Compacidade (matemática)

Em topologia , dizemos de um espaço que é compacto se for separado e que satisfaz a propriedade Borel-Lebesgue . A condição de separação às vezes é omitida e alguns resultados permanecem verdadeiros, como o teorema de limitação generalizado ou o teorema de Tychonov . A compactação permite passar certas propriedades do local para o global, ou seja, uma propriedade verdadeira na vizinhança de cada ponto torna-se válida de maneira uniforme sobre todo o compacto.

Diversas propriedades dos segmentos da reta real ℝ generalizam para espaços compactos, o que confere a estes últimos um papel privilegiado em vários campos da matemática. Em particular, eles são úteis para provar a existência de extremos para uma função numérica.

O nome desta propriedade é uma homenagem aos matemáticos franceses Émile Borel e Henri Lebesgue , pois o teorema que leva seu nome estabelece que qualquer segmento de ℝ é compacto e, mais geralmente, que os compactos de ℝ n são os de limite fechado .

Uma abordagem mais intuitiva para compactação no caso particular de espaços métricos é detalhada no artigo “  Compacidade sequencial  ”.

Propriedade de Borel-Lebesgue

Definição prévia: Let E um conjunto e uma parte de E . Dizemos que uma família ( U i ) i ∈ I porções E cobre Um caso sua reunião ∪ i ∈ I L i contém A .

Propriedade Borel-Lebesgue para os segmentos: deixe um segmento [ a , b ] da reta real. De qualquer sobreposição aberta deste segmento, pode-se extrair uma cobertura subterrânea finita. Ou seja, para qualquer família ( U i ) i ∈ I de conjuntos abertos cobrindo [ a , b ], existe um subconjunto finito J de I tal que a subfamília ( U i ) i ∈ J já cobre [ a , b ].

Para uma prova dessa propriedade, consulte o teorema de Borel-Lebesgue , também chamado de teorema de Heine-Borel.

A propriedade Borel-Lebesgue está intimamente ligada a uma propriedade de sequências limitadas de reais: de qualquer sequência limitada de reais, podemos extrair uma sequência convergente. A ligação entre as duas propriedades é explicada abaixo (na seção “Teorema de Bolzano-Weierstrass e compactação sequencial” ).

De uma ou outra dessas propriedades é possível tirar algumas consequências importantes nas funções digitais. Em particular: a imagem de um segmento por um mapa contínuo não é apenas (de acordo com o teorema dos valores intermediários ) um intervalo , mas é até mesmo um segmento ( teorema dos limites ), e a função é então uniformemente contínua ( teorema de Heine ) .

A propriedade Borel-Lebesgue (bem como a compactação sequencial) pode ser formulada como uma propriedade intrínseca do espaço topológico estudado (aqui: o espaço [ a , b ] fornecido com sua topologia usual), independentemente do fato de que - aqui ou, possivelmente, incluído em um espaço topológico “maior” (aqui: ℝ) e, portanto, é fornecido com a topologia induzida . Nesse sentido, a noção de "parte compacta" (de um espaço topológico) difere fundamentalmente daquela, por exemplo, de "  parte fechada  ".

Axioma de Borel-Lebesgue e definição geral de compactos

Diz - se que um espaço topológico E é quase compacto se satisfaz o axioma de Borel-Lebesgue  : de qualquer cobertura aberta de E , podemos extrair uma cobertura subterrânea finita. O espaço é dito compacto quando é separado no sentido de Hausdorff (T 2 ). Uma parte K de E é dita (quase) compacta se K fornecida com a topologia induzida for (quase) compacta.

Para que E seja quase compacto, é suficiente que qualquer sobreposição de E por aberturas de uma base fixa tenha uma subcobertura finita.

Demonstração

Seja B a base E verificando esta hipótese e ( U i ) um aberto cobrindo E arbitrário . Nota C todos abertos O ∈ B incluído em pelo menos um L i e mostra que C abrange E . Desde B é uma base, cada U i é uma união aberta O ∈ B , e até mesmo O ∈ C desde O ⊂ U i , de modo que cada U i é incluído na união de todos O ∈ C , de modo que a reunião E de U i também é, por conseguinte, C abrange bem E . Por hipótese B , C , em seguida, tem um número finito de sub-abrangendo F . Para cada O ∈ F , se denotarmos i ( O ) um dos i para o qual O ⊂ U i , a família ( U i ( O ) ) O ∈ F é uma subcobertura finita de ( U i ).

É mesmo suficiente que este seja o caso para uma pré-base ( cf. Propriedades das pré-bases , teorema de Alexandre ).

Passando para os complementos, a propriedade de Borel-Lebesgue é equivalente a: se ( F i ) i ∈ I é uma família de fechado tal que ∩ i ∈ I F i = ∅, então podemos extrair uma família finita ( F i ) i ∈ J , com J ⊂ I , tal que ∩ i ∈ J F i = ∅. Ou ainda, por contraposição: se ( F i ) i ∈ I é uma família fechada da qual qualquer subfamília finita tem uma interseção não vazia, então ∩ i ∈ I F i é não vazia. Equivalentemente: qualquer família não vazia de estável não vazio fechado por interseções finitas tem uma interseção não vazia.

Um espaço topológico X é quase compacto se (e somente se) a interseção de qualquer cadeia não vazia de não vazia fechada de X for não vazia.

Demonstração

• Somente se: imediato porque qualquer cadeia é estável por interseções finitas.
• Se: seja X um espaço no qual a interseção de qualquer cadeia de não-vazios fechados é não-vazia, ( F i ) i ∈ I uma família não-vazia de não-vazios fechados de X estável por interseções finitas e F sua interseção. É uma questão de mostrar que F não está vazio. Nota M o conjunto de todos os não-fechado vazio L de X de tal modo que para todos os i ∈ I , L ∩ F i não está vazio e contém F . Todos os F i pertencem a M , que é, portanto, não vazio. Por hipótese X , qualquer cadeia de elementos não vazios M tem o cruzamento de um elemento M . De acordo com o lema de Zorn , M , portanto, tem pelo menos um elemento mínimo G para inclusão. Agora M é estável por interseção com cada F i, portanto, contém todos os G ∩ F i . Por minimalidade, G é, portanto, incluído em todos os F i e, portanto, em F , o que prova que F não é vazio.

NB: Na terminologia anglo-saxônica, a definição é um pouco diferente. Salvo indicação em contrário, o compacto de língua inglesa é quase compacto de língua francesa (falantes de inglês especificam "compact Hausdorff" se quiserem separação). Portanto, nem todas as propriedades geralmente se aplicam, exceto sob a suposição de que o espaço é separado.

Definição pela teoria do filtro

Um espaço topológico separado é compacto se e somente se para qualquer filtro F em E , existe um filtro mais fino que F que converge, em outras palavras, se algum ultrafiltro em E converge, ou se qualquer sequência generalizada tem pelo menos um valor de d ' adesão , em outras palavras uma subseqüência generalizada convergente. Essa definição equivalente raramente é usada. É particularmente adequado provar que qualquer produto compacto é compacto .

Em qualquer espaço quase compacto, um filtro que tem apenas um ponto aderente converge para este ponto; em um espaço compacto e, portanto, separado, esta condição suficiente de convergência é obviamente necessária.

Exemplos

• Qualquer espaço finito é quase compacto, pois possui apenas um número finito de aberturas.
• Em um espaço separado, dada uma seqüência convergente, o conjunto formado pelos termos da seqüência e também do limite é compacto. Na verdade, de qualquer cobertura aberta, uma abertura contendo o limite pode ser extraída; como há apenas um número finito de termos fora dessa abertura, é fácil encontrar uma cobertura secreta finita.
• Qualquer montagem fornecida com a topologia co - acabada é quase compacta.
• O conjunto Cantor é compacto, fechado do compacto [0, 1].
• O cubo de Hilbert é compacto, como o produto de uma família ( contável ) de cópias do compacto [0, 1].

Propriedades

Compacto e fechado

• Em um espaço separado , duas partes compactas disjuntas são sempre incluídas em duas aberturas disjuntas.
• Qualquer parte compacta de um espaço separado é fechada.
• Qualquer parte fechada de um espaço (quase) compacto é (quase) compacto.

Podemos facilmente deduzir das duas propriedades anteriores que, em um espaço separado, qualquer interseção de uma família não vazia de compactos é compacta.

Em um espaço quase compacto, a interseção de qualquer sequência decrescente de fechado não vazio é não vazio, portanto:

• “  Teorema dos compactos aninhados  ”: em qualquer espaço topológico, a interseção de qualquer sequência decrescente de compactos não vazios é (um compacto) não vazio
  (considerando esses compactos como fechados do primeiro deles).

NB: a maioria dessas propriedades não se estendem ao caso não separado.

Contra-exemplos

• no par {0, 1} com a topologia grosseira , {0} e {1} são compactos, mas não fechados;
• no produto deste par por ℝ (com sua topologia usual ), {1} × [–1, 1] e ({0} × [–1, 0]) ∪ ({1} ×] 0, 1]) são canonicamente homeomórficos a [-1, 1], portanto, compactos (mas não fechados) e sua interseção, {1} ×] 0, 1], não é nem mesmo quase compacta;
• este mesmo exemplo mostra que a compactação não é preservada por conjuntos finitos (apenas a quase compactação é).

• Espaço compacto é normal ,

o que torna possível refinar o teorema compacto aninhado:

• Qualquer intersecção de uma sequência decrescente de conectados compactos está ligado.

Demonstração dessas duas propriedades

• Um espaço compacto é normal  : em um espaço compacto E , sejam A , B dois disjuntos fechados. Das propriedades acima, A e B são então dois compactos disjuntos e E é separado, de modo que A e B são incluídos em duas aberturas disjuntas, o que prova que E é normal.
• Qualquer intersecção de uma sequência decrescente de compactos conectados é conectada  : seja ( F n ) uma sequência decrescente de compactos; suponha que sua intersecção K não esteja conectada. Existem, assim, dois fechados F e G de F 0 como F ⋂ K e L ⋂ K não estão vazias e complementar para K . Normalidade por F 0 , então existem duas disjuntos aberto U e V de F 0 que contêm F ⋂ K e L ⋂ K . Observe W a união desses dois abre e G n o F n \ W fechado . O G n forma uma sequência decrescente de compactos que se cruzam vazios, então um dos G n está vazio. O F N correspondente é em seguida incluído no disjuntos W = L ⋃ V . Como esse F n encontra cada uma das duas linhas abertas U e V , ele não está conectado, o que demonstra a contraposição da proposição.

Outras propriedades

Um espaço vetorial normalizado real é de dimensão finita se, e somente se, seus compactos são seus limites fechados.

O produto cartesiano dos compactos, fornecido com a topologia do produto , é compacto.

Mais precisamente: qualquer produto quase compacto é quase compacto; esse resultado, conhecido como teorema de Tykhonov , é equivalente ao axioma da escolha .

Qualquer parte discreta e fechada de um quase-compacto está acabada.

Teorema de Kuratowski -Mrówka: Um espaço separado X é compacto se e somente se para qualquer espaço Y , a projeção p Y  : X × Y → Y é um mapa fechado .

De forma mais geral, um espaço X é quase compacto se e somente se ele satisfizer essa propriedade.

Demonstração

• Se X for quase compacto, então a projeção p Y  : X × Y → Y é fechada para todo Y  : consulte “  Lema do tubo  ”.
• Por outro lado, suponha que a projeção p Y  : X × Y → Y seja fechada para todo Y e mostre que X é quase-compacto. Ou ( U i ) i ∈ I uma cobertura aberta da X . Observação
  • ∞ um elemento arbitrário que não pertence a X ,
  • Y a união disjunta de X e o singleton {∞},
  • E o conjunto de partes de X que são reuniões de um número finito de U i ,
  • B o conjunto de partes de Y que não contêm ∞, ou são complementares em Y de um elemento de E ,
  • Δ a diagonal de X ( isto é, d. O conjunto de pares ( x , x ) quando X é executado X ), que é uma parte de X x X assim X x Y .

É fácil verificar que B forma a base de uma topologia em Y e aplicando a suposição neste espaço topológico Y  : a imagem p Y Δ fechado é um Y fechado . Além disso, p Y ( ∆ ) (que contém X ) não contém ∞ (porque X × {∞} está incluído em uma abertura disjunta de ∆: a união de U i × ( Y \ U i )). Isto prova que ∞ {} é aberta em Y . Deduzimos que X pertence a E , o que conclui.

Segue-se que qualquer aplicação de um gráfico fechado de qualquer espaço em um espaço quase-compacto é contínua.

Demonstração

Deixe- f  : Um → B com B quasicompact e Gr ( f ) fechado em Um × B , e quer F um fechada B . Em seguida, f -1 ( F ) é um fechada Um , como a imagem de fechado ( Um × F ) ∩Gr ( f ) pela aplicação é fechada p Um  : A x B → Uma .

Compacidade e continuidade

• A imagem de um compacto, pela aplicação contínua de valores em um espaço separado, é compacta.
  Esta propriedade permite exibir extremos globais para funções contínuas com valores reais . Aqui estão alguns exemplos:
  • teorema limite (ou teorema de Weierstrass ): “qualquer mapa contínuo de um segmento real em ℝ é limitado e atinge seus limites” (junto ao teorema de valores intermediários , garante que essa imagem seja de fato um segmento);
  • O problema do ponto de Fermat . Dado um triângulo ABC, pede-se que prove que existe um ponto M tal que a soma das distâncias AM + BM + CM é mínima. Em primeiro lugar, observar que é inútil procurar M aponta muito longe A, B, C . A consideração do mapa contínuo M ↦ AM + BM + CM em um disco fechado de raio suficientemente grande permite que o teorema seja aplicado: existe um mínimo global. Essa observação pode servir de ponto de partida para uma construção explícita;
  • distância de um ponto a um ponto fechado de ℝ n . Seja F uma parte fechada não vazia de ℝ n e x um ponto de ℝ n . Trata-se de provar que existe um ponto f de F mais próximo de x do que todos os outros. Novamente, não adianta procurar f muito longe de x . Podemos, portanto, limitar-nos à interseção de F e uma bola fechada, que constitui um compacto de acordo com o teorema de Borel-Lebesgue , e introduzir a função distância ax , que é contínua;

• caráter isoperimétrico de um polígono regular , questão em aberto desde a antiguidade. O objectivo é o de descobrir qual n- lados polígono tem a maior área, para um dado perímetro . O raciocínio geométrico bastante simples mostra que o único candidato possível é o polígono regular, um resultado demonstrado desde a Grécia antiga. No entanto, a existência de uma solução para esta questão permaneceu aberta até que a XIX th  século.
  Para entender a natureza da prova, a maneira mais fácil é considerar o caso do triângulo, ilustrado na figura à direita. Os triângulos considerados são todos de perímetro 3, são identificados por um par ( c , φ) onde c denota o comprimento de um lado e φ o ângulo entre os dois lados, um dos quais é o comprimento c . A função f é aquela que, com um par, associa a superfície do triângulo. É necessário apenas estudar a área onde c é entre 0 e 3 / 2 e φ entre 0 e π. Esta área é um compacto de ℝ 2 . A aplicação f é contínua, portanto atinge seu máximo, neste caso no ponto (1, π ⁄ 3 ). A existência desse máximo era o "elo que faltava" para uma demonstração completa.
  Para o triângulo, um pouco de análise pode demonstrar o resultado com a mesma facilidade. Para o caso geral do polígono com n lados, não é muito difícil construir uma prova semelhante à aqui apresentada, graças à noção de compacto. A solução analítica, por outro lado, é muito pesada. Uma prova detalhada é apresentada no artigo "  Teorema isoperimétrico  ".

• Um corolário da imagem contínua de um teorema compacto é:
  Qualquer aplicação contínua de um espaço compacto a um espaço separado é fechada . Em particular, se for bijetivo, é um homeomorfismo .
  Pelas ligações entre compacto e fechado, também pode ser imediatamente deduzido que tal aplicação é limpa .
• Para qualquer aplicação contínua f de um espaço métrico compacto X em um espaço separado, o f compacto ( X ) é metrizável (por exemplo: a imagem de qualquer caminho em um espaço separado é metrizável). Graças a uma caracterização geral da metrizabilidade da imagem de um espaço métrico por um mapa contínuo fechado, temos até a equivalência: um espaço métrico X é compacto se e somente se todas as suas imagens contínuas separadas forem metrizáveis.

Teorema de Bolzano-Weierstrass e compactação sequencial

Em um espaço compacto, qualquer parte infinita tem pelo menos um ponto limite . Mais geralmente, qualquer espaço quase compacto X é contávelmente compacto , ou seja, qualquer parte infinita de X tem pelo menos um ponto de acumulação ou mesmo que, em X , qualquer sequência tenha pelo menos um valor de adesão . O inverso é falso em geral, mas verdadeiro se o espaço for metrizável  : quando K é um espaço metrizável (separado automaticamente), o teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que K é compacto se e somente se for sequencialmente compacto , c 'isto é, se, em K , qualquer sequência tem uma subsequência convergente .

O primeiro ordinal incontável (fornecido com a topologia da ordem ) e a linha longa são sequencialmente compactos, mas não compactos (no entanto, são localmente compactos ). Por outro lado, o espaço do produto [0, 1] ℝ (ou seja, o espaço dos mapas de ℝ em [0, 1], dotado da topologia de convergência simples ) e o compactado de Stone-Čech de ℕ (ou seja, o espectro da álgebra ℓ ∞ de sequências limitadas) são compactos, mas não sequencialmente compactos. Esses quatro espaços são, portanto, contáveis ​​compactos e não metrizáveis.

Notas e referências

1. Se você não especificar "família não esvaziar  ", deve-se admitir que, neste contexto, a interseção de uma família vazia de partes de um espaço X é igual a X .
2. (em) Günter Bruns , "  Um lema é conjuntos e cadeias dirigidas  " , Archiv der Mathematik , vol.  18, n o  6,1967, p.  561-563 ( ler online ).
3. Uma cadeia de partes de X é uma família de partes de X totalmente ordenada por inclusão.
4. Bourbaki , TG I.60, Gustave Choquet , Analysis course, volume II: Topology , p.  35e Hervé Queffélec, Topologia , Dunod,2007, 3 e  ed. , p.  70.
5. Para uma prova (usando uma generalização do lema do tubo ), veja por exemplo este exercício corrigido na Wikiversidade .
6. Para uma prova, ver, por exemplo Jacques Dixmier , Topologia Geral , PUF , 1981, 4.2.6 e 4.2.7, p.  53 , ou o curso Compactação: primeiras propriedades na Wikiversidade .
7. Para uma demonstração, veja por exemplo o curso Compactação: primeiras propriedades na Wikiversidade .
8. Em outras palavras: todo quase-compacto é contavelmente compacto .
9. Casimir Kuratowski, “  Avaliação da Classe Boreliana ou Projetiva de um Conjunto de Pontos Usando Símbolos Lógicos  ”, Fundamenta Mathematicae , vol.  17, n o  1,1931, p.  249-272 ( ler online ).
10. (em) S. Mrówka, "  compactness and product spaces  " , Colloquium Mathematicae , vol.  7, n o  1,1959, p.  19-22 ( ler online ).
11. (en) MM Choban , "Closed maps" in KP Hart J.-I. Nagata e JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN  978-0-44450355-8 , leitura online ) , p.  89(traduzindo inglês compacto por nosso quase-compacto ).
12. (em) James Munkres , Topologia , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( leia online ) , p.  171.
13. Esta prova é estendida às multifunções no artigo "  Hemi-continuidade  ".
14. Para uma demonstração, consulte, por exemplo, o curso Compacidade e Aplicações Contínuas na Wikiversidade .
15. (em) Stephen Willard , "  Metric spaces of all Whose decompositions are metric  " , Proc. Amargo. Matemática. Soc. , vol.  21,1969, p.  126-128 ( ler online ).
16. (in) Kiiti Morita e Sitiro Hanai , "  Closed mappings and metric spaces  " , Proc. Japan Acad. , vol.  32, n o  1,1956, p.  10-14 ( ler online ).
17. Deduzimos que, em tal espaço, qualquer sequência que tenha apenas um valor de adesão converge para esse valor.

Bibliografia

• N. Bourbaki , Elementos de matemática, livro III: Topologia geral [ detalhe das edições ], capítulo I
• Jean-Paul Pier , “  Gênesis e evolução da ideia de compacto  ”, Revue d'histoire des sciences et de suas aplicações , vol.  14, n o  21961, p.  169-179 ( ler online )
• Jean-Paul Pier , “  História da noção de compactação  ”, Historia Mathematica , vol.  7, n o  4,Novembro de 1980, p.  425-443 ( DOI  10.1016 / 0315-0860 (80) 90006-3 )
• Georges Skandalis , topologia e análise 3 rd  ano , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001
• Claude Wagschal, Topologia e análise funcional , Hermann, col. "Métodos", 1995

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