Na geometria euclidiana , um polígono (do grego polus , many, e gônia , ângulo ) é uma figura geométrica plana formada por uma linha quebrada (também chamada de linha poligonal ) fechada, ou seja, uma seqüência cíclica de segmentos consecutivos.
Os segmentos são chamados de arestas ou lados e as extremidades dos lados são chamadas de vértices ou cantos do polígono.
Um polígono é considerado cruzado se pelo menos dois lados não consecutivos se cruzarem, e simples se a intersecção de dois lados estiver vazia ou reduzida a um vértice para dois lados consecutivos. A soma dos ângulos de um polígono simples ( convexo ou não) depende apenas do seu número de vértices.
No caso de polígonos simples , muitas vezes confundimos o polígono e seu interior chamando a superfície do polígono limitada pela linha poligonal fechada.
A noção de polígono é generalizada:
Um polígono é composto:
Um polígono é geralmente designado pela justaposição das letras que designam os vértices, na ordem abaixo.
A designação de um polígono em toda a generalidade é, portanto, escrita A 1 A 2 A 3 ··· A n , composta por n vértices en segmentos [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],…, [ A n –1 , A n ] e [A n , A 1 ].
Cada vértice distinto de seus dois vizinhos está associado a um ângulo interno : é o ângulo entre os dois lados que terminam no vértice.
O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de seus lados.
A ordem de um polígono é o número de seus lados. É obviamente também o número de seus vértices ou de seus ângulos.
As linhas que sustentam os lados de um polígono são chamadas de lados estendidos desse polígono.
A diagonal de um polígono é um segmento que une dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento que une dois vértices e que não é um lado do polígono.
Um polígono com n lados, portanto, tem diagonais.
Existem muitas maneiras de classificar os polígonos: de acordo com sua convexidade , suas simetrias , seus ângulos ... Mas primeiro os classificamos de acordo com seu número de lados.
Os polígonos podem ser classificados entre si de acordo com sua ordem .
Os polígonos de ordem 1 e 2 são ditos degenerados: eles correspondem respectivamente a um ponto e a um segmento e, portanto, têm em particular uma área zero.
O polígono não degenerado mais básico é o triângulo .
Em seguida, vem o quadrilátero , de ordem 4.
A partir da ordem 5, cada nome de polígono é formado por uma raiz grega correspondente à ordem do polígono seguida pelo sufixo -gone .
Para encontrar seu caminho ao redor da nomenclatura de polígonos, deve-se lembrar que -kai- significa "e" em grego , e que -conta- significa "dez". Por exemplo, a palavra triacontakaiheptágono significa três ( tria- ) dezenas ( -conta- ) e ( -kai- ) sete ( -hepta- ) unidades e, portanto, corresponde a um polígono de trinta e sete lados "e" sendo interpretado aqui como " mais ".
Além de 12 lados, o costume é falar de um polígono com n lados .
No entanto, existem vários nomes antigos para números "redondos", como um polígono com vinte lados (icosa-), cem lados (hecto-), mil lados (chilio-) e dez mil lados (mirria-).
Denominações poligonaisd'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1ª ed. , t. Volume 12,1751( leia no Wikisource ) , p. 941-943
A Enciclopédia fornece o princípio ao qual a numeração do grego antigo deve ser adicionada.
Os mesmos princípios se aplicam a poliedros , onde é suficiente para substituir o sufixo -gone com o sufixo -èdre .
Diz-se que um polígono é cruzado se pelo menos dois de seus lados se cruzam , isto é, se pelo menos dois de seus lados não consecutivos se cruzam. É o caso do pentágono ABCDE oposto.
Polígono simplesUm polígono é considerado simples se dois lados não consecutivos não se encontrarem e dois lados consecutivos tiverem apenas um de seus vértices em comum. Um polígono simples é sempre descruzado.
Em seguida, forma uma curva de Jordan , que delimita uma parte limitada do plano, chamada de seu interior . A área de um polígono simples é chamada de área de seu interior.
Polígono não convexoUm polígono simples é considerado não convexo se seu interior não for convexo , ou seja, se uma de suas diagonais não estiver inteiramente em seu interior.
Por exemplo, o pentágono único oposto ACDBE é não convexo porque as diagonais [B, C] e [C, E] não estão dentro do polígono. O segmento aberto ] B, C [está completamente fora. A existência de tal "boca" é uma propriedade geral de polígonos não convexos simples.
Polígono convexoUm polígono é considerado convexo se for simples e se seu interior for convexo . Assim, o hexágono MNOPQR oposto é convexo.
As simetrias de um polígono de ordem n são as isometrias do plano euclidiano que permutam seus n vértices e suas n arestas. Tal mapa afim necessariamente fixa o isobarycenter G dos vértices, portanto, só pode ser de dois tipos:
O conjunto de simetrias de qualquer figura plana é um subgrupo do grupo de isometrias planas. Na verdade, quando compomos duas dessas simetrias ou quando tomamos a bijeção recíproca de uma delas, o resultado ainda é uma simetria da figura.
As simetrias de um polígono de ordem n até mesmo formam um grupo finito , que é igual, para algum divisor d de n :
Um polígono de ordem n diz-se regular se for equilátero (lados iguais) e equiangular (ângulos iguais), ou se for “o mais simétrico possível”, ou seja, se o seu grupo de simetria for D n . Para isso, basta que o polígono tenha n eixos de simetria, ou então: uma rotação de ordem n . Quando dizemos “ o polígono regular de ordem n ”, é o polígono convexo “ único ” desta família (podemos calcular facilmente o seu perímetro e a sua área ).Os outros seriam estrelados .
Alguns exemplos e contra-exemplosO grupo de simetria é diedro se e somente se o polígono tem um eixo de simetria. Se o polígono não é cruzado , esse eixo passa necessariamente por um vértice ou o ponto médio de um lado .
Mais precisamente :
Em um polígono de ordem n , para o isobarycenter ser um centro de simetria - isto é, para o grupo de simetria C d ou D d conter a rotação do ângulo π - é necessário e suficiente seja d par, então n deve ser igual. Os lados opostos são então paralelos e do mesmo comprimento.
Os quadriláteros não cruzados com simetria central são os paralelogramos.
Diz-se que um polígono é igual a quando todos os seus ângulos internos são iguais. Em um polígono convexo equianulado com n lados, cada ângulo interno mede (1 - 2 / n ) × 180 ° (cf. § “Soma dos ângulos” abaixo ).
Alguns exemplosUm triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois ângulos agudos .
Os quadriláteros convexos com pelo menos dois ângulos retos são os trapézios retos e as pipas com dois ângulos retos (em) (compostos de dois triângulos retângulos unidos por sua hipotenusa).
Os quadriláteros com pelo menos três ângulos retos são os retângulos.
Um polígono convexo não pode ter mais de quatro ângulos retos.
Diz-se que um polígono é gravável quando todos os seus vértices estão no mesmo círculo , chamado de círculo circunscrito ao polígono . Seus lados são, então, cadeias desse círculo .
Entre os quadriláteros graváveis estão trapézios isósceles , antiparalelogramos e pipas de dois ângulos retos .
Polígono circunscrevendo (com um círculo)Um polígono é considerado circunscrito quando todos os seus lados são tangentes ao mesmo círculo, chamado de círculo inscrito no polígono . Anglófonos e falantes de alemão batizaram esse tipo de polígono de "polígono tangente".
Exemplos de quadriláteros circunscritosUm polígono que pode ser inscrito e circunscrito é considerado bicêntrico (in) . Triângulos e polígonos regulares são bicêntricos.
Veja também: " Grande teorema de Poncelet " e " Quadrilátero bicêntrico (in) ".
A soma dos ângulos internos de um polígono simples de ordem n não depende de sua forma. Vale a pena (em radianos e em graus ):
Na verdade, esta fórmula, bem conhecida por n = 3 , é generalizada dividindo o polígono em n - 2 triângulos contíguos dois a dois por um lado comum, que é uma diagonal deste polígono (no caso particular de um polígono convexo, basta considerar todos os segmentos que unem um determinado vértice a todos os outros).
Outra forma de demonstrar esta fórmula é observar que (para ângulos adequadamente orientados ) a soma dos n ângulos externos é igual a 360 ° e os ângulos externos e internos associados ao mesmo vértice têm a soma de 180 ° .
Dois polígonos são considerados equivalentes se eles podem ser obtidos por rotação ou reflexão um do outro.
Assim, pois existem polígonos não equivalentes (continuação A000940 do OEIS ).
Entre eles, alguns são quirais ( polígonos quirais para os lados). O número de polígonos não equivalentes por rotação apenas vale, portanto, (continuação A000939 do OEIS ).