Automorfismo ortogonal
Em matemática , e mais precisamente em álgebra linear , um automorfismo ortogonal de um espaço prehilbertiano E é um automorfismo f que preserva o produto escalar , ou seja , que verifica:
∀x,y∈E⟨f(x)∣f(y)⟩=⟨x∣y⟩{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ langle f (x) \ mid f (y) \ rangle = \ langle x \ mid y \ rangle}.
De forma equivalente, um endomorfismo F de E é um automorphism ortogonal se e somente se f é bijective e admite a adjunto , ou seja, se .
f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}f∘f∗=f∗∘f=eudE{\ displaystyle f \ circ f ^ {*} = f ^ {*} \ circ f = \ mathrm {id} _ {E}}
No campo dos complexos, também é denominado automorfismo unitário .
Os automorphisms ortogonais de E são isométrica vector sobrejetivo de E em E . Na dimensão finita , essa sobrejetividade é automática.
Propriedades
Vamos f um endomorphism de E .
A conservação do produto escalar envolve a da norma , ou seja , para todos , . Por outro lado, as identidades de polarização garantem que qualquer isometria vetorial preserva o produto escalar.
x∈E{\ displaystyle x \ in E}‖f(x)‖=‖x‖{\ displaystyle \ | f (x) \ | = \ | x \ |}
Em dimensão finita, a injetividade de f implica sua bijetividade; assim, qualquer isometria vetorial de um espaço euclidiano (resp. hermitiano ) é um automorfismo ortogonal (resp. unitário).
Em dimensão finita, f é uma isometria vetorial se e somente se os vetores coluna de sua matriz em uma dada base ortonormal são unitários e ortogonais dois a dois. Consequentemente, um endomorfismo de um espaço Euclidiano (resp. Hermitiano) é um automorfismo ortogonal (resp. Unitário) se e somente se sua matriz em uma dada base ortonormal for ortogonal (resp. Unitária ).
Se f é uma isometria vetorial de um espaço préhilbertiano, então todos os seus autovalores são de módulo 1 (em particular, seus únicos autovalores reais possíveis são 1 e –1).
Representação em uma base ortonormal
Na dimensão 2 ou 3
Em um plano euclidiano, existem dois tipos de automorfismos ortogonais:
- as rotações , que admitem uma matriz representativa da seguinte forma em base ortonormal
(porqueθ-pecadoθpecadoθporqueθ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\\ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}}.
Se o espaço for orientado, θ é o ângulo de rotação;
(100-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}.
Em um espaço euclidiano tridimensional, encontramos os três tipos a seguir:
- as rotações , cuja matriz representativa em uma base ortonormal adequada
(1000porqueθ-pecadoθ0pecadoθporqueθ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ fim {pmatrix}}} ;
- reflexões (simetrias ortogonais em relação a um plano)
(-100010001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}} ;
- as roto-reflexões , compostas por uma rotação diferente da identidade e a reflexão em relação ao plano normal ao eixo desta rotação
(-1000porqueθ-pecadoθ0pecadoθporqueθ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}}.
Caso Geral
De modo mais geral, vamos f automorphism ortogonal de um espaço euclidiano E . Existe uma base ortonormal na qual a matriz de f é bloco diagonal com dois tipos de blocos:
- blocos de tamanho 1 contendo 1 ou -1 (correspondendo a espaços limpos reais).
- blocos de tamanho 2 do formulário
(porqueθ-pecadoθpecadoθporqueθ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}.
Nesta decomposição, o número de –1 é par se e somente se f for um automorfismo ortogonal direto (do determinante 1).
A prova desse resultado de decomposição pode ser feita na estrutura mais geral dos endomorfismos normais .
Qualquer automorfismo unitário de um espaço Hermitiano é diagonalizável em uma base ortonormal.
Caracterizações de um automorfismo ortogonal em dimensão finita
Seja o espaço euclidiano (resp. Hermitiano) e . As seguintes proposições são equivalentes:
E{\ displaystyle E}f∈eu(E){\ displaystyle f \ in L (E)}
-
f é um automorfismo ortogonal (resp. unitário) de E ;
-
ff∗=eudE{\ displaystyle ff ^ {*} = \ mathrm {id} _ {E}} ;
-
f∗f=eudE{\ displaystyle f ^ {*} f = \ mathrm {id} _ {E}} ;
-
f é invertível e ; f-1=f∗{\ displaystyle \ f ^ {- 1} = f ^ {*}}
-
f transforma pelo menos uma base ortonormal em uma base ortonormal;
-
f transforma qualquer base ortonormal em uma base ortonormal.
Observação
-
Para uma demonstração, veja por exemplo este exercício na Wikiversidade .
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