Neste exemplo, tentamos encontrar a área do quadrado em vários azuis, ao lado da hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos outros lados têm comprimentos 3 e 4. O agrupamento dois por dois dos triângulos internos no quadrado azul permite concluir.
O poder da abordagem leva-os a aplicá-la em casos de comprimentos incomensuráveis, sem necessariamente estarem cientes de uma possível incomensurabilidade. A construção do pentágono impõe a determinação da seção de razão extrema e média, que corresponde a uma questão de segundo grau. Os procedimentos computacionais da Mesopotâmia são capazes de superar essa dificuldade. Esta construção é provavelmente realizada na época de Pitágoras. Ilustra a orientação grega, o resultado não é uma fração próxima ao valor desejado, mas uma construção geométrica exata.
A descoberta mais importante frequentemente atribuída aos pitagóricos e à álgebra geométrica é a do incomensurável. Os elementos já estavam quase presentes entre os babilônios, que entretanto nunca falaram disso. É provavelmente uma atitude mais especulativa e menos pragmática entre os gregos que faz a diferença. Os mesopotâmicos, entretanto, também concebiam a matemática como uma especulação, como mostra a tabuinha ilustrada no parágrafo anterior. Ele fornece a raiz de dois com uma precisão de cinco casas decimais, o que não tem nenhum interesse prático devido à sua tecnologia. No entanto, os mesopotâmicos escolheram uma numeração com notação posicional , um pouco como nossa notação decimal. Se essa notação é mais prática para as ciências da engenharia, é menos adequada do que a escrita fracionária dos gregos para o trabalho teórico sobre a irracionalidade. Um valor cuja notação posicional não termina, como 0,11111 ..., não significa irracionalidade.
A escola de Pitágoras fornece um conhecimento ainda distante daquele que se encontra, na álgebra geométrica, nos Elementos de Euclides. Para atingir esse objetivo, as dificuldades podem ser classificadas em três categorias.
O primeiro conjunto de dificuldades é lógico. A descoberta de irracionais mostra a existência de sequências cujo comportamento parece não fazer muito sentido. O exemplo dado no artigo não é o mais estudado, os gregos preferem aquele associado à diagonal do quadrado. É obtido por um processo mais simples e possui as mesmas propriedades. Esta sequência de proporções parece dificilmente compatível com a hipótese de que qualquer par de comprimentos é comensurável. Se ficar cada vez mais perto da proporção desejada, nunca a atinge. Muitos viram no Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga um estudo lógico resultante de uma reflexão sobre as sequências resultantes do cálculo dos incomensuráveis, ou seja, uma sequência que se aproxima infinitamente de seu alvo, sem jamais tocá-lo. A ausência de uma base lógica suficiente teria levado Zenão de Elea a condenar o raciocínio pitagórico. Para resolver esse escândalo lógico de forma confiável , para usar a expressão de Tannery, era necessário construir uma lógica consistente. Na época de Aristóteles, o trabalho estava feito. Seu Analytics mostra claramente como articular o raciocínio por meio do absurdo sem risco de erro. Este autor usa várias vezes o exemplo do fato de que a diagonal de um quadrado não é comensurável com seu lado.
O segundo conjunto de dificuldades diz respeito à modificação do arcabouço conceitual, imposto pelos imensuráveis. Na época de Pitágoras, o teorema que leva seu nome é uma igualdade entre os números - sempre inteiros com os gregos -; com Euclides, este teorema é uma igualdade entre áreas, que desta vez não têm razão para poderem ser representadas por números. Esta modificação impõe uma reconstrução total da matemática, a prova do teorema de Tales também deve ser revista, bem como todas as demonstrações que agora devem deixar sua matriz comensurável e não podem mais ser baseadas em uma lógica baseada na aritmética geométrica. Dominar os incomensuráveis também supõe uma aritmética mais forte, para realizar o raciocínio apresentado para a descoberta dos irracionais. Em Euclides, o raciocínio que mostra que no caso de quantidades comensuráveis o algoritmo para, tornou-se rigoroso. No entanto, deixou sua origem da aritmética geométrica, este algoritmo não fornece mais a unidade da figura (ou seja, a maior unidade que permite expressar os dois comprimentos como múltiplos da unidade), mas o maior divisor comum entre dois números. O historiador Jean Itard se expressa assim sobre a teoria dos números em Euclides: “Está quase totalmente livre de aritmo-geometria, numeração prática e logística, mas permanece intimamente ligada à teoria. Relatórios” .
Por fim, a terceira série de dificuldades consiste em desenvolver ferramentas que permitam compreender o comportamento assintótico da estranha sequência de origens da descoberta. De uma forma ou de outra, impõe um certo domínio do fenômeno limite , que é então enfrentado pelo esgotamento . O Livro V dos Elementos permite construir um universo admitindo os incomensuráveis e os fenômenos de convergência, preservando as propriedades algébricas agora expressas na forma de axiomas como a distributividade da multiplicação em relação à adição no corpo dos reais . Este trabalho não deixa de ter consequências, pois impõe o que será o axioma de Arquimedes e permitirá que o argumento da descida infinita seja solidamente fundamentado.
Dois séculos separam Pitágoras e Euclides. Em alguns aspectos, o propósito não mudou. Lá ainda encontramos os métodos que comprovam as propriedades algébricas das proporções, como a distributividade presente nos livros V e VI, os procedimentos para resolver questões quadráticas e o uso da antiférese - equivalente a uma fração contínua - no livro. X para estabelecer a incomensurabilidade de certas proporções. Em outros aspectos, a teoria é metamorfoseada. Assenta numa lógica axiomatizada, a teoria das proporções leva em consideração os incomensuráveis e a aritmética utilizada já não tem muito a ver com a de Pitágoras. Consequentemente, todas as vias de manifestações apresentadas neste artigo foram exploradas rigorosamente com sucesso e os paradoxos não estão mais lá. Se a aritmética geométrica de Pitágoras descobre o incomensurável, a álgebra geométrica de Euclides o domina. O grande ausente continua sendo o número ainda limitado a inteiros. Eudoxus não consegue definir o axioma de Arquimedes como o imaginamos hoje. Este axioma depende da quantidade considerada e o matemático, em última análise, trata apenas do caso de áreas
Se os fundamentos introduzidos na época de Pitágoras permanecem imbuídos da origem mesopotâmica, o propósito é modificado. Um algoritmo como a antiférese não é mais usado para aproximar uma proporção, mas para estabelecer a propriedade da incomensurabilidade. O desprezo pelos cálculos para os gregos é notório, Heródoto é impedido por uma divisão por 48. Para Szabó, essa modificação de finalidade não é a mais importante. Não há formalismo algébrico entre os gregos e o fato de o objeto principal de estudo ser uma proporção e não um número dificilmente é um fator favorável. Essa ausência de formalismo algébrico é a prova de uma orientação geométrica, longe das preocupações e ideias de um precursor da álgebra como Diophantus. Com Euclides, a ideia de uma equação não aparece e não pode aparecer. Operar em um desconhecido e não mais apenas em números, dificilmente é possível aqui. No entanto, a equação e seu desconhecido são frequentemente considerados a certidão de nascimento da álgebra.
Para van der Waerden, a característica da álgebra é a demonstração e o uso de uma estrutura. O trabalho de Eudoxus consiste em assegurar a existência de um mundo com propriedades algébricas, como a distributividade ou a comutatividade de uma multiplicação de proporções, respeitando uma relação de ordem. Esta questão é fundamentalmente algébrica e o facto de Eudoxe encontrar um resultado equivalente aos cortes de Dedekind não é fruto do acaso, ambos procuram resolver a mesma questão, independentemente do vestuário ou formalismo escolhido e o material matemático permanece. O mesmo. Da mesma forma, o Livro II estabelece propriedades comumente chamadas de identidades notáveis. São válidos em todos os anéis comutativos e, portanto, das proporções geométricas dos gregos.O fato de trabalhar em uma estrutura com vocação geométrica não altera em nada a sua natureza algébrica. O uso entre os gregos da antiférese visa uma classificação dos incomensuráveis. Essa ideia, que será levada muito mais longe na teoria de Galois , também é uma questão algébrica. Em conclusão, para van der Waerden, se a finalidade e o formalismo são geométricos, a própria natureza da álgebra geométrica permanece inalterada desde a Mesopotâmia.
Para os fundadores da álgebra árabe e europeia, a álgebra geométrica é essencial. A lógica de resolver uma equação por Al-Khawarizmi só é possível na medida em que as propriedades algébricas do conjunto a partir do qual os coeficientes do polinômio são derivados são estabelecidas. Em seu tratado Abrégé du calcul par la restauration et la compare , Al-Khawarizmi confia em Euclides para estabelecer a relevância da abordagem, assim como seu discípulo Abu Kamil . O Livro V é o único a propor uma construção algébrica suficientemente sólida para representar a estrutura de números reais positivos. Euclides, não tendo como expressar o incomensurável, desenvolve em uma linguagem geométrica um equivalente de identidades notáveis - no sentido de van der Waerden - de forma genérica. Essa genericidade é essencial para os primeiros algebristas árabes que não têm nenhum parâmetro e se contentam em ilustrar seus princípios com exemplos. No XVI th século na Europa, Vieta preenche esta lacuna e desenvolve o conceito de parâmetro, generalizando álgebra e permitindo a expressão de resultados mais poderosos, como fórmulas de viète . Para Viète, a construção da álgebra geométrica continua essencial. Assim, por quase 2.000 anos, a álgebra geométrica foi uma ferramenta essencial para algebraists europeus e árabes. Este elemento convence Mahoney do caráter algébrico da teoria.
Referências didáticas:
Referências acadêmicas:
(en) Luigi Borzacchini, “ Geometric algebra ” , on Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Bari