Espalhe entre os números primos

Na teoria dos números , o gap prime (ou gap premium ) denota a diferença entre dois primos consecutivos.

Muitos resultados e conjecturas estão relacionados a este objeto. Por exemplo, a conjectura dos primos gêmeos diz que a sequência de intervalos entre os números primos assume o valor 2 um número infinito de vezes.

Assim, os primeiros 60 desvios (continuação A001223 do OEIS ) são:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ...

Definição

Observando o n- número primo th, o n- th diferença é: $p_ {n}$

g_ {n} = p _ {{n + 1}} - p _ {{n}}

O que também permite que você escreva

p _ {{n + 1}} = 2+ \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} g_ {i}

Observações simples

Da mesma forma $(p_ {n})$ , a sequência é ilimitada : se denotarmos por q n o produto p 1 ... p n , todos os inteiros de q n + 2 a q n + p n são compostos . $(g_ {n})$

A primeira diferença, que é a menor e a única diferença ímpar, é 1, entre o único número primo par, 2, e o primeiro número primo ímpar, 3. Todas as outras diferenças são pares.

(3, 5, 7) é o trio único de primos consecutivos cuja diferença é 2.

Resultados e conjecturas

De acordo com o postulado de Bertrand , . $g_ {n} <p_ {n}$

O teorema dos números primos sugere que é assintoticamente da ordem de , e a conjectura de Cramér prevê um comportamento no quadrado do logaritmo. A conjectura do primo gêmeo diz que leva o valor 2 infinitamente muitas vezes. ${\ displaystyle g_ {n}}$ $\ log (n)$

A diferença mais frequente entre os números primos é primeiro 2, depois 6, e conjecturamos que seria 30, 210, 2310,… ou seja, os primoriais de p n .

Notas e referências

GH Hardy e EM Wright ( traduzido do inglês por F. Sauvageot), Introdução à teoria dos números [“ Uma introdução à teoria dos números ”], Paris / Heidelberg, Vuibert - Springer ,2007, 568 p. ( ISBN 978-2-7117-7168-4 ) , p. 6e Édouard Lucas , Teoria dos Números ,1891( leia online ) , p. 359-361(referência fornecida por Hardy e Wright 2007 , p. 12).
Bruno Duchesne, “ Dois grandes avanços em torno dos números primos ” , em Imagens da matemática ,12 de julho de 2013.
(em) Harald Cramér , " Na ordem de magnitude da diferença entre números primos consecutivos " , Acta Arithmetica , vol. 2,1936, p. 23-46.
Jean-Paul Delahaye , “ Primeiros gêmeos: irmãos inimigos? " Para a ciência , n o 260,Junho de 1999, p. 7 ( ler online ).

Veja também

Desigualdade de Bonse

Link externo

(pt) Terence Tao , " Pequenas e grandes lacunas nos primos (slides) " ,abril de 2015